精品解析：广东省广州市第九十七中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试

2025学年第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共5页，满分120分，考试时间120分钟，不可使用计算器． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号等内容填写清楚． 2．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用黑色签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持答题卷面清洁，不要折叠、不要弄破，藜用涂改液，涂改带． 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 下列选项中的方程，是一元二次方程的为（　　） A. x+＝1 B. x2+2y﹣3＝0 C. 3x2＝1 D. x3﹣2x+1＝0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．是一元二次方程，故本选项符合题意； D．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程． 2. 下列平面图形，是中心对称但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、是轴对称图形，是中心对称图形． 故选A． 【点睛】考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 若是二次函数，则a的值是（　　） A. B. C. 2 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得且，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 且， 解得：， 故选：B． 4. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度， 所得新抛物线的函数表达式为，即， 故选：B． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先求出根的判别式∆的值，然后根据∆的值判断即可． 【详解】∵根的判别式 ∴该一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根． 6. 如图，为的半径，弦于点．若，，则的半径长为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理和勾股定理列方程即可 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 解得， ， 则⊙O的半径长为5， 故选A． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题． 7. 已知一元二次方程：x2－3x－1＝0的两个根分别是x1、x1则x1x2(x1＋x2)的值为( ) A. －3 B. C. －6 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到=3,=-1,然后利用整体代入的方法计算x1x2(x1＋x2)的值. 【详解】解: 根据题意得, =3, =-1, 所以x1x2(x1＋x2)=-13=-3. 故选A. 【点睛】点评: 本题考查了根与系数的关系: 若、是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两根时,=-，,=. 8. 已知抛物线上有三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线的对称性质及对称轴得的对称点的坐标为，再根据抛物线的开口向上及其增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 根据抛物线对称性得：的对称点的坐标为， 又抛物线的开口向上，当时，y随x的增大而减小，且， ， 故选D． 9. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，然后根据平行线的性质由得，则，再根据三角形内角和计算出，所以． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①＞0，②2a＋c＜0，③2a＋b＞0，④方程ax2＋bx＋c＋m＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用点A（﹣1，0），点B（m，0）求出对称轴，然后利用2＜m＜3判断即可①③；把点A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中可得a﹣b+c＝0，再结合①中的结论即可解答②；利用直线y＝﹣m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象的交点个数判断④即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交点在y轴负半轴， ∴a＞0，c＜0， ∵二次函数图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），且2＜m＜3， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴是直线：x＝， ∵2＜m＜3， ∴1＜﹣1+m＜2， ∴＜＜1， ∴＜﹣＜1， ∴﹣＞0， ∴b＜0， ∴＞0， 故①正确； 把点A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中可得：a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， 由①得：﹣＞， ∵a＞0， ∴a+b＜0， ∴a+a+c＜0， ∴2a+c＜0， 故②正确； 由（1）知﹣＜1，a＞0， ∴2a+b＞0， 故③正确； ④方程ax2+bx+c+m＝0可以转化为ax2+bx+c＝﹣m， 由图可知： 直线y＝﹣m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象抛物线有两个交点， ∴方程ax2+bx+c＝﹣m有两个不相等的实数根， 故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数性质，根的判别式，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，准确熟练地进行计算是解题的关键． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若点与点B关于原点对称，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称点的特点是解答此题的关键． 根据平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标特征直接求解，点关于原点对称的点的坐标为 ． 【详解】解：∵点与点关于原点对称 ∴点坐标为 故答案为：． 12. 如图，在半径为的⊙O中，弦长．的度数________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，等边三角形的性质与判定，得出是等边三角形是解题的关键． 根据半径为，弦长，可以判断是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 13. 某品牌新能源汽车的某款车型售价为万元，连续两次降价后售价为万元，假知每次平均降价的百分率都为，那么可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设每次平均降价的百分率都为，根据题意列出一元二次方程． 【详解】解：设每次平均降价的百分率都为，那么可列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列出一元二次方程是解题的关键． 14. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,注意利用函数对称的性质来解决问题． 利用待定系数法求得抛物线的解析式．已知抛物线上距水面高为8米的点E，F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式,可求E、F两点的横坐标,根据抛物线的对称性求长． 【详解】解：如图，以所在直线为 x 轴、线段 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 由题意知，． 设过点A， B， C 的抛物线方程为， 把点的坐标代入，得  ， 解得： ， 则该抛物线的解析式为：， 把 代入,得  ， 即 ， ∴， 所以两盏警示灯之间的水平距离为： ， 故答案为： 15. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，根据对称性可得点在抛物线上，再由抛物线开口向下，得到离对称轴越近函数值越大，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，对称轴为直线，且与y轴交于点， ∴点在抛物线上， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越近函数值越大， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 16. 已知，则的值是___． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，设，原式转化为：，展开后求出的值，即可得解． 【详解】解：设，则：，， ∴， ∴， ∴； ∴； 故答案为：11． 三、解答题（请在答卷相应的位置写出详细的解答过程，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）先移项，然后用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 移项得：， 开平方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 18. 如图，在6×9的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长，每个小正方形顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到． （1）在图中画出； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）连接，根据三角形的面积公式，求解即可． 【小问1详解】 如图所示： 【小问2详解】 连接， ∴的面积为． 【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握旋转的方向和角度． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且与x轴交于B，C两点，点B的坐标为． （1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）若一次函数的图象经过A，B两点，观察图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出抛物线的解析式将点代入求解即可得到答案； （2）画出一次函数，根据图象找到一次函数图象在上的部分即可得到答案 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为：， ∵抛物线的顶点为，且过， ∴，，， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得，图象如图所示， 由图像可得：、之间直线在上二次函数在下， ∴一次函数值大于二次函数值x的取值范围为：； 【点睛】本题考查待定系数法求解析式及利用二次函数图象与一次函数图象解一元二次不等式． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由即可证明； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合可得、的值，代入即可求的值． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵取任意实数时，，即， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 解得，， ∴ 即， 解得或． 21. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵为的弦， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， 为的弦， ∴，， ， 设的半径是r， ， 解得， ∴的半径是5． 22. 某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的长度为15m），用28m长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践． （1）若围成的菜地面积为，求此时AB的长． （2）当的长为多少时，围成的菜地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）的长为10米 （2）当的长为7米时，围成的菜地面积最大，最大面积是98平方米 【解析】 【分析】（1）设的长为米，可得，即可解得答案； （2）设的长为米，围成的菜地面积是平方米，可得，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 设的长为米，则米，根据题意得： ， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 的长为10米； 【小问2详解】 设的长为米，围成的菜地面积是平方米， ， ， 时，取最大值98， 此时，符合题意； 当的长为7米时，围成的菜地面积最大，最大面积是98平方米． 【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 23. 我们把使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点，点是函数的零点． （1）已知函数，则该函数的零点坐标为___________； （2）若二次函数有两个零点，求实数的取值范围； （3）已知二次函数的两个零点都是整数点，求整数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）令进行求解即可； （2）令时，则有，然后根据根的判别式可进行求解； （3）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意可令时，则有，解得：， ∴该函数的零点坐标为； 故答案为； 【小问2详解】 解：令时，则有， ∵二次函数有两个零点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得：， 令时，， ∴， 解得：， ∵二次函数的两个零点都是整数点， ∴为整数， ∴． 24. 如图1，等边中，分别交、于点D、E． （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点C顺时针旋转（），设直线与直线相交于点F． ①如图2，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当B，D，E三点共线时，求长． 【答案】（1）见解析 （2）①固定不变；②或8 【解析】 【分析】（1）先判断出，进而得出，，即可得出结论； （2）①先判断出，得出，进而得出答案； ②Ⅰ、当，，三点共线，且在上方时．过点作于，求出，，进而求出，即可得出答案； Ⅱ、当，，三点共线，且在下方时，同Ⅰ的方法，即可得出答案． 【小问1详解】 是等边三角形， ， ∵， ，． 是等边三角形； 【小问2详解】 ①的度数是定值，理由如下：如图2， 在和中， ， ， ， 又， ； ②Ⅰ、当，，三点共线，且在上方时．如图3， 过点作于， 在中，，． ∴ ∴，； 在中，， ； Ⅱ、当，，三点共线，且下方时，如图4， 过点作于， ． 同理可得， 综上所述，或8． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线是解本题的关键． 25. 如图，抛物线与坐标轴分别交于点，连接，已知抛物线的对称轴为直线，． （1）求值． （2）若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值． （3）若点在轴上，点在抛物线上，当为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数最值问题，二次函数与四边形结合，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据待定系数法求解析式即可； （2）过点作轴，将的长度用二次函数表示，即可求出最大值，从而求得线段的最大值； （3）分两种情况进行讨论，求出点的坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得点的坐标为， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：过点作轴于点， 当时，， ∴点的坐标为，， 当时，，， ∴点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵点在抛物线上， ∴设， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：设， 情况一：当时，过点作轴于点，， ∵，， ∴， 解得（舍去），， ∴，， ∴，； 情况二：当时，过点作轴于点，， ∵，， ∴， 解得，， 当时， ，，， ∴ 当时，，， ∴， ∴，， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共5页，满分120分，考试时间120分钟，不可使用计算器． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号等内容填写清楚． 2．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用黑色签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持答题卷面清洁，不要折叠、不要弄破，藜用涂改液，涂改带． 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 下列选项中的方程，是一元二次方程的为（　　） A. x+＝1 B. x2+2y﹣3＝0 C. 3x2＝1 D. x3﹣2x+1＝0 2. 下列平面图形，是中心对称但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若是二次函数，则a的值是（　　） A. B. C. 2 D. 不能确定 4. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 6. 如图，为的半径，弦于点．若，，则的半径长为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 7. 已知一元二次方程：x2－3x－1＝0的两个根分别是x1、x1则x1x2(x1＋x2)的值为( ) A. －3 B. C. －6 D. 6 8. 已知抛物线上有三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置，使得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①＞0，②2a＋c＜0，③2a＋b＞0，④方程ax2＋bx＋c＋m＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若点与点B关于原点对称，则点B的坐标为________． 12. 如图，在半径为⊙O中，弦长．的度数________． 13. 某品牌新能源汽车的某款车型售价为万元，连续两次降价后售价为万元，假知每次平均降价的百分率都为，那么可列方程为______． 14. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于______米． 15. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 16. 已知，则的值是___． 三、解答题（请在答卷相应的位置写出详细的解答过程，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在6×9的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长，每个小正方形顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到． （1）在图中画出； （2）求的面积． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且与x轴交于B，C两点，点B的坐标为． （1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）若一次函数的图象经过A，B两点，观察图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若该方程的两个实数根、满足，求的值． 21. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的长度为15m），用28m长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践． （1）若围成的菜地面积为，求此时AB的长． （2）当的长为多少时，围成的菜地面积最大？最大面积是多少？ 23. 我们把使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点，点是函数的零点． （1）已知函数，则该函数的零点坐标为___________； （2）若二次函数有两个零点，求实数取值范围； （3）已知二次函数的两个零点都是整数点，求整数的值． 24. 如图1，等边中，分别交、于点D、E． （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点C顺时针旋转（），设直线与直线相交于点F． ①如图2，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当B，D，E三点共线时，求的长． 25. 如图，抛物线与坐标轴分别交于点，连接，已知抛物线的对称轴为直线，． （1）求的值． （2）若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值． （3）若点在轴上，点在抛物线上，当为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $