三角函数：任意角、象限角、终边相同的角、弧度制、扇形的相关计算专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数：任意角、象限角、终边相同的角、弧度制、扇形的相关计算专项训练 三角函数：任意角、象限角、终边相同的角、弧度制、扇形的相关计算专项训练 考点目录 任意角、象限角、终边相同的角 弧度制 扇形的相关计算 考点一 任意角、象限角、终边相同的角 例1．（25-26高三上·天津和平·开学考试）终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·广西钦州·期末）下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知角的终边在第四象限，则角的终边所在 象限. 例6．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 例7．（24-25高一下·上海·期中）用弧度制表示终边在直线上的所有角组成的集合是 . 例8．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，是第 象限角. 变式1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 变式2．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）下列各角中，与终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 变式4．（24-25高一下·安徽·阶段练习）下列各角中，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 变式5．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知为第二象限角，那么是第 象限角． 变式6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知角是第三象限角，则是第 象限角. 变式7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）在0到范围内，与角终边相同的角是 ． 变式8．（24-25高一上·上海·期末）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 考点二 弧度制 例1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·河北保定·期中）密位制是度量角度的一种方法，我国在航海和军事领域采用的是6000密位制，即把一个周角等分为6000份，每一等份是1密位，则120密位等于（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25高一上·湖南娄底·阶段练习·多选）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 例5．（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 例6．（24-25高一下·山东聊城·开学考试）用弧度表示第二象限的角的集合 ． 变式1．（24-25高一下·广西桂林·开学考试）与的终边相同且范围在上的角是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）若角，则它是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 变式3．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）多选下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高一下·江西鹰潭·期中）将化为弧度制是 . 变式5．（24-25高一上·河北·期末）与角终边相同的最小正角是 ．（用弧度表示） 考点三 扇形的相关计算 例1．（24-25高一下·贵州·月考）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·河南·模拟预测）圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（   ）    A． B．2 C． D．4 例3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25高一下·上海·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为 ． 例5．（24-25高一下·河南南阳·期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为 ． 例6．（24-25高二下·山东东营·阶段练习）月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题.如图所示，△ABC为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为1米，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ、Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则图中区域Ⅲ的月牙形的周长为 米；三个区域的总面积为 平方米. 例7．（24-25高一上·吉林·期中）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．如图所示：它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若，求： (1)莱洛三角形的周长； (2)莱洛三角形的面积． 例8．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 例9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 例10．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 变式1．（24-25高一上·云南·期末）已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）从半径为r的圆中剪下圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·辽宁·期中）受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（   ） A．2 B． C． D．3 变式4．（25-26高三上·河南濮阳·阶段练习）如图是折扇的示意图，其中，．为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    变式5．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状(如图2)，在扇形AOB中，，，则扇形AOB的面积为 cm2. 变式6．（24-25高一下·湖北·期中）折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为 ． 变式7．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 变式8．（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 变式9．（24-25高一下·湖南怀化·期末）为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）． (1)写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长． 变式10．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米. (1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度； (2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数：任意角、象限角、终边相同的角、弧度制、扇形的相关计算专项训练 三角函数：任意角、象限角、终边相同的角、弧度制、扇形的相关计算专项训练 考点目录 任意角、象限角、终边相同的角 弧度制 扇形的相关计算 考点一 任意角、象限角、终边相同的角 例1．（25-26高三上·天津和平·开学考试）终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】终边在轴的非负半轴上的角的集合为. 故选：D 例2．（24-25高一下·广西钦州·期末）下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】与角终边相同的角的集合为, 取，，其他均不符合， 故选：B 例3．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 例4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【详解】若是钝角可得，因此； 显然此时是第一象限角. 故选：A 例5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知角的终边在第四象限，则角的终边所在 象限. 【答案】第二､第三或第四 【详解】因为为第四象限角，所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限. 故答案为：第二、第三或第四 例6．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 【答案】 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. 例7．（24-25高一下·上海·期中）用弧度制表示终边在直线上的所有角组成的集合是 . 【答案】 【详解】终边在直线上的所有角组成的集合为， 故答案为： 例8．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，是第 象限角. 【答案】三 【详解】由，而为第三象限角， 所以是第三象限角. 故答案为：三 变式1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【详解】因为，所以与终边相同， 因为是第三象限角，所以是第三象限角. 故选：C. 变式2．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）下列各角中，与终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与终边相同的角为，即， 对于选项A：，不合题意，故A错误； 对于选项B：，不合题意，故B错误； 对于选项C：，不合题意，故C错误； 对于选项D：，符合题意，故D正确； 故选：D. 变式3．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】B 【详解】由与210°角的终边关于x轴对称，可得， ∴， 取可确定终边在第一或第三象限角. 故选：B． 变式4．（24-25高一下·安徽·阶段练习）下列各角中，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， ，. ， 所以与角终边相同的角是. 故选：A. 变式5．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知为第二象限角，那么是第 象限角． 【答案】一、二、四 【详解】∵为第二象限角， ∴， ∴， 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，，属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故答案：一、二、四 变式6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知角是第三象限角，则是第 象限角. 【答案】第一或第二，或终边在轴正半轴上的角 【详解】角是第三象限角，则，∴，， 当，时，是第一象限角， 当，时，是终边在轴正半轴上的角（轴间角）， 当，时，是第二象限角， 综上所述，是第一或第二象限角，或终边在轴正半轴上的角. 故答案为：第一或第二，或终边在轴正半轴上的角. 变式7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）在0到范围内，与角终边相同的角是 ． 【答案】/ 【详解】, 故答案为：． 变式8．（24-25高一上·上海·期末）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 【答案】②④ 【详解】①终边相同的角不一定相等，比如终边相同，①正确； ②第二象限的角可能小于第一象限的角，比如，，②错误； ③若，则是第一象限的角，③正确； ④不妨考虑，小于，但不是锐角，④错误. 故选：②④ 考点二 弧度制 例1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解:根据角度制与弧度制的互化关系得 故选：B 例2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得. 故选：A. 例3．（25-26高三上·河北保定·期中）密位制是度量角度的一种方法，我国在航海和军事领域采用的是6000密位制，即把一个周角等分为6000份，每一等份是1密位，则120密位等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得120密位等于. 故选：C 例4．（24-25高一上·湖南娄底·阶段练习·多选）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 【答案】AC 【详解】角的度数和弧度数是一一对应的，A说法正确； 无论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小均与其所在的圆的半径无关，B说法错误； 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，C说法正确； 用弧度制度量角，该角可为正角，可为负角，也可为零角，D说法错误， 故选：AC 例5．（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 【答案】/ 【详解】分针一小时转过，所以从到转过了， 在此期间时钟分针转过了（弧度）. 故答案为： 例6．（24-25高一下·山东聊城·开学考试）用弧度表示第二象限的角的集合 ． 【答案】 【详解】第二象限的角的集合可表示为. 故答案为：.. 变式1．（24-25高一下·广西桂林·开学考试）与的终边相同且范围在上的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，故在上终边相同的角为. 故选：A 变式2．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）若角，则它是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】因为，所以角是第三象限角. 故选：C. 变式3．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）多选下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确； 故选：ABD． 变式4．（24-25高一下·江西鹰潭·期中）将化为弧度制是 . 【答案】/ 【详解】. 故答案为： 变式5．（24-25高一上·河北·期末）与角终边相同的最小正角是 ．（用弧度表示） 【答案】 【详解】与角终边相同的最小正角是，即， 故答案为： 考点三 扇形的相关计算 例1．（24-25高一下·贵州·月考）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 例2．（2025·河南·模拟预测）圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（   ）    A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】设，，则圆弧， 由题意得，解得， 所以. 故选：D 例3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则， 则. 故选：A. 例4．（24-25高一下·上海·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为 ． 【答案】; 【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故答案为：. 例5．（24-25高一下·河南南阳·期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为 ． 【答案】 【详解】设所在扇形的半径为，圆心角为，则，解得， 所以扇环的面积为. 故答案为： 例6．（24-25高二下·山东东营·阶段练习）月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题.如图所示，△ABC为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为1米，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ、Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则图中区域Ⅲ的月牙形的周长为 米；三个区域的总面积为 平方米. 【答案】 【详解】为大圆的内接等腰直角三角形，为大圆的直径， 大圆的半径为1米，米， ，， 区域Ⅲ的周长为； 根据月牙定理可知，区域Ⅰ、Ⅱ的面积之和为， 区域Ⅲ的面积为， 三个区域的总面积为. 故答案为：；. 例7．（24-25高一上·吉林·期中）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．如图所示：它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若，求： (1)莱洛三角形的周长； (2)莱洛三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由于三角形为正三角形， 所以以为圆心的扇形的弧长是， 莱洛三角形的周长为； （2）因为，由于三角形为正三角形， 所以以为圆心的扇形的面积是， 又的面积是， 所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积， 即． 例8．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【详解】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 例9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 【答案】(1) (2) (3)当时，扇形面积有最大值，为 【详解】（1）由，则. （2）由，解得或18，因为，所以. （3）由，得， 则， 由，则，当且仅当时，等号成立， 当时，扇形面积有最大值. 例10．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 【答案】(1)，最小值为； (2)，最大值为． 【详解】（1）， 则． 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立． 此时． 当时，最小，最小值为． （2），． ． 当，即时，． 当时，最大，最大值为． 变式1．（24-25高一上·云南·期末）已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 则扇形的面积，又， 解得， 所以扇形的周长. 故选：C. 变式2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）从半径为r的圆中剪下圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为， 可得，，故，解得． 故选：C． 变式3．（24-25高一下·辽宁·期中）受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【详解】由题意可得圆弧六边形的面积为： ①， 圆弧六边形的周长为： ，即②， 联立①②，解得，，所以. 故选：D 变式4．（25-26高三上·河南濮阳·阶段练习）如图是折扇的示意图，其中，．为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【答案】 【详解】由题意可得， 根据扇形面积公式可得 ， 故． 故答案为： 变式5．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状(如图2)，在扇形AOB中，，，则扇形AOB的面积为 cm2. 【答案】 【详解】在扇形AOB中，因为，， 所以由扇形面积公式可知. 故答案为： 变式6．（24-25高一下·湖北·期中）折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为 ． 【答案】 【详解】设，已知扇形的面积，扇形的面积，所以扇面的面积为. 故答案为：. 变式7．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 变式8．（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． 变式9．（24-25高一下·湖南怀化·期末）为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．    (1)写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）在扇形中，由题意得，， 由扇形面积公式得扇形的面积为， 扇形的面积为， 故，由弧长公式得的长度为， 的长度为，而园圃的外围周长为50m， 故，解得， 因为圆心角小于，所以， 解得，而，故， 故，该函数的定义域为. （2）由二次函数性质得在内单调递增， 当时，的最大值为， 的长度为， 的长度为. 变式10．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.    (1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度； (2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 【答案】(1)160厘米； (2)6400平方厘米. 【详解】（1）设弧的长度为厘米，弧的长度为厘米. 因为，所以，所以. 因为厘米，所以厘米. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以， 所以，解得，即弧的长度为160厘米. （2）因为，所以，所以， 则扇形的面积，扇形的面积， 故该扇形玉雕壁画的扇面面积. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以 所以， 则，从而，当且仅当时，等号成立， 故，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米. 2 学科网（北京）股份有限公司 $