精品解析：广东省深圳市福田区红岭中学2025-2026学年高二上学期第一学段考试数学试卷

红岭中学2025-2026学年度第一学期第一学段考试 高二数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：隗双和 审题人：叶迎东 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得中点的坐标，然后根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【详解】中点坐标为， 所以边上的中线所在直线的方程为， 整理得. 故选：B 2 设，向量，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，解得， 所以，则. 故选：D. 3. 过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到点在圆上，设过点的切线为，由，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由点满足圆的方程，所以点在圆上， 又由圆，即，可得圆心， 设过点的切线为，则， 因为，所以 ，所以直线的方程为， 即，所以切线方程为. 故选：A. 4. 已知直线和，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由直线平行求参数m，根据充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，则或， 当，，满足平行； 当，，满足平行； 所以或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理求解. 【详解】 如图，在正三棱锥中，因为点G为的重心，连接并延长交于点, 所以， 又点M是线段上的一点，且， 所以， ， 故选：A. 6. 已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简直线为，得到直线恒过定点，求得，结合图象，即可求解. 【详解】由直线，可得， 又由直线的点斜式方程，可得直线恒过定点， 因为，可得， 如图所示，若直线与线段相交（不包含端点），则， 即直线斜率的取值范围为. 故选：B. 7. 已知圆柱的底面半径和母线长均为分别为圆､圆上的点，若，则异面直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在圆的投影为，连接，计算，根据余弦定理得到，得到答案. 【详解】如图所示：在圆的投影为，连接，易知， 在直角中，， 在中，根据余弦定理，， ，故， 故异面直线所成的角为. 故选：C. 8. 已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理可求出的关系，即可求出椭圆的离心率. 【详解】设椭圆右焦点为，连接，， 根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则， 因为，可得， 结合，所以， 则，， 由余弦定理可得， 即，即 故椭圆离心率 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为5 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 圆被直线截得的弦长为2 【答案】BD 【解析】 分析】根据圆方程得到圆心，半径，得到A错误，代入点坐标得到B正确，圆心不过直线得到C错误，计算弦长得到D正确，得到答案. 【详解】，即，圆心，半径， 圆的半径为，A错误； ，故点在圆外，B正确； 圆心不在直线上，故C错误； 当时，，解得或，故弦长为2，D正确. 故选：BD 10. 已知点是左、右焦点为的椭圆上的动点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最小值为 C. 若，则的面积为4 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用椭圆的定义和椭圆的几何性质，逐项分析求解，即可得到答案. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A，由椭圆离心率的定义，可得，所以A错误； 对于B，由椭圆的几何性质，可得的最小值为，所以B正确； 对于C，由椭圆的定义，可得， 因为，可得，即， 又由， 解得，所以的面积为，所以C正确； 对于D，由椭圆的定义，可得，则， 所以 当不共线时，可得； 当共线时，可得， 综上可得，，所以的最大值为， 又由，可得，所以的最大值为，所以D正确. 故选：BCD. 11. 棱长为2的正方体中，为侧面内的动点，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 在线段上运动 C. 的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】证明平面，平面得到，B正确，当与重合时，与夹角为，A错误，计算，C正确，计算得到D正确，得到答案. 【详解】易知平面，又，可知平面，又平面， 平面平面，故，B正确； 当与重合时，与夹角为，A错误； 设的中点为，则，，， 故， 故，即的最小值为，C正确； 易得平面， 为定值，D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中三点共线，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，由，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】由空间三点，可得， 因为三点共线，则存在实数，使得， 可得，解得，所以. 故答案为：. 13. 如图，在直三棱柱中，，则此直三棱柱的外接球的体积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件把直三棱柱补形成正方体，利用它们有相同的外接球，求出正方体的体对角线长即可得解. 【详解】直三棱柱共点于的三条棱两两垂直， 则以为相邻三条棱可作正方体，该正方体与直三棱柱有相同的外接球， 外接球的直径2R即为正方体体对角线长，即， 此球的体积为， 故答案为：. 14. 已知圆与圆，动点向两个圆所引的切线长相等，则的最大值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设动点的坐标为，根据，求得动点的轨迹方程为，取关于直线的对称点为，得到，结合，得到当三点共线时，取得最大值，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由圆，可得化为，可得圆心，半径， 圆，可得，则圆心，半径， 如图所示，设动点的坐标为，过点与圆相切的切点分别为， 因为动点向两个圆所引的切线长相等，即，则 在直角和中，可得和， 可得，所以， 整理得，即动点的轨迹方程为， 取关于直线的对称点为，则， 又因为，所以，所以在直线上， 所以当三点共线时，取得最大值， 由点到直线距离为，点到直线的距离为， 即到直线的距离为，所以，即取得最大值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点. （1）求证：CF//平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合，进而证得平面； （2）由（1）知平面的一个法向量为，且，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 又因为，所以， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 解：由（1）知平面的一个法向量为，且， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）点在圆上，求的取值范围； （3）若经过点直线与圆相交于，两点，且为直角三角形，求的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标，利用圆心和圆经过已知两点构造方程求出圆心坐标，利用圆心到已知点的距离求出半径，从而得出圆的方程； （2）先分析得出表示原点到圆上距离的平方，再求出原点到圆心的距离，结合圆的半径得出原点到圆上距离的取值范围，从而得出的取值范围； （3）利用已知条件求出圆心到直线的距离，设直线斜率为得出直线方程，利用点到直线距离公式构造方程求出，从而得出直线方程． 【小问1详解】 由题可设圆的圆心为， 又圆经过，两点， ，解得， ，圆的半径为， 圆的方程为； 【小问2详解】 表示圆上点到原点距离的平方， 原点到圆心的距离， 原点到圆上点的距离范围为，即， 【小问3详解】 ． 直线过点与圆相交于，两点，而点在圆上， 所以于，两点有一个与P重合， 因为为直角三角形， ，， 圆心到直线的距离， 由题可知直线的斜率存在且设为，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，化简得，解得， 直线的方程为：或． 17. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M为短轴的上端点，，过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． 1求椭圆C的方程； 2设经过点且不经过点M的直线l与C相交于G，H两点若，分别为直线MH，MG的斜率，求的值． 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)-1. 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）由，得. 因为过垂直于轴的直线交椭圆于两点且，所以，进而可得结果；(Ⅱ)设直线的方程为,代入得,根据斜率公式，利用韦达定理，可得，化简消去即可的结果. 详解：（Ⅰ）由，得. 因为过垂直于轴的直线交椭圆于两点且，所以，由得,故椭圆的方程为. （Ⅱ）由椭圆的方程与点知设直线的方程为,即，将代入得, 由题设可知,设， 则， ，所以 点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 18. 如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点是线段的中点 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置. 【小问1详解】 证明：连接，取线段的中点，连接， 在Rt中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， 在中， ， 又平面， 平面， 又平面 ∴平面平面， 在中，， ∵平面平面平面， 平面. 【小问2详解】 过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为， 则， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或9（舍去）， 所以点是线段的中点. 19. 如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为. （1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点坐标； （2）求线段中点的轨迹方程（不必写出的取值范围）； （3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【答案】（1），定点 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算以为圆心，为半径的圆方程，与圆的方程相减得到直线方程. （2）线段的中点为，根据得到在以为直线的圆上，计算圆心的半径即可. （3）设出切线方程，根据相切得到，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，得到最值. 【小问1详解】 圆，即，圆心，半径， ，， 故以为圆心，为半径的圆方程为：， 即， 故直线的方程为， 化简得到，直线过定点 【小问2详解】 设线段的中点为，则，即在以为直线的圆上， 圆心为，即，半径为 故的轨迹方程为：. 【小问3详解】 设切线方程为 , 即 ， 故到直线 的距离，即， 设的斜率分别为，由韦达定理可得 ，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用两圆方程相减求弦所在的方程是解题的关键，韦达定理的应用也是考查的重点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭中学2025-2026学年度第一学期第一学段考试 高二数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：隗双和 审题人：叶迎东 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 3. 过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆柱的底面半径和母线长均为分别为圆､圆上的点，若，则异面直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为5 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 圆被直线截得的弦长为2 10. 已知点是左、右焦点为的椭圆上的动点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最小值为 C. 若，则的面积为4 D. 若，则的最大值为 11. 棱长为2的正方体中，为侧面内的动点，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 在线段上运动 C. 最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中三点共线，则值为____________. 13. 如图，在直三棱柱中，，则此直三棱柱的外接球的体积是___________. 14. 已知圆与圆，动点向两个圆所引的切线长相等，则的最大值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2正方体中，，分别为棱，的中点. （1）求证：CF//平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆方程； （2）点在圆上，求的取值范围； （3）若经过点直线与圆相交于，两点，且为直角三角形，求的方程． 17. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M为短轴的上端点，，过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． 1求椭圆C的方程； 2设经过点且不经过点M的直线l与C相交于G，H两点若，分别为直线MH，MG的斜率，求的值． 18. 如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置. 19. 如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为. （1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点坐标； （2）求线段中点的轨迹方程（不必写出的取值范围）； （3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $