第9章 整式综合复习（培优讲义）2025--2026学年沪教版七年级数学上册

【知识清单】整式综合复习 知识点一、整式的相关概念 1、单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． （1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2、整式：几个单项式的和叫做整式，又叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． （1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是次，有个单项式，我们就把这个多项式称为次项式． （4）单项式也叫做整式 3、多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． （1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； 　　 （2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 知识点二、整式的加减 1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3、去括号法则：括号前面是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“－”，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4、添括号法则：添括号后，括号前面是“＋”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“－”，括号内各项的符号都要改变． 5、整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 知识点三、幂的运算 1、同底数幂的乘法： (为正整数)； 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 2、幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3、积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4、同底数幂的除法： (≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5、零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点四、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点五：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 知识点六：因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 【典型例题】 考点一：整式的基本概念 【例1】 （1）在代数式①；②；③；④2021；⑤；⑥中整式的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 （2）关于整式的概念，下列说法正确的是　　 A．的系数是 B．的次数是6 C．0是单项式 D．是五次三项式 （3）都是正整数，多项式的次数是（ ） 或 中的较大数 【变式训练】 1、下列代数式中中，单项式共有　　 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2、（2024秋•杨浦区校级月考）下列结论中正确的是　　 A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式的系数是，次数是4 C．单项式的次数是1，没有系数 D．多项式二次三项式 【例2】 1、多项式是　　 次　　 项式． 2、将多项式按字母进行降幂列： 　． 3、已知单项式与的和是单项式，那么 　　． 4、若多项式中不含项，则　　 ． 5、有一道题目是一个多项式减去，小强误当成了加法计算，结果得到，那么正确的结果应是 　　 ． 【拓展】已知多项式能被整除，则____________． 【变式】已知关于的三次多项式除以时，余式是；除以时，余式是，求这个三次多项式． 考点二：幂的运算 【例3】 1、已知，．求的值． 2、已知，则____________． 3、比较大小： （1）已知，，，比较，，的大小关系． （2）比较，，，这个数的大小关系． 【变式训练】 1、已知，求的值． 2、已知，求的值． 3、已知，那么、、、从小到大的顺序是 ． 考点三、乘法公式 【例4】 1、下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2、若，则整式M为（　　） A．﹣4xy B．2xy C．﹣2xy D．4xy 3、已知关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为_________ 4、计算　　 ． 5、若a﹣b＝5，ab＝6，则a2﹣4ab+b2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．37 【变式训练】 1、若（x+y）2＝19，（x﹣y）2＝5，则x2+y2＝　　 ． 2、计算：　 ． 3、若，，则的值为 　　． 【拓展】已知 【例5】 1、已知：，求： （1）；（2）；（3）；（4） 2、 若+＝3，则分式的值为　　． 【变式训练】 1、若，求的值为　　． 2、已知=3，则代数式的值是 3、若等于________． 考点四：因式分解 【例6】分解因式 （1）． （2）； （3） （4） （5） 【变式训练】分解因式 （1）； （2） （3） （4）． （5） （6） （7） （8） 课后练习 一、选择题： 1．用代数式表示“与的平方的差的一半”，下列正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各组式中，不是同类项的是（ ） A．和 B．5和 C．和 D．和 4．下列从左到右变形，是因式分解的是 （ ） A． B． C． D． 5．下列整式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 6．是一个完全平方式，则的值可以为（ ） A． B． C．10 D． 二、填空题： 7．用代数式表示：“与的平方和的相反数”：　　． 8．如果单项式与是同类项，那么 　　　　． 9．将多项式按字母升幂排列，结果是 　　　　． 10．多项式是　　　　次　　　　项式． 11．若整式与另一个整式的和为，则这个整式为　　　　． 12．若，，则　　　　． 13．计算：　　　　． 14．计算：　　　　． 15．　　　　． 16．因式分解：　　． 17．如果代数式的值为13，那么代数式的值等于　　　　． 18．已知，则的值是　　　　． 三、简答题： 19．计算：． 20． 计算：． 21． 因式分解：． 22． 因式分解：． 23． 先化简，再求值：，其中，． 四、解答题： 24．已知，，求及的值． 25．若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求、的值． 26．如图，点是线段的中点，为线段上一点，分别以、、、为一边作正方形，其面积对应地记作，，，，设，， （1）用含有，的代数式表示正方形的面积． （2）与具有怎样的数量关系？并说明理由． （3）用含有，的代数式表示多边形CDHGFE的面积． 27．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中　　　　，　　　　； （2）对于一元多项式，必定有　　； （3）请你用“试根法”分解因式：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 整式综合复习 【知识清单】 知识点一、整式的相关概念 1、单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． （1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2、整式：几个单项式的和叫做整式，又叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． （1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是次，有个单项式，我们就把这个多项式称为次项式． （4）单项式也叫做整式 3、多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． （1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； 　　 （2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 知识点二、整式的加减 1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3、去括号法则：括号前面是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“－”，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4、添括号法则：添括号后，括号前面是“＋”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“－”，括号内各项的符号都要改变． 5、整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 知识点三、幂的运算 1、同底数幂的乘法： (为正整数)； 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 2、幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3、积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4、同底数幂的除法： (≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5、零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点四、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点五：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 知识点六：因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 【典型例题】 考点一：整式的基本概念 【例1】 （1）在代数式①；②；③；④2021；⑤；⑥中整式的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 （2）关于整式的概念，下列说法正确的是　　 A．的系数是 B．的次数是6 C．0是单项式 D．是五次三项式 【答案】 （3）都是正整数，多项式的次数是（ ） 或 中的较大数 【答案】 【变式训练】 1、下列代数式中中，单项式共有　　 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】 2、（2024秋•杨浦区校级月考）下列结论中正确的是　　 A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式的系数是，次数是4 C．单项式的次数是1，没有系数 D．多项式二次三项式 【答案】 【例2】 1、多项式是　　 次　　 项式． 【答案】三，三． 2、将多项式按字母进行降幂列： 　． 【答案】 3、已知单项式与的和是单项式，那么 　　． 【答案】-1． 4、若多项式中不含项，则　　 ． 【答案】． 5、有一道题目是一个多项式减去，小强误当成了加法计算，结果得到，那么正确的结果应是 　　 ． 【答案】． 【拓展】已知多项式能被整除，则____________． 【答案】1 【变式】已知关于的三次多项式除以时，余式是；除以时，余式是，求这个三次多项式． 【答案】 考点二：幂的运算 【例3】 1、已知，．求的值． 【答案】 2、已知，则____________． 【答案】3 3、比较大小： （1）已知，，，比较，，的大小关系． （2）比较，，，这个数的大小关系． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）∵，， 又∵， ∴． （2）∵，， 又∵， ∴． 【总结】幂的比较大小，有两个思路，一个是指数相同，底数比较大小；一个是底数相同，指数比较大小． 【变式训练】 1、已知，求的值． 【答案】．【解析】解：． 2、已知，求的值． 【答案】． 【解析】解： ． 3、已知，那么、、、从小到大的顺序是 ． 【答案】； 【解析】. 考点三、乘法公式 【例4】 1、下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】故选：D． 2、若，则整式M为（　　） A．﹣4xy B．2xy C．﹣2xy D．4xy 【答案】D 3、已知关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为_________ 【答案】±20 4、计算　　． 5、若a﹣b＝5，ab＝6，则a2﹣4ab+b2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．37 【答案】A 【变式训练】 1、若（x+y）2＝19，（x﹣y）2＝5，则x2+y2＝　　 ． 【答案】12 2、计算：　　． 3、若，，则的值为 　90　． 【解答】解：，， ．故答案为：90． 【拓展】已知 【答案】13 【例5】 1、已知：，求： （1）；（2）；（3）；（4） 2、 若+＝3，则分式的值为　　． 【答案】 【变式训练】 1、若，求的值为　2　． 【解答】解：已知等式两边平方得：， 则． 故答案为：2． 2、已知=3，则代数式的值是 【答案】D 3、若等于________． 【答案】 考点四：因式分解 【例6】分解因式 （1）． （2）； （3） （4） （5） 【答案】（1）； （2）； （3） （4）（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）． （5）； 【变式训练】分解因式 （1）； （2） （3） （4）． （5） （6） （7） （8） 【答案】（1）；（2） （3） （4） （5） （6） （7）； （8）； 课后练习 一、选择题： 1．用代数式表示“与的平方的差的一半”，下列正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各组式中，不是同类项的是（ ） A．和 B．5和 C．和 D．和 4．下列从左到右变形，是因式分解的是 （ ） A． B． C． D． 5．下列整式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 6．是一个完全平方式，则的值可以为（ ） A． B． C．10 D． 二、填空题： 7．用代数式表示：“与的平方和的相反数”：　　． 8．如果单项式与是同类项，那么 　　　　． 9．将多项式按字母升幂排列，结果是 　　　　． 10．多项式是　　　　次　　　　项式． 11．若整式与另一个整式的和为，则这个整式为　　　　． 12．若，，则　　　　． 13．计算：　　　　． 14．计算：　　　　． 15．　　　　． 16．因式分解：　　． 17．如果代数式的值为13，那么代数式的值等于　　　　． 18．已知，则的值是　　　　． 三、简答题： 19．计算：． 20． 计算：． 21． 因式分解：． 22． 因式分解：． 23． 先化简，再求值：，其中，． 四、解答题： 24．已知，，求及的值． 25．若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求、的值． 26．如图，点是线段的中点，为线段上一点，分别以、、、为一边作正方形，其面积对应地记作，，，，设，， （1）用含有，的代数式表示正方形的面积． （2）与具有怎样的数量关系？并说明理由． （3）用含有，的代数式表示多边形CDHGFE的面积． 27．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中　　　　，　　　　； （2）对于一元多项式，必定有　　； （3）请你用“试根法”分解因式：． 【答案】 一、选择题 1. D 2. B 3. A 4. C 5. D 6. D 二、填空题 7. 8. 4 9. 10. 五 五 11. 12. 12 13. 14. 15. 16. 17. 18. 11 三、简答题 19. 20. 21. 22. 23. 化简为，代入后值为 四、综合题 24. 的值为55，的值为 25. 26.（1） （2） （3） 27.（1）， （2） （3） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$