第12章 因式分解 单元练习 2025-2026学年沪教版七年级数学上册

( …………○………… 密 ………… 封 ………… 线 ………… 内 ………… 不 ………… 要 ………… 答 ………… 题 …………○………… ) ( …………○………… 密 ………… 封 ………… 线 ………… 内 ………… 不 ………… 要 ………… 答 ………… 题 …………○………… ) ( 姓名 班级 学号 ) 2025-2026学年七年级数学上学期第12章单元练习卷 （时间：90分钟 满分：100分） 考查范围： 12.1因式分解的意义～12.2因式分解的方法 题号 一 二 三 四 总分 得分 1． 选择题（每题2分，共12分） 1.下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是（ ） A.x(a-b)=ax-bx B.x²-1+y=(x-1)(x+1)+y² C.y²-1=(y+1)(y-1) D.ax+bx+c=x(a+b)+c 2.下列整式中,不能因式分解的是( ) A.2-2x+1 B.x²-9 C.x²+1 D.6x²+3x 3.下列各式中,能用完全平方公式因式分解的是 ( ) A.4a²+4a-1 B.x²-10x+25 C.x²-2x-1 D.-4m²+m-1 4.已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（  ） A．5； B．； C．7； D．． 5.把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 6.已知正整数a、b满足a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8,则a²-b²=（ ） A.1 B.3 C.5 D.不能确定 二．填空题（每题2分，共24分） 7.因式分解:ax-2025x= 8.因式分解:abc-ab²=__ 9.因式分解:x²-5x+6=____. 10.利用分解因式计算：=_______； 11.若，则=________， 12.整式 4x²一mxy+9y能因式分解为(a+b)²的形式,则m的值为___. 13.在对整式x²+ax+b进行因式分解时,甲同学看错了b,分解为(x+2)(x+4)。乙同学看错了a,分解为(x-1)(x-9),则a= ,b= 14.已知a、b、c为三角形三边长,若a²+ac-b²-bc=0,则该三角形是_____ 15.已知为任意整数，且的值总可以被（为自然数，）整除，则的值为__________． 16.多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 17.分解因式：（p+1）（p﹣4）+3p＝_____． 18.若m²=n+2024,n²=m+2024(m≠n),则代数式m³-2mn+n³的值为 三．简答题（第19题每题4分,20-22每题5分共39分） 19.将下列各式因式分解 （1）4ax²-48ax+128a (2)(x+4y )² -16x²y². （3）． （4） ． （5）． （6）． 20． 21.若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． 22.已知，且满足． （1）求的值； （2）求，的值． 四．解答题（23题4分，24题6分，25题15分共25分） 23.已知：,求的值． 24.用简便方法计算：． 25．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 2025-2026学年七年级数学上学期第12章单元练习卷参考答案 2． 选择题 1.下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是（ C ） A.x(a-b)=ax-bx B.x²-1+y=(x-1)(x+1)+y² C.y²-1=(y+1)(y-1) D.ax+bx+c=x(a+b)+c 解析： A是多项式乘法，不是因式分解，错误 B. 不是化为几个整式的积的形式，错误 C.是公式法，正确 D.不是化为几个整式的积的形式，错误故选:C 2.下列整式中,不能因式分解的是( C ) A.2-2x+1 B.x²-9 C.x²+1 D.6x²+3x 解析： 分析选项A对于x2-2x+1，根据完全平方公式(a-b)²=a² - 2ab + b²，这里a = x，b= 1，则x²-2x+1=(x-1)²，可以因式分解。 分析选项B对于x²-9，根据平方差公式a² - b² = (a +b)( a-b)，这里a =x，b= 3，则x2- 9 =(x+3)(x-3)，可以因式分解。 分析选项C对于x²+1，在实数范围内，x²+1不能表示为几个整式的乘积形式，不能因式分解。 分析选项D对于6x²+ 3x，可以提取公因式3x，得到6x²+3x = 3x(2x+1)，可以因式分解。 因此，答案是C选项。 4.已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（ D ） A．5； B．； C．7； D．． 解析： ∵多项式x² + 6x +k因式分解后有一个因式为(x - 1), ∴(x -1)(x - k) = x² -(k +1)x +k=x²+ 6 x+k, ∵-(k+1)= 6,解得k= -7.故选: D. 5.把分解因式，正确的分组为（　A　） A． B． C． D． 解析:原式=1 - (a² + b² + 2ab) 思路点拨:a² + b² + 2ab = (a + b)² 6.已知正整数a、b满足a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8,则a²-b²=（ B ） A.1 B.3 C.5 D.不能确定 解析：∵a³b+ab³一2a²b+2ab²=7ab-8, ∴ ab(a²+b)-2ab(a-b)=7ab-8, ∴ab(a²-2ab+b²)-2ab(a-b)+2a²b²-7ab+8=0， ∴ab(a-b)²-2ab(a-b)+2a²b²-7ab+8=0, ab[(a-b)²-2(a-b)+1]+2(a²b²-4ab+4)=0, ab(a-b-1)²+2(ab-2)²=0.又∵a、b是正整数,即ab>0, ∴a-b-1=0,ab-2=0,解得a+b=3(负值舍去), ∴a²-b²=(a+b)(a- b)=1x3=3.故选B. 二．填空题 7.因式分解:ax-2025x= 解析：利用提出公因式ax-2025x=x(a-2025) 8.因式分解:abc-ab²=__ 解析：利用提出公因式abc-ab²=ab(c-b) 因式分解:x²-5x+6=____. 解析：利用十字相乘法因式分解原式=（x-2)（x-3） 10.利用分解因式计算：=___7____； 解析： 11.若，则=________， 解析：∵x-y=5，xy=6,∴x²y - xy²=xy(x-y)=6×5=30故答案为:30。 12.整式 4x²一mxy+9y²能因式分解为(a+b)²的形式,则m的值为___. 解析：∵多项式4x² - mxy + 9y²能因式分解为(a+b)² ∴m = ±(2 × 2 ×3)=±12.故答案为:±12. 13. 在对整式x²+ax+b进行因式分解时,甲同学看错了b,分解为(x+2)(x+4)错了a,分解为(x-1)(x-9),则a= 6 ,b= 9 解析：甲同学看错了b，所以a的值是正确的，对比 x²+ ax +b与x² + 6x + 8，可得a =6。求乙同学因式分解结果展开后的多项式同样根据多项式乘法法则，将(x- 1)(x - 9)展开:(x -1)(x-9)=x2-9x-x+9=x2 -10x+ 9。因为乙同学看错了a，所以b的值是正确的，对比 x²+ ax+b与x²- 10x + 9，可得b=9。 14. 已知a、b、c为三角形三边长,若a²+ac-b²-bc=0,则该三角形是_____ ∵a² + ac - b² - bc =0,∴ a²-b² + ac - bc = 0， ∴(a + b) (a - b) +c(a -b)=0,(a + b+c)(a - b) = 0, ∵a、b、c为三角形的三边长，a+b+c≠0，a-b=0，a = b, ∴该三角形是等腰三角形，故答案为:等腰三角形. 15. 已知为任意整数，且的值总可以被（为自然数，）整除，则的值为__________． 解析：∵(a + 13)² - a²= a² + 26a+169 -a²=26a+169=13 (2a +13) a为任意整数，且(a + 13)²- a2的值总可以被13整除。 n =13故答案为:13 16. 多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 解析 已知将a²和+2a分成一组，-6和此单项式分成一组。对于a²+2a，要使其能与-b和添加的单项式构成分组分解法的因式分解形式，考虑完全平方公式(m +n)² =m²+2mn +n²，这里m =a，2mn = 2a，则n=1，所以a²+ 2a需要加上1才能构成完全平方(a+1)²。 故答案是1（答案不唯一） 17.分解因式：（p+1）（p﹣4）+3p＝_____． 先去括号再合并同类项，最后分解因式 解：（p+1）（p﹣4）+3p ＝p2﹣3p﹣4+3p ＝p2﹣4 ＝（p+2）（p﹣2）． 故答案为： 18.若m²=n+2024,n²=m+2024(m≠n),则代数式m³-2mn+n的值为 解析： ∵m²=n+2 024,n²=m+2024(m≠n)，∴m²-n²=n-m,即(m+n)(m-n)=n-m（m≠n） ∴m+ n=-1. ∵m²=n+2 024,n²=m+2 024,m²-n=2 024,n²- m=2 024 原式=m(m²-n)+n(n²-m)=2 024m+2 024n=2024(m+n)=-2024. 三．简答题 19.将下列各式因式分解 （1）4ax²-48ax+128a (2)(x+4y )² -16x²y². ( 原式 =(x ² - 2x - 8)(x ² - 2x +1) = (x ² - 2x -8)(x -1) ² = (x - 4)(x + 2)(x - 1) ² )（3）． （4） ． 原式= [3a - (5a + 5b)] [3a + (5a + 5b)] =(-2a - 5b) (8a + 5b) ( 原式 = (a 4 - a ² b ² ) - (4a 2 c 2 - 4b 2 c) = a ² (a ² - b ² ) - 4c ² (a ² - b ² ) = (a ² - b ² ) (a ² - 4c 2 ) = (a + b) (a - b) (a + 2c) (a - 2c). )（5）． （6）． 原式=(x²-4x)² +8(x²-4x)+16 =(x²-4x十4)²=(x-2)4. 20． 解:原式=x(x-y)[(x+y)-(x-y)]=x(x-y)(x+y-x+y)=2xy(x-y). ∵x-y=2,xy=-1,∴原式=2×(-1)×2=-4. 21.若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． 解: ∵a-2bc =c²-2ab,∴(a²-c²)+2ab-2bc =0, ∴(a+c)(a-c )+2b(a-c)=0,∴(a-c)(a+c+2b)=0. ∵ a+c+2b≠0, ∴. a-c = 0,即a=c,∴这个三角形是等腰三角形. 22.已知，且满足． （1）求的值； 解∵(x²y-xy²) - (x -y) =28, xy(x-y)-(x-y) = 28, ∴(x -y) (xy -1)= 28,∵xy=15, ∴ 14(x -y) =28,x-y=2; （2）求，的值． 解：∵x² +y²=(x-y)² + 2xy =22 +2 ×15=34 ∴(x +y)²=x²+2xy +y²= 34 +2×15 = 64,x +y=±8. 四．解答题 23.已知：,求的值． 解： 24.用简便方法计算：． 解析：采取换元法进行解决相对来说比较简单 25．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 解析 情境一:设等腰梯形的高为h，可求h=，分别表示出图1和图2的面积，即可求解; 答案： 情境二:可得a²+ 4ab + mb²，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，即可求解; 答案：所拼成的正方形的边长为a+2b,所用C木片的数量为4 情境三:能构成长方形，则2a² + 7ab +4b²要能进行分解，故去掉1个ab后即可进行因式分解，从而可求解. 答案：长方形的长是2a+4b,宽为a+b 长方形如下图所示： 2 / 2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $