精品解析：广西壮族自治区南宁市青秀区第二中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年广西南宁二中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾．下列姓氏图腾是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可. 【详解】解：A.是轴对称图形，故A正确； B.不是轴对称图形，故B错误； C.不是轴对称图形，故C错误； D.不是轴对称图形，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 2. 在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 2，3，5 C. 3，5，9 D. 8，4，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系对各选项中的线段分别进行计算，并作出判断，即可得出结论． 【详解】解：A、2+3＞4，能组成三角形，故此选项符合题意； B、2+3＝5，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； C、3+5＝8＜9，不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、4+4＝8，不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形三边关系并能准确应用其进行判断是解答此题的关键． 3. 点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称点的特点“横坐标相同，纵坐标互为相反数”进行解题即可 【详解】解：与点关于x轴对称， 横坐标不变，纵坐标互为相反数， 对称点的坐标为， 故选：A 4. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公因式的概念，解题关键是找出多项式各项中都含有的公因式． 通过提取多项式中各项的公共因子，确定公因式．公因式是指多项式中各项都含有的因式． 【详解】∵ ， ， ∴ 公因式为 ． 故选B． 5. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；分的角为顶角和底角时分情况讨论即可． 【详解】解：当的角为顶角时，即顶角为， 当的角为底角时，顶角， 综上，顶角为或， 故选：D． 6. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的加法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握各个运算是解题的关键；根据合并同类项、幂的乘方，积的乘方及同底数幂的除法可进行求解． 【详解】解：A：合并同类项得，故A错误，不符合题意； B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 ，故B正确，符合题意； C：积的乘方，应等于每个因式分别乘方，即，故C错误，不符合题意； D：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即，故D错误，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在中，分别是的中点，，则 （    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，由分别是的中点可得，，据此即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 9. 如果是一个完全平方式，那么a是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方式的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方式的定义，常数项为4，可确定b的值为，进而求出a的值为． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ 可设为 ， 比较系数得：，， ∵ ， ∴ ， ∴ 将代入中，可得． 故选：D． 10. 如图，在中，，，分别以，两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，交于点，若，则的长度为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，则利用含30度角的三角形三边的关系得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：D． 11. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据“角角边”证明，得到，，从而可得，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点B与地面距离为， ， ， 即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 故选：B． 12. 为非负整数当，1，2，3，…时的展开情况如下所示： 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如下的图： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 216 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能根据题意得出展开式中各项系数的和为是解题的关键．根据题意，依次求出展开式中各项系数的和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， 展开式中各项系数的和为； 展开式中各项系数的和为； 展开式中各项系数的和为； …， 所以展开式中各项系数的和为； ∴当时，展开式中所有项系数的和为； 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 14. 如图，在等边中，于点D，若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的基本性质，熟练掌握等边三角形的三线合一是解题关键； 直接利用等边三角形的三线合一直接解题即可． 【详解】解：是等边三角形，于点D， 故答案为： 15. 若，，则＝_____． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 16. 如图，在中，，，，平分交于点D，过点D作交于点E，P是上的动点，Q是上的动点，则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，判断出点Q关于直线的对称点必在上是解本题的关键． 过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，时，连接，，进而判断出，得出，即可判断出垂直于时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ， 是的平分线， ， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， 在上取一点，使，连接，， ， ∴， ， ，假设点Q是定点，点B，P，共线时，取最小， 点Q是动点， 当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为： 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了含零指数幂的运算，同底数幂的乘除法，整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算零指数幂和括号内减法，然后计算乘除，最后进行加法计算； （2）先进行同底数幂的乘除法运算，再进行合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 先化简，再求值：，其中， 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式、多项式除以单项式、合并同类项把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 19. 2025年南宁马拉松吸引众多选手参赛，某研究小组对选手构成开展抽样调研，涵盖学生选手、企业职工选手、大众健身跑者、退役运动员、自由职业者选手共五类群体，绘制的统计图如下． （1）本次抽样调查的样本容量为______，扇形统计图中“企业职工选手”对应的圆心角度数为______； （2）补全条形统计图（计算出C类人数并标注在对应条形上方）； （3）估计本次赛事2000名选手中，“自由职业者选手”的人数约为多少人？ 【答案】（1）100， （2） 补全条形统计图如下： （3）140人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图和用样本估计总体，理解两个统计图中的数量关系是正确解答的前提． 根据B类的人数和所占的百分比即可求出样本容量，用乘B类人数所占的百分比即可求出表示“企业职工选手”的扇形的圆心角度数； 用总人数减去其它类的人数求出C类的人数，即可补全条形统计图； 用总人数乘样本中E类的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：在本次抽样调查中，样本容量为， 在扇形统计图中，“企业职工选手”对应的圆心角度数为； 故答案为：100，； 【小问2详解】 解：C类的人数为人 【小问3详解】 解：（人）， 答：“自由职业者选手”的人数约为140人． 20. 如图，中，，，垂足为D． （1）求作的平分线，分别交，于P，Q两点； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 【答案】（1） 解：如图所示，为所求作； （2） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质和对顶角相等即可证出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了角平分线的性质、直角三角形的性质和对顶角相等，灵活运用所学知识是解题关键． 21. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． （1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）． 公式①：； 公式②：； 公式③：； 公式④： 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______． （2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，，求和的值． （3）两块完全相同的特制直角三角板如图5所示放置，其中A，O，D在同一直线上．连接，，若，，求一块特制直角三角板的面积． 【答案】（1）②①③④ （2）， （3）43 【解析】 【分析】根据各个图形所表示的面积之间的关系即可得出答案； 利用，可求出mn的值，再根据，即可求出答案； 设，，由题意得，，根据，求出的值即可． 本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【小问1详解】 解：由各个图形所表示的面积可知，图1对应公式②，图2对应公式①，图3对应公式③，图4对应公式④， 故答案为：②①③④； 【小问2详解】 解：，，而， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：设，，则， ， ， ， 又，即， ， 该三角板的面积为． 22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为，开水的温度为（整个接水的过程不计热量损失）． 物理知识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为： 开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （注：水的体积水的流速时间） 阅读并结合以上信息解决下列问题： （1）同学如果先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果先接温水，再接开水，得到一杯的水，请求出温水的流速和开水的流速分别为多少； （2）小甘同学要接一杯的温水和开水混合的水，先接温水，再接开水，如果最后水杯中水的温度为，求小甘同学接温水的时间； （3）李老师想要接一杯的开水和温水混合的水，他先接秒的开水，再接温水，智能杯盖显示此时的温度为t度，你能用含有的式子表示t吗？若水杯中水的温度不低于60度，李老师接开水的时间至少需要多长时间？ 【答案】（1）温水的流速为，开水的流速为 （2） （3）；李老师接开水的时间至少是 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，正确建立方程组是解题关键． （1）设温水的流速为，开水的流速为，根据水的体积公式建立方程组，解方程组即可得； （2）设小甘同学接温水的时间为，接开水的时间为，根据水的体积公式、开水放出的热量等于温水吸收的热量建立方程组，解方程组即可得； （3）先求出开水的体积为，温水的体积为，再根据开水放出的热量等于温水吸收的热量建立等式，化简即可得；然后根据水杯中水的温度不低于60度建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【小问1详解】 解：设温水的流速为，开水的流速为， 由题意得：， 解得：， 答：温水的流速为，开水的流速为． 【小问2详解】 解：设小甘同学接温水的时间为，接开水的时间为， 由题意得：， 解得：， 答：小甘同学接温水的时间为． 【小问3详解】 解：由题意得：开水的体积为，则温水的体积为， 由题意得：， 化简得：， ∵水杯中水的温度不低于60度， ∴，即， 解得， 答：李老师接开水的时间至少是． 23. “转化”和“类比迁移”是解决数学问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图1，在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：小宁仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，他的做法是：因为，所以…，请你继续完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，若，，请直接写出的值． 【答案】 （1）证明：， ， 是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， （2）解： 理由：如图，连接，在取点G，使得，连接， 同得， ，，， ， ，即， ， ， ， （3）的值为 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得出，再由三角形外角的定义得出，即可证得； 在取点G，使得，连接同得，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形性质得出，由三角形外角的定义和性质可得出，由等角对等边可得出； 延长至点E，连接，使得，延长，交于点F，连接先证明和为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，同理可证，，则，，设，，，，则，，由含30度直角三角形的性质即可得出答案． 本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形外角的定义和性质，构建等边三角形是解题的关键． 【详解】略 略 解：的值为；理由如下： 延长至点E，连接，使得，延长，与交于点F，连接，如图， ，， 为等边三角形， ，， ，， ， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 同理可证：，， ，， ， 设，，， 则，，， ，，， ， ，， 即，， 解得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广西南宁二中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾．下列姓氏图腾是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 2，3，5 C. 3，5，9 D. 8，4，4 3. 点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为（ ） A. B. C. D. 或 6. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别是的中点，，则 （    ） A. B. C. D. 9. 如果是一个完全平方式，那么a是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 10. 如图，在中，，，分别以，两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，交于点，若，则的长度为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 12. 为非负整数当，1，2，3，…时的展开情况如下所示： 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如下的图： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 216 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 因式分解：_____ 14. 如图，在等边中，于点D，若，则______． 15. 若，，则＝_____． 16. 如图，在中，，，，平分交于点D，过点D作交于点E，P是上的动点，Q是上的动点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中， 19. 2025年南宁马拉松吸引众多选手参赛，某研究小组对选手构成开展抽样调研，涵盖学生选手、企业职工选手、大众健身跑者、退役运动员、自由职业者选手共五类群体，绘制的统计图如下． （1）本次抽样调查的样本容量为______，扇形统计图中“企业职工选手”对应的圆心角度数为______； （2）补全条形统计图（计算出C类人数并标注在对应条形上方）； （3）估计本次赛事2000名选手中，“自由职业者选手”的人数约为多少人？ 20. 如图，中，，，垂足为D． （1）求作的平分线，分别交，于P，Q两点； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 21. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． （1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）． 公式①：； 公式②：； 公式③：； 公式④： 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______． （2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，，求和的值． （3）两块完全相同的特制直角三角板如图5所示放置，其中A，O，D在同一直线上．连接，，若，，求一块特制直角三角板的面积． 22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为，开水的温度为（整个接水的过程不计热量损失）． 物理知识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为： 开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （注：水的体积水的流速时间） 阅读并结合以上信息解决下列问题： （1）同学如果先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果先接温水，再接开水，得到一杯的水，请求出温水的流速和开水的流速分别为多少； （2）小甘同学要接一杯的温水和开水混合的水，先接温水，再接开水，如果最后水杯中水的温度为，求小甘同学接温水的时间； （3）李老师想要接一杯的开水和温水混合的水，他先接秒的开水，再接温水，智能杯盖显示此时的温度为t度，你能用含有的式子表示t吗？若水杯中水的温度不低于60度，李老师接开水的时间至少需要多长时间？ 23. “转化”和“类比迁移”是解决数学问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图1，在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：小宁仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，他的做法是：因为，所以…，请你继续完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $