精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

2025—2026学年度上学期2025级 期中考试数学试卷 命题人：冷劲松 审题人：郭松 考试时间：2025年11月13日 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 集合，则的子集的个数为（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】用列举法表示出集合，然后可得，可得子集个数. 【详解】解不等式，得，又，故； 解不等式，得，又，故. 所以，所以的子集的个数为. 故选：D 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 详解】由，即，解得， 所以由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数和函数的周期性进行求解即可. 【详解】因为时，，所以周期为4， 所以 当时，， 所以，所以. 故选：C. 4. 命题：，使得成立．若是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是假命题，转化为命题的否定为真命题求解． 【详解】命题：，使得成立． 因为是假命题，则命题的否定为：，使得成立，为真命题． 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：B． 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，利用基本不等式结合排除法可得出合适的选项. 【详解】，该函数的定义域为， ，则函数为奇函数，排除BD选项， 当时，，当且仅当时，等号成立，排除A选项. 故选：C. 6. 已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为在上，，所以需要当时，即可，然后当时，分别讨论函数的单调性和值域，即可求出结果. 【详解】因为当时，，根据一次函数和反比例函数的单调性可知， 此时在上单调递增，所以. 所以在上，. 那么要使得分段函数的值域为，则当时，能取到所有负数即可. 此时. 当时值域为，不合题意； 当时，单调递减，， 此时值域为，不合题意； 当时，，此时单调递增，， 此时值域为，故只需即可， 所以. 故选：D. 7. 定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断在上单调递增，结合奇函数，判断在上也单调递增，然后化简不等式变成，然后分情况讨论，根据函数的单调性和零点求出解集即可. 【详解】因为对不等的正实数满足， 设，则，所以， 即，所以在上单调递增， 因为是在上的奇函数，所以在上也单调递增， 又，所以. 不等式， 即. 当时，，因为在上单调递增，， 所以，解得. 当时，，因为在上单调递增，， 所以，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知函数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论并结合解析式，列不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数取值范围是. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题是真命题的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数满足，则 C. 函数的值域为 D. 若二次函数，实数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求法解不等式可判断A；用代替，由解方程组法求解可判断B；利用换元法，结合二次函数性质可判断C；直接作差比较可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为， 所以对于函数有，即，正确； 对B，因为①，所以②， 联立①②解得，错误； 对C，令，则， 所以在上单调递增， 所以，即值域为，错误； 对D， ， 因为，所以，即，正确. 故选：AD 10. 已知均为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为5 C. 的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式即可解得；对于B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对于C，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案；对于D，两次使用基本不等式即可得到答案. 【详解】对于A，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，A对； 对于B，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C， ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，C对. 对于D，因为，，所以， 当且仅当时等号成立，与联立可得． 又因为，由不等式的性质可得 ． 又因为， 当且仅当时等号成立． 所以仅当时等号成立， 综上，的最小值为. 故选：ACD. 11. 已知为定义在上的奇函数，且，当，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间最多有三个解 C. 的最小值为-1 D. 在区间最多有五个解 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，由奇函数性质可判断； 对C，由函数的单调性、对称性、周期性可判断； 对BD，分别对、、、，结合函数的单调性及对称性讨论在区间解的情况，再结合中心对称性即可得在区间解的情况及的情况 【详解】由，令，则，则关于对称， 又为定义在上的奇函数，，，关于原点对称， ，故，即，函数周期为4. 对A，，A对； 对C，，，，由关于对称且关于原点对称，故，，又周期为4，故的最小值为，C对； 对BD，，且单调递减，关于对称，则且单调递增，，关于原点对称， 由可得①， 设解为，且，则， 由得或， （1）当时，，①式可解得，即在区间无解，又过，，结合的单调性及对称性可得，在区间有三个解为、0、1； （2）当时，，，则，又时代入方程组得，故， 即在区间有1个解，又，，结合的单调性及对称性可得在区间少于三个解； （3）当时，①式可解得，即在区间无解，又，结合的单调性及对称性可得在区间少于三个解； （4）当时，，则，又， 即在区间无解，又，结合的单调性及对称性可得在区间少于三个解； （5）当时，由的中心对称性可得在区间最多三个解；故B对D错. 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知幂函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性求出的值，然后求不等式的的范围即可. 【详解】因为是幂函数，所以， 化简得，解得或. 当时，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 所以，那么不等式为. 所以，解得. 故答案为：. 13. 函数的单调递减区间为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，然后由复合函数的单调性，同增异减的原则分析即可. 【详解】由得：， 所以函数的定义域为：， 令，其对称轴为， 所以在上单调递增，上单调递减， 在上单调递增， 故复合函数在上单调递增，上单调递减， 故答案为：. 14. 已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，然后分离常数，再令，结合基本不等式和反比例函数性质，用表示出函数值域，结合列不等式求解可得. 【详解】设，， 令，则，因为， 所以，，当且仅当时等号成立， ，，函数在上单调递减，则， 所以，时，，， 由于对任意的，都有成立， 所以，，解得，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的值； （2）计算：； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据指数运算直接化简可得. 【详解】（1），又， ； （2） . 16. 已知定义在上的函数，对任意的、，恒有，且时，． （1）求的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解不等式：． 【答案】（1） （2）在上为减函数，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在等式中，令可得出的值； （2）判断出函数在上为减函数，设，可得出，然后结合已知条件得出、的大小关系，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）将所求不等式变形为，结合函数的单调性、定义域可得出关于的不等式组，即可得出原不等式的解集 【小问1详解】 令，则，故. 【小问2详解】 在上减函数，理由如下：设， 则， 因为，则，所以，所以， 所以，即在上为减函数. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为函数在上为减函数，所以，解得， 所以，原不等式的解集为． 17. 某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用． （1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ （2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4） 【答案】（1）8小时 （2）1.6 【解析】 【分析】（1）由可求出结果； （2）根据题意求出从第一次喷洒起，经小时后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果. 【小问1详解】 因为一次喷洒4个单位的消毒剂， 所以其浓度为 当时，，解得，此时， 当时，，解得，此时， 所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时． 【小问2详解】 设从第一次喷洒起，经小时后， 其浓度， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 所以其最小值为，由，解得， 所以a的最小值为． 18. 已知函数是定义域上的奇函数，且，且 （1）求函数的解析式； （2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围； （3）令，若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）已知奇函数，，则可求，代入解析式解方程组得，由以及奇函数进行取舍检验； （2）转化为，讨论与，结合二次函数性质列不等式求解即可； （3）换元，结合对勾函数求出的范围，求出的最值，即的最值，，恒成立，转化为，即可求解. 【小问1详解】 又是奇函数， 则，，，又， ，解得，，， 当时，，舍去；当时，，， 经检验是奇函数，． 【小问2详解】 方程在上有两个不同的实数根，即方程 在上有两个不相等的实数根，当时，，不合题意，舍去； 当时，则，解得， 实数取值范围是． 【小问3详解】 由题意知， 令，因为函数在上单调递减， 在上单调递增，∴ ∵函数的对称轴为，∴函数在上单调递增． 当时，；当时，； 即， 又∵对都有恒成立，∴， 即，解得，又∵， ∴的取值范围是． 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为如下结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为函数的“保值”区间，若函数在上存在保值区间，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义进行求解即可. （2）（i）先根据中心对称得到，然后求出时的解析式即可.（ii）根据“保值”区间的定义，分和两种情况进行讨论求解. 【小问1详解】 设函数图象关于点成中心对称图形， 则函数为奇函数，， 则有 ， ， 则，， 函数图象的对称中心是． 【小问2详解】 （ⅰ）因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形， 所以为奇函数， 所以，，即， 当时，，所以 所以 ． （ⅱ）， ①当时，在上单调递增， 当时，则，即方程在上有两个不相等的根， 即在上有两个不相等的根， 令，但 所以在上不可能有两个不相等的根； ②当时，在 上单调递增， 当时，则 即方程在上有两个不相等的根， 即在 上有两个不相等的根，令， 则，解得； ③当时，易知在上单调递增， 所以在上单调递增， 此时，即， ，则易知在上单调递减，，， 又时， 当且仅当，即时取等号，，此时无解． 综上可知：的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $