精品解析：安徽省A10联盟2025-2026学年高三上学期11月期中质量检测数学试卷

1号卷·A10联盟2026届高三上学期11月期中质量检测 数学试题B 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，求出函数定义域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，， 所以集合的子集个数为. 故选：C 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法运算结合复数几何意义可得答案. 【详解】，则对应点为，在第二象限. 故选：B 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用模长公式及数量积公式计算，再应用充分必要条件定义判断求解. 【详解】因为向量，， 则“”可得，所以， 由“”可得，所以， 所以“”不能推出“”，“”可以推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用诱导公式化简，再应用二倍角余弦公式计算求解. 【详解】 又因为， 则 故选：A. 5. 在一个有限的资源和空间环境下，某种生物的数量与时间（单位：天）的关系式为：，其中，为正常数．已知该种生物数量为，时，所对应的时间分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接代入得到指数方程，两式相除即可得到答案. 【详解】由代入化简得①，由得②， ①和②相除得，则． 故选：C． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用两角和的余弦公式及同角三角函数关系得出，再应用两角差的余弦公式计算求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 则. 故选：D. 7. 在中，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义结合余弦定理得，再根据余弦定理求解，结合基本不等式即可得最值. 【详解】由，可得， 由余弦定理得，整理得， 则， 当且仅当时取等， 所以的最小值为. 故选：D 8. 定义：表示不超过的最大整数，如，．已知为坐标原点，点在曲线：，上，记的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 分析】由题意可得，令，，利用导数求得，，根据二次函数性质结合题意计算即可求解. 【详解】设点的坐标为， 则， 令，， 则， 令，则， 当时，，所以， 所以在区间上单调递增， 因为，，，， 由零点存在性定理可知，，使得，即， 即，，，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 因为， 所以，令，， 则，， 由二次函数性质可知，在上单调递减， 所以，即， 因为，，所以，故. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数单调性结论即可判断A；根据对数型复合函数单调性即可判断B；根据指数函数与对勾函数复合即可判断C；根据函数定义域即可判断D. 【详解】对于A，因为函数和在上均单调递增， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，，根据复合函数单调性知其在上单调递减，故B错误； 对于C，当时，令，又在上单调递增， 则在上单调递增，故C正确； 对于D，的定义域为，故D错误． 故选：AC． 10. 函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. C. 在上无极值点 D. 方程在上有4个解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象的点代入计算得出判断B；确定最小正周期，从而求得，判断A；根据，判断极值点情况从而判断C；根据函数值域计算判断D. 【详解】由图象可知：，，所以，B选项错误； ，因为在减区间上，所以， 又因为的最小正周期，，A正确； ，当时，，在上无极值点，C正确； ，，即， 方程在上有4个解，D正确. 故选：ACD. 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，直接利用基本不等式即可得；对B，利用A中结论并结合基本不等式即可判断；对C，构造关于的不等式即可判断；对D，利用琴生不等式即可判断. 【详解】对A，由，得， 则，即，当且仅当时等号成立，故A正确； 对B，因为，所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对C，因为， 所以，解得， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对D，由函数图象知，该函数为凹函数， 则根据琴生不等式有， 即，当且仅当时等号成立，则D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数为偶函数，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】由，求解，再结合奇偶性判断即可. 【详解】由，解得或， 当时，，函数为非奇非偶函数， 当时，，函数为偶函数，所以． 故答案为：4 13. 如图，在梯形中，，，连接交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，，可得，利用向量相等关系求解即可. 【详解】设，因为， 所以， 所以 因为三点共线，设， 所以， 则， 所以，解得：； 所以； 故答案为： 14. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知不等式化为，设，结合单调性可求得；令，利用导数可求得的单调性，得到，由此可得的取值范围. 【详解】由得：， 设，则， 与均为上的增函数，在上单调递增， ，即； 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）当为纯虚数时，求的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【小问1详解】 因为 由是纯虚数得，解得. 所以当是纯虚数时，. 【小问2详解】 当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且，共线． （1）若，求外接圆的半径； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示及正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）根据给定条件，取中点，可得，由（1）中信息结合直角三角形边角关系求解. 【小问1详解】 向量，，由， 得，由正弦定理得， 整理得，由余弦定理得，而， 则，而，所以外接圆的半径. 【小问2详解】 由，得，取中点，连接，则， 由，得，由（1）知，则， ，所以. 17. 已知函数（）在上单调递减，且点为图象的一个对称中心． （1）求的值； （2）将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上取得最小值时的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再根据对称中心得出，再根据单调性得出周期范围即，即可计算求参； （2）根据三角函数图象的变换求出解析式，利用三角函数结合即可计算最小值. 【小问1详解】 由 ， 因为点为图象的一个对称中心，，所以，即， 因为在上单调递减，所以其最小正周期为，所以，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象， ， 当， 当即时，. 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由， 求得切线方程； （2），分与讨论可得函数的单调性； （3）求出，分与结合函数的单调性，计算函数的最小值得出参数. 【小问1详解】 当时，∵，∴，， 函数在点处的切线方程为， ． 【小问2详解】 因为，函数的定义域为，, 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）, 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去； 当时， 若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意； 若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意； 若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1，则. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）记函数，且，． （i）求实数的取值范围； （ii）求的零点个数． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）（i）；（ii）个 【解析】 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调区间； （2）（i）将问题转化为在上存在零点，求导后，分别在、、和的情况下，利用导数讨论的单调性，结合零点存在定理确定存在零点的情况，进而得到结果； （ii）利用导数和零点存在定理可说明在上存在唯一零点，结合可确定零点个数. 【小问1详解】 由题意知：定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 （i）由题意知：，定义域为， 则，等价于在上存在零点， ， 令，则， 令，则； ①当时，，则在上单调递减，， 即，在上单调递减， ； i.当时，，，即在上恒成立， 在上单调递减， ，在上恒成立，则在上不存在零点； ii.当时，，， ，使得，即，且当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，，， 由（1）知：在上单调递减，， ，， 在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，符合题意； iii.当时，，此时在上恒成立，不存在零点； ②当时，，在上恒成立， 在上恒成立，不存在零点； 综上所述：实数的取值范围为. （ii）由（i）知：当时，在上存在唯一零点； 当时，，在上单调递减， ，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，，， ，使得，且当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增； ，， 当时，；当时，，则， 当时，， 在，即在上存在唯一零点； 在和上各存在一个零点， 又，即为的一个零点，共有个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1号卷·A10联盟2026届高三上学期11月期中质量检测 数学试题B 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 在一个有限的资源和空间环境下，某种生物的数量与时间（单位：天）的关系式为：，其中，为正常数．已知该种生物数量为，时，所对应的时间分别为，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：表示不超过的最大整数，如，．已知为坐标原点，点在曲线：，上，记的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. C. 在上无极值点 D. 方程在上有4个解 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数偶函数，则______． 13. 如图，在梯形中，，，连接交于点，则______． 14. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）当为纯虚数时，求的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且，共线． （1）若，求外接圆的半径； （2）若，且，求的值． 17. 已知函数（）在上单调递减，且点为图象一个对称中心． （1）求的值； （2）将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上取得最小值时的值． 18 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上最小值为1，求的值． 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）记函数，且，． （i）求实数的取值范围； （ii）求的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $