精品解析：广东省广州市第二中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

广州二中教育集团2025学年第一学期期中质量监测 初二年级数学试卷 （满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念。轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意; B、是轴对称图形，符合题意. C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B 2. 安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形的稳定性的应用． 根据三角形稳定性进行解释即可． 【详解】解：根据题意可得，其根据的几何原理是三角形的稳定性， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的坐标与轴对称变化，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律． 关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数,检查解答即可． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴关于x轴对称的点的横坐标不变，为0；纵坐标互为相反数，为， ∴对称点的坐标为． 故选：D． 4. 在如图中，正确画出边上高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高是解题的关键．根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：由题可得，过点B作的垂线段，垂足为E，则是的边上的高，四个选项中，只有C选项正确． 故选：C． 5. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，代入求出即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，由三角形内角和定理可得，再由全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，结合，解答即可． 【详解】解：A．若添加， 在和中， ∴，故不符合题意． B．若添加，又，，符合，此种方法不能判定两个三角形全等，故符合题意． C．若添加， 在和中， ∴，故不符合题意． D．若添加， 在和中， ∴，故不符合题意． 故选B． 8. 如图，在等腰中，已知，则下列不能说明的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，根据三角形的三线合一以及全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、 ∵，，∴，故该选项不符合题意； B、 ∵，∴，不能说明，故该选项符合题意； C、∵， ，∴，故该选项不符合题意； D、∵ ，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在中，，平分，于点．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是采用面积的割补法． 如图，过作于，利用角平分线的性质可以证明，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过作于， 平分，于点． ， 又，， 的面积为： 故选：D． 10. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，30度角的直角三角形，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质得，，，，再整理得，证明，故，，当时，值最小，然后根据30度角的直角三角形的性质进行作答即可． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形，，， ，，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， 当时，值最小， 此时，，， ， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 12. 若等腰三角形的一个角的度数为，则该三角形的顶角的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是进行分类讨论． 由于可能是等腰三角形的底角或顶角，需分类讨论，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：若为底角，则另一个底角也为，由三角形内角和定理，顶角为； 若为顶角，则顶角为， ∴该三角形的顶角的度数为或， 故答案为：或． 13. 如图，一棵树(树干与地面垂直)受强风影响，在离地面处折断，倒下后的树顶与地面成角，则这棵树原来的高度是_________m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再根据树高等于，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴这棵树原来的高度是； 故答案为：12． 14. 请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：_____． 【答案】等边三角形的三个角都相等． 【解析】 【分析】把原命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的题设与结论进行交换即可． 【详解】“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题为 “等边三角形的三个角都相等”， 故答案为：等边三角形的三个角都相等． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题． 15. 中，按如图方式作图得点，若的周长为12，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由作法可知，点在的垂直平分线上，则，从而得出的周长等于，即可求解． 【详解】解：由作法可知，点在的垂直平分线上， ， 的周长为12，， ， ， 故答案为：． 16. 如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有______．（请填写序号） ①若，则；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． ①利用三角形的内角和以及角平分线和直角三角形的性质求出相关的角，然后利用角的和差进行求解即可； ②利用反证法进行证明即可； ③在上截取，连接，求出相关的角，证明和，得出相等的线段，利用线段的和差即可得出结论； ④在③的基础上，过点作于点，过点作于点，利用角平分线的性质得出三角形相等的高，然后根据面积比等于底边的比进行求解即可． 【详解】解：①， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②如图所示，延长交于点， ∵平分，， ，， 在和中， ， ， ； 假设，则， ，， ， ， ， ，与矛盾，  假设不成立，即， ，故结论②错误，不符合题意； ③如图，在上截取，连接； 平分，平分，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； ④如图，过点作于点，过点作于点， ，，， ， ，， ， ，， ，， ， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知：．求作：的角平分线OC（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的角平分线． 【详解】解：如图，OC即为所作． 【点睛】本题主要考查尺规作图，解题的关键是掌握基本作图之一：作已知角的平分线． 18. 如图，点、在线段上，，，，证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，先利用平行线的性质得出，然后利用证明即可. 【详解】证明：∵， ∴． 又∵，， ∴()． 19. 如图，点E，C分别在上，已知 垂足为O， 求 与 的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，先由三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理得到，则可求出． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出的重心，并直接写出重心的坐标：（______，______）（保留画图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）见解析；5，4． 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，重心．解决本题的关键是掌握轴对称的性质和重心的定义． （1）根据轴对称的性质作出点，，关于轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）分别画边的中线和边的中线交于点，再写出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点即所求，． 21. 已知，如图，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF=BF，求证：点F在∠A的平分线上. 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题通过全等三角形的证明以及全等三角形的性质，通过多次对全等三角形的应用，可以求出． 【详解】证明：连接AF， 因为BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E， 所以， 又，， 所以△CFD≌△BFE， 所以，， 所以，即， 又，， 所以△ADB≌△AEC， 所以，又，， 所以△ACF≌△ABF， 所以， 所以点F在∠A的平分线上. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，题目难度一般，学生需要掌握对全等三角形的全面认识. 22. 如图：已知等边中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且，，垂足为M．求证： （1）； （2）M是BE的中点． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【解析】 【分析】（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根据等边对等角可得：∠E＝∠CDE，进而求∠E＝30°，在直角三角形EDM中利用30°角的性质，证得线段的长度关系； （2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，结合（1）的结论可得：∠DBC＝∠E，然后根据等角对等边，可得：DB＝DE，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M是BE的中点． 【详解】（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°， 又∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， 又∵∠ACB＝∠E＋∠CDE， ∴∠E＝∠ACB＝30°， ∵， ∴△EDM是直角三角形， ∴ ； （2）证明：连接BD， ∵等边△ABC中，D是AC的中点， ∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30° 由（1）知∠E＝30° ∴∠DBC＝∠E＝30° ∴DB＝DE 又∵DM⊥BC ∴M是BE的中点． 【点睛】此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质． 23. 请阅读以下材料，并解决问题： 探索角平分仪 素材1 图1是一个平分角的仪器，其中，．将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线． 素材2 图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽．四根棒在处相连并可绕点转动，点，，，固定，点，可以在凹槽处滑动，且，，，． 图5中的“三等分角仪”满足． （1）如图2，已知，，求证：平分； （2）如图4，已知，，，．若，则______； （3）利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点与点之间的距离等于时，可求得的度数．在图6中，已知，且点与点之间的距离等于，请求出的度数． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明，从而可得平分； （2）利用证明，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可求得； （3）先证明用表示出、、，再利用三角形内角和定理得到关于的方程求解． 【小问1详解】 解：证明：，，， ， ， 即平分； 【小问2详解】 ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 如图， 由（2）得， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了三角形外角的定义及性质，全等的性质和判定，等边对等角，等腰三角形的性质和判定，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 24. 已知中，，，点是上的一点，过点作于点． （1）如图1，______．（用含的式子表示） （2）如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再根据直角三角形的性质即可求解； （2）①根据三角形内角和定理推出，利用角的和差得到，根据角平分线的定义得到，得到，推出是等腰直角三角形，即可证明； ②在上截取，连接，先证明，得到，，进而证出是等腰直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ①证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②解：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 25. 汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满足： （1）如图1，已知，，则______； （2）如图2，点从点出发，以每秒1个单位长度沿轴正半轴运动；与此同时，点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴正半轴运动；点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴负半轴运动．连接，将绕点逆时针旋转至，连接交轴于点．当时，求运动时间． （3）如图3，已知，点是中点，过点作直线轴，点是直线上的动点，连接，作，且，若达到最小，且最小值为时，求此时的值． 【答案】（1）10 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是作垂线构造全等三角形． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点D作轴于点E，可证明，得，再证明，得，在中由勾股定理可求出的值． （3）过点作轴于点，可证明，可证得，点在平行于轴，且到轴的距离为的直线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，得，由勾股定理可求出的值． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 由已知可得，， 过点D作轴于点E， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴（负值舍去）． 答：当时，运动时间为． 【小问3详解】 ∵为的中点， ∴． 作轴于点， ∵，且 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点在平行于轴，且到轴的距离为的直线上 作点关于直线的对称点 则有， ∴ ∴连接，与直线的交点时最小 在中 ∴ ∴（负值舍去） 答：若达到最小，且最小值为时，此时的值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州二中教育集团2025学年第一学期期中质量监测 初二年级数学试卷 （满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 3. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在如图中，正确画出边上高的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C D. 8. 如图，在等腰中，已知，则下列不能说明的是( ) A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分，于点．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为（    ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 已知三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 12. 若等腰三角形的一个角的度数为，则该三角形的顶角的度数为______． 13. 如图，一棵树(树干与地面垂直)受强风影响，在离地面处折断，倒下后的树顶与地面成角，则这棵树原来的高度是_________m． 14. 请写出“三个角都相等三角形是等边三角形”的逆命题：_____． 15. 中，按如图方式作图得点，若的周长为12，，则_______． 16. 如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有______．（请填写序号） ①若，则；②；③；④． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知：．求作：的角平分线OC（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，点、在线段上，，，，证明：． 19. 如图，点E，C分别在上，已知 垂足为O， 求 与 的度数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出的重心，并直接写出重心的坐标：（______，______）（保留画图痕迹） 21. 已知，如图，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF=BF，求证：点F在∠A的平分线上. 22. 如图：已知等边中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且，，垂足为M．求证： （1）； （2）M是BE的中点． 23. 请阅读以下材料，并解决问题： 探索角平分仪 素材1 图1是一个平分角的仪器，其中，．将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线． 素材2 图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽．四根棒在处相连并可绕点转动，点，，，固定，点，可以在凹槽处滑动，且，，，． 图5中的“三等分角仪”满足． （1）如图2，已知，，求证：平分； （2）如图4，已知，，，．若，则______； （3）利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点与点之间距离等于时，可求得的度数．在图6中，已知，且点与点之间的距离等于，请求出的度数． 24. 已知中，，，点是上的一点，过点作于点． （1）如图1，______．（用含的式子表示） （2）如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 25. 汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满足： （1）如图1，已知，，则______； （2）如图2，点从点出发，以每秒1个单位长度沿轴正半轴运动；与此同时，点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴正半轴运动；点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴负半轴运动．连接，将绕点逆时针旋转至，连接交轴于点．当时，求运动时间． （3）如图3，已知，点是中点，过点作直线轴，点是直线上的动点，连接，作，且，若达到最小，且最小值为时，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $