6.4商不变规律（同步练习）-2025-2026学年四年级上册数学 北师大版

6.4商不变规律 目录导航 目录 6.4商不变规律 1 【基础题型一】规律的简单应用 1 【基础题型二】规律的进一步应用 3 【基础题型三】利用规律简便运算 5 思维拓展培优 7 【思维拓展四】除数与被除数变化规律 7 【思维拓展五】算式规律 8 课后达标练习 9 基础巩固练习 【基础题型一】规律的简单应用 在括号里填上适当的数，使计算更简便． 【答案】 略 【解析】 无解析 运用商不变的规律计算下面各题． 【答案】 【解析】 被除数的末位和除数的末位同时去掉相同个数的，商不变，因此每一组的商均相同． 看谁算得又对又快． 【答案】 ；；；；；． 【解析】 无解析 运用商不变的规律进行计算． 【答案】 、、、、、 【解析】 解答如下： 除数乘，要使商不变，被除数应（   ）． A.乘 B.不变 C.除以 【答案】 A 【解析】 无解析 根据，试着直接写出下面算式的结果． 【答案】                     【解析】 无解析 被除数除以，要使商不变，除数应（   ）． A.乘 B.不变 C.除以 【答案】 C 【解析】 无解析 【基础题型二】规律的进一步应用 某镇三所小学的总人数和班级数的情况如下表．这三所小学平均每个班级的人数相同吗？为什么？ 学校 镇中心小学 太平小学 杏山小学 总人数/人 班级数/个 【答案】 相同． 【解析】 这三所小学平均每个班级的人数相同． （人），（人），（人）． 如果，那么           ；           ． 【答案】 【解析】 可展开括号，进行化简，凑出“”， ， 又因为， 所以， 同理，也可化简凑出“”， ． ，则（   ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 商的变化规律． 故选． 在除法算式中，如果除数乘，要使商还是，被除数应（   ）． A.不变 B.除以 C.乘 【答案】 C 【解析】 本题考查商不变的性质：要使商不变，除数和被除数要同时乘或除以同一个不为的数．所以如果除数乘，要使商仍为，被除数应乘． 故选． 利用商不变的规律，使计算简便． ( 1 ) ( 2 ) 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)根据商的不变规律可知，被除数和除数同时乘以或除以相同的数，商不变，由此可知，． (2)根据商的不变规律可知，被除数和除数同时乘以或除以相同的数，商不变，由此可知，． ，如果和都乘，那么商是           ，余数是           ． 【答案】 【解析】 ，如果和都乘，那么商不变，仍然是，余数与被除数和除数一样，也乘，应是． 两数相除商是，被除数不变，除数乘，商是           ． 【答案】 【解析】 两数相除，被除数乘几，除数不变，商也乘几；被除数不变，除数乘几，商除以几（除外）． 根据填空． ( 1 )           ． ( 2 )           ． ( 3 )           ． ( 4 )           ． 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【解析】 (1)， ． (2) ． (3)， ． (4) ． 【基础题型三】利用规律简便运算 你能利用商不变的性质让下面的计算更简便吗？ ( 1 ) ( 2 ) 【答案】 (1) ( ) (2) ． 【解析】 (1) 把被除数和除数同时乘或除以相同的数（除外），商不变，如：计算，因为除数乘，变成，要使商不变，被除数也应该同时乘，即，得． (2)同理，计算，因为除数乘变成，要使商不变，被除数也应该同时乘，即，得． 用合理的方法计算． ． 【答案】 ． 【解析】 递等式计算，能简便的要用简便方法计算． 【答案】 ． 【解析】 ． 应用商不变的规律，使下面的计算更简便． ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 【答案】 (1)． (2)． (3)． 【解析】 (1)被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商大小不变．所以可以通过这一规律来对除数凑整百、整千数． ． (2)被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商大小不变．所以可以通过这一规律来对除数凑整百、整千数． ． (3)被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商大小不变．所以可以通过这一规律来对除数凑整百、整千数． ． 思维拓展培优 【思维拓展四】除数与被除数变化规律 从里面减去一个整十数，得到的差再除以这个整十数，商是．这个整十数是多少？ 【答案】 ． 【解析】 分析题意，根据已知可得减去这个数的倍，还剩下这个数的倍，则就是这个数的（）倍； 再根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法计算即可完成解答． ． 答：这个整十数是． 一个数除以，利用商不变的规律，被除数和除数的末尾同时去掉两个，这时商不变，还是，但余数减少了．原来的被除数是           ，余数是           ． 【答案】 【解析】 通过题意分析可以得，；则现在的余数为，原来的余数为；被除数：． 答：原来的被除数为，余数为． 将除法算式的除数减去，要使商不变，被除数应（   ）． A.除以 B.除以 C.减去 【答案】 A 【解析】 商不变性质应用，即被除数和除数同时乘或除以相同的数（除外），商不变，除数减去后为，；即除数除以，要使商不变，则被除数也应除以． 将除法算式 的除数减去，要使商不变，应把被除数减去（   ）． A. B. C. 【答案】 B 【解析】 根据商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（除外），商不变； 可知：除数减去， 为，即除数缩小倍，要使商不变，被除数也要缩小倍，由此解答． 除法算式的除数减去，为，即除数缩小倍，要使商不变，被除数也要缩小倍，变成，则减少了． 故选：． 小李计算一道除法题时，把除数末尾的漏写了，结果商是，余数是，正确的商和余数分别是多少？ 【答案】 正确的商是，余数是 【解析】 ， ． 答：正确的商是，余数是． 【思维拓展五】算式规律 仔细观察，找出规律，再填数．                                            【答案】 【解析】 同理，可算出其他两题的结果． 课后达标练习 下面各算式与480÷60的商相同的是（    ）。 A．（480÷6）÷（60×6） B．（480÷30）÷（60÷30） C．（480×5）÷（60×2） D．（480÷40）÷（60×2） 【答案】B 【解析】略 被除数除以10，要使商不变，除数应（    ）。 A．乘10 B．不变 C．除以10 D．加10 【答案】C 【分析】根据题意，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；被除数除以10，商不变，那么除数也要除以10。 【详解】A．乘10，不符合题意； B．不变，不符合题意； C．除以10，符合题意； D．加10，不符合题意。 故答案为：C 根据540÷60＝9，则（540×a）÷（60×a）＝（    ）。（a≠0） A．9 B．9a C．9÷a D．a÷9 【答案】A 【分析】根据商的变化规律，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变；据此选择即可。 【详解】 故答案为：A △÷□＝25，如果△扩大10倍，要使商不变，□应（    ）。 A．不变 B．扩大10倍 C．缩小10倍 【答案】B 【分析】根据商不变性质：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，据此选择即可。 【详解】△÷□＝25 （△×10）÷（□×10）＝25 □应扩大10倍。 故答案为：B 下面各算式的结果与的结果相同的是（    ）。 A．2800÷14 B．280÷140 C．28000÷1400 D．28000÷14000 【答案】C 【分析】根据商不变的规律：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；根据商的变化规律逐项判断即可。 【详解】A．被除数不变，除数除以10，商反而乘10，商发生了改变。2800÷14≠2800÷140。 B．除数不变，被除数除以10，商就除以10，商发生了改变。280÷140≠2800÷140。 C．被除数和除数都同时除以10，商不变。28000÷1400＝（28000÷10）÷（1400÷10）＝2800÷140。 D．被除数和除数都同时除以10，商发生了改变。28000÷14000≠2800÷140。 下面各算式的结果与  2800 ÷ 140  的结果相同的是28000÷1400。 故答案为：C 根据，△÷◯＝15，，下列算式正确的是（    ）。 A．（◯＋4）÷（△＋4）＝15 B．（△÷2）÷（◯÷2）＝15 C．（△－7）÷（◯－7）＝15 【答案】B 【分析】商不变的规律，被除数和除数同时乘或者除以一个相同的数（0除外），商不变。据此可以解答。 【详解】A．（◯＋4）÷（△＋4）＝15，被除数和除数同时加上4，商会改变。不符合题意。 B．（△÷2）÷（◯÷2）＝15，被除数和除数同时除以2，商不变。符合题意。 C．（△－7）÷（◯－7）＝15，被除数和除数同时减去7，商会变，不符合题意。 故答案为：B 在里填上合适的运算符号，在里填上合适的数。 60÷20＝（60÷4）÷（20） 100÷25＝（100×4）÷（25） 240÷12＝（240）÷（12×3） 1600÷32＝（1600÷）÷（3216） 【答案】÷；4；×；4；×；3；16；÷ 【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答。 【详解】根据商不变的规律，把60和20同时除以4即可，。 根据商不变的规律，把100和25同时乘4即可，。 根据商不变的规律，把240和12同时乘3即可，。 根据商不变的规律，把1600和32同时除以16即可，。 园园在计算一道除法题时，把除数末尾的一个0漏掉了，得到的商是120，正确的商应是( )。 【答案】12 【分析】把除数末尾的一个0漏掉了，则除数被缩小到原来的，根据除法的意义及商的变化规律可知，除数被缩小到原来的，则商就扩大了10倍，由此可求出正确的商。 【详解】把除数末尾的一个0漏掉了，得到的商是120，除数被缩小了10倍，商就扩大了10倍， 那么正确的商是。 已知★÷●＝56，若把★乘10，●也乘10，则它们的商是( )。 【答案】56 【分析】根据商不变的性质来求解：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 【详解】已知★÷●＝56，若把★乘10，●也乘10，根据商不变的性质，商不变，所以它们的商仍然是56。 如果a÷b＝c……9，那么（a×10）÷（b×10）＝( )……( )。 【答案】 c 90 【分析】根据商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，余数同时乘或除以相同的数，据此解答即可。 【详解】如果a÷b＝c……9，那么（a×10）÷（b×10）＝c……（9×10）＝c……90。 根据每组第一个式子的结果，直接写出下面的结果。 130×30＝3900    480÷40＝12 130×60＝( )    48÷4＝( ) 130×90＝( )    4800÷400＝( ) 【答案】 7800 12 11700 12 【分析】根据积的变化规律：两个因数相乘（0除外），如果一个因数不变，一个因数扩大到原来的几倍或缩小为原来的几分之一，积也扩大到原来的几倍或缩小为原来的几分之一； 在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答即可。 【详解】130×30＝3900    480÷40＝12 130×60＝7800    48÷4＝12 130×90＝11700   4800÷400＝12 用竖式计算。 750÷50＝    6000÷150＝    9100÷280＝ 【答案】15；40；32……140 【分析】被除数和除数同时乘（或除以）一个非0的数，商不变。 除数是两位数的笔算除法，从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果它比除数小，再试除前三位数。除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商。求出每一位商，余下的数必须比除数小。 ，被除数和除数同时除以10，商不变，再按照除数是一位数的笔算除法进行计算即可。 ，被除数和除数同时除以10，商不变，即转化为，再按照除数是两位数的笔算除法进行计算即可。 ，被除数和除数同时除以10，商不变，余数也要除以10，即转化为，再按照除数是两位数的笔算除法进行计算即可，注意在求的余数时要乘10。 【详解】 利用商不变的规律计算下面各题。 600÷25    6000÷125 【答案】24；48 【分析】1根据题意利用商不变的规律，即被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变； 第一题，被除数600乘4，另一个除数25也乘4，这样算式就变成2400÷100，商不变；第二题被除数和除数分别乘8，算式变成48000÷1000，则商不变，据此解答。 【详解】 14．简算。 300÷25＝        4000÷25＝        3000÷125＝ 【答案】12；160；24 【分析】商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变，余数也会乘或除以相同的不为0的数； （1）运用商的变化规律，将被除数和除数同时乘4，然后再计算小括号里的算式，最后计算小括号外面的算式； （2）运用商的变化规律，将被除数和除数同时乘4，然后再计算小括号里的算式，最后计算小括号外面的算式； （3）运用商的变化规律，将被除数和除数同时乘8，然后再计算小括号里的算式，最后计算小括号外面的算式；据此计算。 【详解】（1）300÷25 ＝（300×4）÷（25×4） ＝1200÷100 ＝12 （2）4000÷25 ＝（4000×4）÷（25×4） ＝16000÷100 ＝160 （3）3000÷125 ＝（3000×8）÷（125×8） ＝24000÷1000 ＝24 用简便算法计算下列各题。 125÷25＝        4200÷25＝          520÷40＝ 【答案】5；168；13 【分析】（1）根据商的变化规律，被除数和除数同时乘8，再进行计算。 （2）根据商的变化规律，被除数和除数同时乘4，再进行计算。 （3）根据商的变化规律，被除数和除数同时除以10，再进行计算。 【详解】125÷25 ＝（125×8）÷（25×8） ＝1000÷200 ＝5 4200÷25 ＝（4200×4）÷（25×4） ＝16800÷100 ＝168 520÷40 ＝（520÷10）÷（40÷10） ＝52÷4 ＝13 随着成都地铁建设的飞速发展，城市交通网络日益完善。在地铁轨道铺设工程中，需要大量特定规格的钢轨。用每根长25米的钢轨铺设轨道，一组（2根）重约3000千克。某钢材储备基地有一批约750000千克的钢材，专门供应成都地铁轨道建设。 （1）这些钢材可以做多少根这样的钢轨？（损耗忽略不计） （2）每根钢轨长25米，这些钢轨能够铺设多少米的地铁轨道呢？ 【答案】（1）500根 （2）6250米 【分析】（1）由题意得，一组（2根）25米长的钢轨重约3000千克，求一批约750000千克的钢材可以做多少根同样的钢轨，可以直接用750000除以3000算出能做多少组25米长的钢轨，然后再乘上2即可算出一共可以做多少根25米长的钢轨。 （2）每根钢轨长25米，铺25米长的地铁轨道需要2根钢轨，即每组钢轨可以铺25米长的地铁轨道。由（1）可得钢轨的组数，直接用组数乘25即可算出这些钢轨能够铺设多少米的地铁轨道。 【详解】（1）750000÷3000＝250（组） 250×2＝500（根） 答：这些钢材可以做500根25米长的钢轨。 （2）250×25＝6250（米） 答：这些钢轨能够铺设6250米的地铁轨道。 善于观察分析，寻找规律，并根据数学基础知识加以分析验证。这是一个非常好的学习方法。下面是淘气计算400÷25的过程，观察思考。 400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16 ①淘气是怎样算的？ ②他这样算的目的是什么？ ③这样算，正确吗？为什么？ ④你能利用这样的思想方法计算下面各题吗？ 6000÷125＝ 2700÷15＝ 【答案】①淘气是根据商不变的规律进行计算； （2）为了简便计算； （3）正确，因为被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变； （4）48；180 【分析】（1）淘气根据商不变的规律，先算小括号里的，再算小括号外的； （2）他这样算的目的是为了简便计算； （3）这样算正确，因为根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变； （4）根据商不变的规律，6000÷125被除数和除数同时乘8，2700÷15被除数和除数同时除以3，即可解答。 【详解】①淘气是根据商不变的规律进行计算； （2）为了简便计算； （3）正确，因为被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变； （4）6000÷125＝（6000×8）÷（125×8）＝48000÷1000＝48 2700÷15＝（2700÷3）÷（15÷3）＝900÷5＝180 【点睛】本题主要考查商不变规律的灵活应用，牢记规律，结合算式的特点，能正确进行解答。 两个数相除，商是8，余数是5，如果被除数扩大到原来的3倍，除数也扩大到原来的3倍，那么商是多少？余数是多少？余数是原来的多少倍？（请举例说明） 【答案】商为8；余数为15；余数是原来的3倍。 【分析】根据商不变规律可知：如果被除数和除数同时扩大相同的倍数（0除外），则商不变，余数相应的也扩大相同的倍数，据此解答即可。 【详解】举例： 53÷6＝8……5   53×3＝159 6×3＝18 159÷18＝8……15 15÷5＝3 答：商是8，余数是15，余数是原来的3倍。 【点睛】此题考查了商不变的规律，关键是明确商和余数的变化规律即可。 有两捆同样规格的铁丝，其中一捆铁丝长5米，重250克。另一捆铁丝重1000克，这捆铁丝长多少米？ 【答案】20米 【分析】用1000除以250求出1000克里面有几个250克，再乘5即可解答。 【详解】1000÷250×5 ＝4×5 ＝20（米） 答：这捆铁丝长20米。 【点睛】本题还可以用250除以5求出1米重多少克，再用1000除以1米重多少克即可解答。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4商不变规律 目录导航 目录 6.4商不变规律 1 基础巩固练习 1 【基础题型一】规律的简单应用 1 【基础题型二】规律的进一步应用 2 【基础题型三】利用规律简便运算 3 思维拓展培优 4 【思维拓展四】除数与被除数变化规律 4 【思维拓展五】算式规律 4 课后达标练习 4 基础巩固练习 【基础题型一】规律的简单应用 在括号里填上适当的数，使计算更简便． 运用商不变的规律计算下面各题． 看谁算得又对又快． 运用商不变的规律进行计算． 除数乘，要使商不变，被除数应（   ）． A.乘 B.不变 C.除以 根据，试着直接写出下面算式的结果． 被除数除以，要使商不变，除数应（   ）． A.乘 B.不变 C.除以 【基础题型二】规律的进一步应用 某镇三所小学的总人数和班级数的情况如下表．这三所小学平均每个班级的人数相同吗？为什么？ 学校 镇中心小学 太平小学 杏山小学 总人数/人 班级数/个 如果，那么           ；           ． ，则（   ）． A. B. C. D. 在除法算式中，如果除数乘，要使商还是，被除数应（   ）． A.不变 B.除以 C.乘 利用商不变的规律，使计算简便． ( 1 ) ( 2 ) ，如果和都乘，那么商是           ，余数是           ． 两数相除商是，被除数不变，除数乘，商是           ． 根据填空． ( 1 )           ． ( 2 )           ． ( 3 )           ． ( 4 )           ． 【基础题型三】利用规律简便运算 你能利用商不变的性质让下面的计算更简便吗？ ( 1 ) ( 2 ) 用合理的方法计算． ． 递等式计算，能简便的要用简便方法计算． 应用商不变的规律，使下面的计算更简便． ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 思维拓展培优 【思维拓展四】除数与被除数变化规律 从里面减去一个整十数，得到的差再除以这个整十数，商是．这个整十数是多少？ 一个数除以，利用商不变的规律，被除数和除数的末尾同时去掉两个，这时商不变，还是，但余数减少了．原来的被除数是           ，余数是           ． 将除法算式的除数减去，要使商不变，被除数应（   ）． A.除以 B.除以 C.减去 将除法算式 的除数减去，要使商不变，应把被除数减去（   ）． A. B. C. 小李计算一道除法题时，把除数末尾的漏写了，结果商是，余数是，正确的商和余数分别是多少？ 【思维拓展五】算式规律 仔细观察，找出规律，再填数．                                            课后达标练习 下面各算式与480÷60的商相同的是（    ）。 A．（480÷6）÷（60×6） B．（480÷30）÷（60÷30） C．（480×5）÷（60×2） D．（480÷40）÷（60×2） 被除数除以10，要使商不变，除数应（    ）。 A．乘10 B．不变 C．除以10 D．加10 根据540÷60＝9，则（540×a）÷（60×a）＝（    ）。（a≠0） A．9 B．9a C．9÷a D．a÷9 △÷□＝25，如果△扩大10倍，要使商不变，□应（    ）。 A．不变 B．扩大10倍 C．缩小10倍 下面各算式的结果与的结果相同的是（    ）。 A．2800÷14 B．280÷140 C．28000÷1400 D．28000÷14000 根据，△÷◯＝15，，下列算式正确的是（    ）。 A．（◯＋4）÷（△＋4）＝15 B．（△÷2）÷（◯÷2）＝15 C．（△－7）÷（◯－7）＝15 在里填上合适的运算符号，在里填上合适的数。 60÷20＝（60÷4）÷（20） 100÷25＝（100×4）÷（25） 240÷12＝（240）÷（12×3） 1600÷32＝（1600÷）÷（3216） 园园在计算一道除法题时，把除数末尾的一个0漏掉了，得到的商是120，正确的商应是( )。 已知★÷●＝56，若把★乘10，●也乘10，则它们的商是( )。 如果a÷b＝c……9，那么（a×10）÷（b×10）＝( )……( )。 根据每组第一个式子的结果，直接写出下面的结果。 130×30＝3900    480÷40＝12 130×60＝( )    48÷4＝( ) 130×90＝( )    4800÷400＝( ) 用竖式计算。 750÷50＝    6000÷150＝    9100÷280＝ 利用商不变的规律计算下面各题。 600÷25    6000÷125 用简便算法计算下列各题。 125÷25＝        4200÷25＝          520÷40＝ 随着成都地铁建设的飞速发展，城市交通网络日益完善。在地铁轨道铺设工程中，需要大量特定规格的钢轨。用每根长25米的钢轨铺设轨道，一组（2根）重约3000千克。某钢材储备基地有一批约750000千克的钢材，专门供应成都地铁轨道建设。 （1）这些钢材可以做多少根这样的钢轨？（损耗忽略不计） （2）每根钢轨长25米，这些钢轨能够铺设多少米的地铁轨道呢？ 善于观察分析，寻找规律，并根据数学基础知识加以分析验证。这是一个非常好的学习方法。下面是淘气计算400÷25的过程，观察思考。 400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16 ①淘气是怎样算的？ ②他这样算的目的是什么？ ③这样算，正确吗？为什么？ ④你能利用这样的思想方法计算下面各题吗？ 6000÷125＝ 2700÷15＝ 两个数相除，商是8，余数是5，如果被除数扩大到原来的3倍，除数也扩大到原来的3倍，那么商是多少？余数是多少？余数是原来的多少倍？（请举例说明） 有两捆同样规格的铁丝，其中一捆铁丝长5米，重250克。另一捆铁丝重1000克，这捆铁丝长多少米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $