任意角与弧度制、扇形的相关计算、三角函数的定义、同角三角关系专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

任意角与弧度制、扇形的相关计算、三角函数的定义、同角三角关系专项训练 任意角与弧度制、扇形的相关计算、三角函数的定义、同角三角关系专项训练 考点目录 任意角与弧度制 扇形的相关计算 三角函数的定义 同角三角关系 考点一 任意角与弧度制 1．（25-26高三上·天津和平·开学考试）终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）把表示成的形式，且使，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南·期中）与角终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西梧州·期末）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（    ） A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度 5．（25-26高二上·吉林白城·开学考试·多选）给出的下列四个命题中正确的有（   ） A．角是第一象限角 B．角是第三象限角 C．角是第二象限角 D．角是第四象限角 6．（24-25高一下·湖南长沙·期末·多选）与405°角终边相同的角是（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）若、两角的终边互为反向延长线，且，则符合条件的角的一个值可以是 ． 8．（24-25高一下·安徽亳州·期中）化成弧度是 ． 9．（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 10．（24-25高一下·上海青浦·期中）是第 象限的角． 考点二 扇形的相关计算 1．（25-26高三上·浙江温州·阶段练习）已知一扇形的半径为3，周长为10，则该扇形的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，则该扇形的弧长为（    ） A．6 B． C．12 D． 3．（25-26高一上·河北保定·阶段练习）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·福建·阶段练习）在扇形中，已知扇形所在圆的半径为2，，则扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习·多选）已知扇形的周长为120，圆心角为，则下列说法正确的有（    ）． A．此扇形的弧长为30 B．此扇形的半径为30 C．此扇形的面积为900 D．此扇形的面积为600 6．（24-25高一下·河南·开学考试·多选）已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（    ） A．分针转过的角的弧度为 B．分针转过的角的弧度为 C．分针尖端所走过的弧长为 D．分针扫过的扇形面积为 7．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知半径为的扇形面积为，则该扇形圆心角的弧度为 ． 8．（2025·广东梅州·模拟预测）已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为 . 9．（25-26高二上·辽宁·开学考试）一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为 ，该扇形的面积为 ． 10．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为 . 11．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则 (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 12．（24-25高一下·河南周口·期中）一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15. (1)求该扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积. 13．（24-25高一下·广西钦州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 14．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度. (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值． 考点三 三角函数的定义 1．（25-26高三上·福建·开学考试）若角的终边过点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2．（24-25高三上·北京·开学考试）角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D．0 3．（2025·吉林长春·模拟预测）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东泰安·阶段练习）若点在角的终边上，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山东临沂·阶段练习）“”是“”的（    ）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 7．（24-25高一上·贵州毕节·期末·多选）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广西贵港·期中·多选）若，则角的终边经过的点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 10．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）已知角α的终边在直线上，则＝ 11．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）已知角α的终边上有一点，则的值为 . 12．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角的终边经过点，则 ． 13．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 14．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知角的终边经过点，其中. (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值. 考点四 同角三角关系 1．（25-26高二上·云南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C．8 D． 2．（25-26高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D．-3 3．（24-25高一下·北京·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（   ） A．11 B． C． D． 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·吉林通化·期末·多选）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末·多选）已知，则（    ） A．的值为或 B．当时，的值为 C．当时，的值为 D．当为第三象限角时，的值为 9．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知，则的值为 . 10．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为 ． 11．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）若角的终边在第二象限，则 . 12．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是第四象限角，且，则 ． 13．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值. 14．（24-25高一上·天津·阶段练习）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2) （i）求的值 （ii）求的值 2 学科网（北京）股份有限公司 $任意角与弧度制、扇形的相关计算、三角函数的定义、同角三角关系专项训练 任意角与弧度制、扇形的相关计算、三角函数的定义、同角三角关系专项训练 考点目录 任意角与弧度制 扇形的相关计算 三角函数的定义 同角三角关系 考点一 任意角与弧度制 1．（25-26高三上·天津和平·开学考试）终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】终边在轴的非负半轴上的角的集合为. 故选：D 2．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）把表示成的形式，且使，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以的值为， 故选：C 3．（24-25高一下·河南·期中）与角终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为. 所以与角终边相同的最小正角是. 故选：B 4．（24-25高一下·广西梧州·期末）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（    ） A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度 【答案】D 【详解】因为，所以弧度, 因此“720度”即弧度. 故选：D． 5．（25-26高二上·吉林白城·开学考试·多选）给出的下列四个命题中正确的有（   ） A．角是第一象限角 B．角是第三象限角 C．角是第二象限角 D．角是第四象限角 【答案】ABC 【详解】选项A：因为，在第一象限内，故A正确； 选项B：因为，在第三象限内，故B正确； 选项C：因为，在第二象限内，故C正确； 选项D：因为，在第一象限内，故D错误； 故选：ABC 6．（24-25高一下·湖南长沙·期末·多选）与405°角终边相同的角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由于， 故与405°终边相同的角应为或． 故选：BC 7．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）若、两角的终边互为反向延长线，且，则符合条件的角的一个值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】可取. 故答案为：（答案不唯一）. 8．（24-25高一下·安徽亳州·期中）化成弧度是 ． 【答案】/ 【详解】因，则. 故答案为： 9．（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 【答案】/ 【详解】分针一小时转过，所以从到转过了， 在此期间时钟分针转过了（弧度）. 故答案为： 10．（24-25高一下·上海青浦·期中）是第 象限的角． 【答案】一 【详解】由，即与的终边相同，故为第一象限角. 故答案为：一 考点二 扇形的相关计算 1．（25-26高三上·浙江温州·阶段练习）已知一扇形的半径为3，周长为10，则该扇形的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】设扇形半径为r，周长为C，扇形圆心角为，面积为S. 由题有. 则. 故选：B 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，则该扇形的弧长为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【详解】设扇形半径为，由扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，得，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：C 3．（25-26高一上·河北保定·阶段练习）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为． 故选：C. 4．（25-26高三上·福建·阶段练习）在扇形中，已知扇形所在圆的半径为2，，则扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由扇形面积公式及已知，扇形面积. 故选：B 5．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习·多选）已知扇形的周长为120，圆心角为，则下列说法正确的有（    ）． A．此扇形的弧长为30 B．此扇形的半径为30 C．此扇形的面积为900 D．此扇形的面积为600 【答案】BC 【详解】设该扇形的圆心角、弧长、半径分别为，l，r， 所以，解得故A错误，B正确； 扇形的面积，故C正确，D错误． 故选：BC． 6．（24-25高一下·河南·开学考试·多选）已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（    ） A．分针转过的角的弧度为 B．分针转过的角的弧度为 C．分针尖端所走过的弧长为 D．分针扫过的扇形面积为 【答案】BC 【详解】由题意得分针转过的角的弧度为， 所以分针尖端所走过的弧长为，分针扫过的扇形面积为． 故选：BC 7．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知半径为的扇形面积为，则该扇形圆心角的弧度为 ． 【答案】 【详解】设扇形圆心角的弧度为， 扇形面积，. 故答案为：. 8．（2025·广东梅州·模拟预测）已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为 . 【答案】4 【详解】设扇形的圆心角为，且半径为的扇形面积为6， 由扇形的面积公式得，解得，则扇形的圆心角为. 故答案为：4 9．（25-26高二上·辽宁·开学考试）一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为 ，该扇形的面积为 ． 【答案】 / 【详解】因为圆心角为，半径为4， 所以弧长为，该扇形的面积为． 故答案为： 10．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为 . 【答案】 【详解】如图，取优弧所在圆的圆心，连接， 则，则， 所以，则， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为． 而， 故， 所以该“水滴”的面积为． 故答案为：. 11．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 12．（24-25高一下·河南周口·期中）一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15. (1)求该扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）由题意可知扇形的半径，周长， 弧长， 圆心角. （2）由（1）可得，扇形面积. 13．（24-25高一下·广西钦州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1)； (2)； (3),. 【详解】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的面积为； （2）设扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的弧长为，所以有， 解方程得（舍去）或， 所以扇形圆心角的弧度数为； （3）设扇形圆心角的弧度为，则，则 扇形的周长为， 当且仅当时，周长可取得最小值，此时， 故此时扇形的圆心角. 14．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度. (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值． 【答案】(1)， (2)当时，棚栏长度的最小值为米 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得，所以， 由可得， 所以，，. （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度， 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为米． 考点三 三角函数的定义 1．（25-26高三上·福建·开学考试）若角的终边过点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为角的终边过点，所以，，， 由三角函数定义，即. 故选：A 2．（24-25高三上·北京·开学考试）角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】因为角的终边经过点， 则,. 所以 故选：D 3．（2025·吉林长春·模拟预测）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为角的终边经过点，，，， 所以， 则. 故选：C. 4．（25-26高三上·山东泰安·阶段练习）若点在角的终边上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，点在角的终边上，即， 则， 由三角函数的定义，可得． 故选：A 5．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为终边上一点， 所以由三角函数点定义得，即， 所以， 故选：C. 6．（25-26高三上·山东临沂·阶段练习）“”是“”的（    ）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】因为，可得或，故充分性不成立； 当时，可得，故必要性成立， 故”是“”的必要不充分条件， 故选：. 7．（24-25高一上·贵州毕节·期末·多选）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意角的终边经过点，且，可知， 解得，故A正确，B错误； 所以角的终边经过点，所以，故C正确，D错误. 故选：AC. 8．（24-25高一下·广西贵港·期中·多选）若，则角的终边经过的点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设角的终边经过的点的坐标为，． 当，时，，，A不符合题意； 当，时，，，B符合题意； 当，时，，，C不符合题意； 当，时，，，D符合题意． 故选：BD 9．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 【答案】/ 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 10．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）已知角α的终边在直线上，则＝ 【答案】 【详解】在直线上任取点，所以， 所以. 故答案为：. 11．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）已知角α的终边上有一点，则的值为 . 【答案】/ 【详解】由题可得，， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】 【详解】根据三角函数的定义，， 则． 故答案为：. 13．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)当；当； (2). 【详解】（1）因为， 所以当， 当 （2）若为第二象限角，则， 所以. 14．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知角的终边经过点，其中. (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，. （2）若为第二象限角，则， 则，， 所以. 考点四 同角三角关系 1．（25-26高二上·云南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 2．（25-26高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C 3．（24-25高一下·北京·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由. 故选：C 4．（25-26高二上·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（   ） A．11 B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，而，解得，因此， 所以. 故选：D 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 因为 由①得，代入②得：. 整理得：， 结合，所以， 所以， 所以. 故选：B 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，两边平方可得， 即； 因为， 所以，解得. 则. 故选：C. 7．（24-25高一上·吉林通化·期末·多选）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末·多选）已知，则（    ） A．的值为或 B．当时，的值为 C．当时，的值为 D．当为第三象限角时，的值为 【答案】ACD 【详解】设，则. 代入，得：. 解得： 因为，与同号，故，两解均成立. 故A对. 当时，，故，即. 设，（），则， 此时，，故B错. 当时，，故. 所以，故C对. 当为第三象限角时，，，故. 所以 开方，故D对. 故选：ACD. 9．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知，则的值为 . 【答案】 【详解】， ， ， 故答案为：． 10．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 11．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）若角的终边在第二象限，则 . 【答案】1 【详解】由题设，则. 故答案为：1 12．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是第四象限角，且，则 ． 【答案】 【详解】因是第四象限角，则， 由，可得. 故答案为：. 13．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为角为第二象限角，所以， 所以． （2）． 14．（24-25高一上·天津·阶段练习）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2) （i）求的值 （ii）求的值 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得， 所以. （2）由，得（i）； （ii）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $