专题01 因式分解的意义及与提公因式法重难点题型专训（2个知识点+4大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题01 因式分解的意义及与提公因式法重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 拓展训练一 利用提公因式法化简求值 拓展训练二 提公因式法的综合应用 拓展训练三 运用因式分解求多项式的值 知识点一：因式分解的意义 基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： ①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； ②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； ③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海崇明·期末）下列各式从左到右，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的，关键是能准确理解并运用因式分解的定义． 【详解】解：A.是乘法符号的变形，不是因式分解，选项不符合题意； B. 的右边不是整式的乘积形式，不是因式分解，选项不符合题意； C. 是多项式乘多项式，不是因式分解，选项不符合题意； D. 是因式分解，选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·课前预习）利用 运算，可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式． 【答案】整式的乘法 【解析】略 知识点二： 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 【即时训练】 1．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）分解因式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据提取公因式法因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故选：． 【点睛】本题主要考查因数分解，掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 2．（2025·上海松江·模拟预测）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了了因式分解，直接提取公因式x即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）下面是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、符合因式分解的定义，故此选项符合题意， B、是整式乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意， C、，分解错误，故此选项不符合题意， D、，分解错误，故此选项不符合题意， 故选：A． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，结合因式分解的概念，逐个选项分析即可． 【详解】，属于整式乘法不是因式分解，故选项不属于； ，符合因式分解的概念，故选项属于； ，不属于因式分解，故选项不属于； ，选项错误，故选项不属于． 故答案选：． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）分解因式 ． 【答案】 【详解】试题分析：根据题意可知 考点：整式的化简求值 点评：解答本题的关键是熟练掌握在去括号时，若括号前是“-”号，把括号和括号前的“-”号去掉后，括号里各项的符号均要改变 3．（24-25七年级上·上海长宁·单元测试）给出下列六个多项式：①x2＋y2；②－x2＋y2；③x2＋2xy＋y2；④x4－1；⑤x(x＋1)－2(x＋1)；⑥m2－mn＋n2.其中，能因式分解的是 (填序号)． 【答案】②③④⑤⑥ 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】①x2+y2不能因式分解，故①错误； ②-x2+y2利用平方差公式，故②正确； ③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确； ④x4-1平方差公式，故④正确； ⑤x（x+1）-2（x+1）提公因式，故⑤正确； ⑥m2-mn+n2完全平方公式，故⑥正确； 故答案为②③④⑤⑥． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，因式分解的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，注意分解要彻底． 4．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）下列由左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?请说出理由. （1）a（x+y）=ax+ay； （2）x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）； （3）ax2-9a＝a（x+3）（x-3）； （4）x2+2+= （5）2a3＝2a·a·a. 【答案】见解析 【详解】试题分析：根据因式分解的定义判断即可. 试题解析： 因为(1) (2)的右边都不是整式的积的形式.所以它们不是分解因式；(4)中，都不是整式，(5)中的2a3不是多项式，所以它们也不是分解因式．只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以(3)是分解因式. 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例2】（24-25七年级上·上海·期中）若因式分解，则a的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义可直接进行求解． 【详解】解：由可得：， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解是解题的关键． 1．（2025七年级上·上海·专题练习）若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】首先设原式，进而求出即可． 【详解】解：原式 故，，， 解得：，，或，，， ∴． 故选C． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键． 2．（24-25七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】设，根据多项式的乘法得出，，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 解得：，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海长宁·单元测试）因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为 ． 【答案】 【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用多项式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式. 【详解】解：甲错了a的值，， ， 乙看错了b的值，， ， 分解因式正确的结果：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，根据两人的分解结果得到原本的多项式是解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因数及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得， 化简、整理，得， 于是有解得， 另一个因式为，m的值为． 问题：仿照上述方法解答下面的问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】另一个因式为，k的值为20． 【分析】根据所求的式子的二次项系数是2，因式是（x+4）的一次项系数是1，可知另一个因式的一次项系数一定是2，设另一个因式为，仿照例题计算即可． 【详解】解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为20． 【点睛】考查了因式分解的应用，正确读懂例题，理解题意是解题的关键． 【经典例题三 公因式】 【例3】（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用公因式的定义：数字取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式，判断即可． 【详解】解：在多项式中，各系数的最大公因式为5，相同字母的最低次幂为， 则各项的公因式是． 故选：C． 【点睛】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的判断方法是解本题的关键． 1．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）若，且，则的值是   （　   　） A．﹣4 B．4 C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】对原式进行因式分解，代入值即可． 【详解】x2-y2=（x+y）（x-y）=-5（x-y）=20， 解得，x-y=-4． 故选A． 【点睛】考查了应用平方差公式因式分解，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 2．（24-25七年级上·上海长宁·单元测试） 。 【答案】 【分析】两数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.根据平方差公式进行判断即可. 【详解】 ， 故答案为： 【点睛】此题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特征是解答此题的关键. 3．（24-25七年级上·上海宝山宁·单元测试）（1）﹣xy2（x+y）3+x（x+y）2的公因式是 ； （2）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是 ． 【答案】 x（x+y）2 4（m﹣n） 【详解】（1）﹣xy2（x+y）3+x（x+y）2的公因式是 x（x+y）2； （2）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是4（m﹣n）． 4．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将下列各式分解因式： （1）8ax2–2ax；（2） 【答案】（1）；（2） 【详解】试题分析：（1）直接提公因式即可； （2）原式整理后，先提取公因式，利用完全平方公式分解即可． （1）8ax2–2ax=； （2）==. 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例4】（25-26七年级上·上海崇明·课后作业）有下列各组多项式：①（1）和；②和；③和；④和．其中含有公因式的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】判断各组多项式是否存在公因式，需逐一分析各组的因式分解关系. 【详解】1. 第①组：和 无法提取作为公因式，且两式无其他共同因式，故无公因式. 2. 第②组：和 = ，因此两式可分别写为和，公因式为. 3. 第③组：和 两式分别写为和，公因式为. 4. 第④组：和 与符号不同且不可分解，且不是的因式，故无公因式. 综上，含有公因式的组为②③. 故选：B. 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若多项式，则是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】提取公因式后剩下的各项的和就是所要求的的值． 【详解】解： ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的解答过程，要灵活运用符号的变换． 2．（24-25七年级上·上海金山·期中）与的公因式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了公因式的确定能力，运用公因式的定义和提公因式法因式分解进行求解，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 【详解】解：∵，， ∴与的公因式是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）因式分解： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】（1）利用提公因式法，即可因式分解； （2）利用提公因式法，即可因式分解； （3）利用提公因式法，即可因式分解． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键． 4．（25-26七年级上·上海长宁·阶段练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______，共运用了______次． (2)请用上述方法因式分解：． (3)猜想：（是正整数）因式分解的结果是______． 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3) 【分析】本题考查了利用提取公因式法进行多次因式分解及规律探究，解题的关键是理解并运用逐步提取公因式的方法，观察因式分解过程中的规律． （1）观察所给因式分解过程，判断使用的方法及运用次数； （2）模仿题目中给出的方法，依次提取公因式进行因式分解； （3）根据前两问的结果，归纳总结出一般规律． 【详解】（1）解：上述因式分解的方法是提取公因式法． 第一次提取公因式后得到； 第二次提取公因式后得到，共运用了2次． 故答案为：提取公因式法，2． （2） 故答案为：． （3）由（1）中结果为（此时中结果为（此时，可猜想： 因式分解的结果是． 【拓展训练一 利用提公因式法化简求值】 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）化简所得的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用提公因式法，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解提公因式法，有理数的混合运算，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）化简： . 【答案】/ 【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果． 【详解】解：原式=（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）2021] =（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）2020] =（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）2019] =… =（a+1）2025． 故答案为：（a+1）2025． 【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 3．（24-25七年级上·上海长宁·单元测试）利用因式分解化简多项式． 1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)2016. 【答案】(1＋x)2017. 【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出即可． 【详解】1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2016 =（1+x）（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2016 =（1+x）2（1+x）+…+x（1+x）2016 =（1+x）2017． 【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键． 【拓展训练二 提公因式法的综合应用】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）若长为，宽为的长方形周长为10，面积为6，则的值是（       ） A．60 B．16 C．30 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解-提公因式法，代数式求值，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 根据长方形的周长和面积公式，得到关于和的方程，再通过因式分解将所求表达式转化为已知值的代数式求解． 【详解】解：由长方形的周长为10，得：， 即． 由长方形的面积为6，得：． ∴． 故选C． 2．（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数） ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键，直接利用提取公因式法分解因式得出即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海长宁·随堂练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 【拓展训练三 运用因式分解求多项式的值】 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）把多项式提取公因式后，余下的部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式． 将原多项式提取公因式计算即可． 【详解】解：， 即余下的部分是， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）阅读材料：若为常数有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解 若为常数有一个因式为，则因式分解 ． 【答案】 【分析】根据题意，因为有一个因式为，仿照例题通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式． 【详解】解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解 因式分解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握列竖式做多项式除法是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用换元法进行因式分解即可．掌握换元法，是解题的关键． 【详解】解：设， 将代入，得： ∴原式． 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，对各选项逐一进行因式分解验证，判断是否符合分解规则即可． 【详解】解：A. ，虽提取公因式，但可进一步分解为，未彻底分解，故错误； B. 需分解为两数积为、和为的项，正确分解应为，故错误； C. ，提取公因式后，在实数范围内不可再分解，故正确； D. ，右边为多项式变形而非乘积形式，不符合因式分解要求，故错误； 故选C． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）多项式与的公因式是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：∵ ， ， ∴多项式与的公因式是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了公因式的判断，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据多项式乘法把等式右边展开得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）对于任意的有理数,我们规定  ,如  ．求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新规定得出再根据提公因式法分解因式即可得出答案． 【详解】解：   故选A 【点睛】本题考查了新定义运算，涉及到提公因式法分解因式，灵活运用因式分解的方法是解题的关键． 5．（24-25七年级上·上海崇明·期中）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为(   )    A．15 B．30 C．60 D．78 【答案】D 【分析】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可． 【详解】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6， 则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78． 故选D． 【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力． 6．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出公因式的即可． 【详解】解：∵各项系数6、3的最大公约数是3，各项都含有的字母是x与y,x的最低指数是2，y的最低指数是2， ∴该多项式的公因式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查公因式，掌握公因式的确定方法是解决问题的关键． 7．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）将因式分解得，则c的值为 ． 【答案】4 【分析】把展开再根据对应项系数相等即可求解． 【详解】解： ， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整式乘法与因式分解，理解合并同类项之后相同的项系数相同是解题的关键． 8．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）在公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中，从左到右是 ，从右到左的变形中 . 【答案】 整式乘法 因式分解 【详解】在公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中，从左到右是整式乘法，从右到左的变形是因式分解. 9．（24-25七年级上·上海松江·开学考试）如图，长和宽分别为，的长方形的周长为，面积为，则的值为 ；    【答案】 【分析】根据长方形周长和面积的公式得到，，再将因式分解等于，再代入求值即可． 【详解】解：长方形的长和宽分别为，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 10．（25-26七年级上·上海长宁·随堂练习）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解；不是整式乘积的形式 (2)是因式分解；是两个整式乘积的形式 (3)不是因式分解；不是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式表示为几个整式的积的形式；熟悉因式分解的定义是关键； （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义判断即可； （3）根据因式分解的定义判断即可； 【详解】（1）解：，左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解； （3）解：，右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解． 11．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）(6分)因式分解： （1）                  （2） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解析：本题考查了提公因式法分解因式．多项式中的各项都含有公因式，提取公因式即可，所以．                                 （2）解析：本题考查了用公式法分解因式．根据幂的乘方运算，可将变形为，，再根据平方差公式将原式进行因式分解． （1）解：原式 （2）解：原式 12．（25-26七年级上·上海长宁·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，理解整体公因式是解本题的关键． （1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可； （3）提取公因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ． 13．（24-25七年级上·上海虹口·课堂例题）（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 14．（25-26七年级上·上海青浦·单元测试）已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式； 把展开后的多项式各项系数与的各项系数进行对比，即可得到答案． 【详解】解：因为，多项式因式分解的结果为， 所以， 所以，． 15．（24-25七年级上·上海普陀·期末）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解的意义及与提公因式法重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 拓展训练一 利用提公因式法化简求值 拓展训练二 提公因式法的综合应用 拓展训练三 运用因式分解求多项式的值 知识点一：因式分解的意义 基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： ①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； ②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； ③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海崇明·期末）下列各式从左到右，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·课前预习）利用 运算，可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式． 知识点二： 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 【即时训练】 1．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）分解因式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·上海松江·模拟预测）因式分解： 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）下面是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）分解因式 ． 3．（24-25七年级上·上海长宁·单元测试）给出下列六个多项式：①x2＋y2；②－x2＋y2；③x2＋2xy＋y2；④x4－1；⑤x(x＋1)－2(x＋1)；⑥m2－mn＋n2.其中，能因式分解的是 (填序号)． 4．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）下列由左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?请说出理由. （1）a（x+y）=ax+ay； （2）x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）； （3）ax2-9a＝a（x+3）（x-3）； （4）x2+2+= （5）2a3＝2a·a·a. 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例2】（24-25七年级上·上海·期中）若因式分解，则a的值是（    ） A． B． C．2 D．4 1．（2025七年级上·上海·专题练习）若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 3．（24-25七年级上·上海长宁·单元测试）因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为 ． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因数及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得， 化简、整理，得， 于是有解得， 另一个因式为，m的值为． 问题：仿照上述方法解答下面的问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【经典例题三 公因式】 【例3】（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）若，且，则的值是   （　   　） A．﹣4 B．4 C．5 D．以上都不对 2．（24-25七年级上·上海长宁·单元测试） 。 3．（24-25七年级上·上海宝山宁·单元测试）（1）﹣xy2（x+y）3+x（x+y）2的公因式是 ； （2）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是 ． 4．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将下列各式分解因式： （1）8ax2–2ax；（2） 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例4】（25-26七年级上·上海崇明·课后作业）有下列各组多项式：①（1）和；②和；③和；④和．其中含有公因式的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若多项式，则是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海金山·期中）与的公因式是 ． 3．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）因式分解： （1） ； （2） ； （3） ． 4．（25-26七年级上·上海长宁·阶段练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______，共运用了______次． (2)请用上述方法因式分解：． (3)猜想：（是正整数）因式分解的结果是______． 【拓展训练一 利用提公因式法化简求值】 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）化简所得的结果为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）化简： . 3．（24-25七年级上·上海长宁·单元测试）利用因式分解化简多项式． 1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)2016. 【拓展训练二 提公因式法的综合应用】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）若长为，宽为的长方形周长为10，面积为6，则的值是（       ） A．60 B．16 C．30 D．1 2．（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数） ． 3．（25-26七年级上·上海长宁·随堂练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【拓展训练三 运用因式分解求多项式的值】 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）把多项式提取公因式后，余下的部分是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）阅读材料：若为常数有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解 若为常数有一个因式为，则因式分解 ． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）多项式与的公因式是（　　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（    ） A． B． C． D．4 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）对于任意的有理数,我们规定  ,如  ．求的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海崇明·期中）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为(   )    A．15 B．30 C．60 D．78 6．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）多项式的公因式是 ． 7．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）将因式分解得，则c的值为 ． 8．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）在公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中，从左到右是 ，从右到左的变形中 . 9．（24-25七年级上·上海松江·开学考试）如图，长和宽分别为，的长方形的周长为，面积为，则的值为 ；    10．（25-26七年级上·上海长宁·随堂练习）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 11．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）(6分)因式分解： （1）                  （2）                      12．（25-26七年级上·上海长宁·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 13．（24-25七年级上·上海虹口·课堂例题）（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 14．（25-26七年级上·上海青浦·单元测试）已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 15．（24-25七年级上·上海普陀·期末）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 学科网（北京）股份有限公司 $