2026年中考数学复习之小题决胜演练数与式

2026年中考数学复习之小题决胜演练 数与式 一、选择题 1．一个数的相反数是﹣2025，则这个数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．下列各式中正确的是（　　） A．|﹣5|＝﹣|5| B．|﹣5|＝﹣5 C．|﹣5|＝|5| D．﹣|﹣5|＝5 3．下列各数中互为相反数的是（　　） A．和0.3 B．|+1|和|﹣1| C．和 D．﹣（+5）和+（﹣5） 4．下列各数中，最小的是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 5．下列计算正确的是（　　） A．a3﹣a＝a2 B．a2•a＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5 6．下列运算中正确的是（　　） A．x3•x4＝x12 B．（﹣x）4＝x4 C．（﹣2x）2＝4x D．2x5+2x5＝4x10 7．若（x﹣5）（x+3）＝x2+mx﹣15，则m的值为（　　） A．8 B．5 C．2 D．﹣2 8．下列因式分解正确的是（　　） A．ax+ay+a＝a（x+y） B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．x2+2x﹣15＝（x+3）（x﹣5） 9．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 10．下列说法中，正确的是（　　） A．8πxy3的次数为5 B．多项式x3﹣2x2﹣5x的一次项是5x C．单项式m没有系数 D．多项式x2+6x+18是二次三项式 二、填空题 11．若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则y的值为　 　 ． 12．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是　 　 ． 13．2025年1月20日，DeepSeek﹣R1模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日，DeepSeek的下载量已接近4000万．将4000万用科学记数法表示为　 　 ． 14．已知a、b、c的位置如图：则化简|a+b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|＝　 　 ． 15．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n＝　 　 ． 16．多项式是关于x的四次二项式，则m的值是　 　 ． 17．已知xm＝2，xn＝3，则x2m+n的值为　 　 ． 18．若x2﹣3（a+1）x+16是一个完全平方式，则a的值为　 　 ． 19．已知x2﹣y2＝6，x+y＝﹣3，则x﹣y＝ 　 　 ． 20．要使有意义，则x的取值范围为　 　 ． 三、解答题 21．已知|x|＝3，|y|＝7． （1）若|x+y|＝|x|+|y|，求x+y的值； （2）若xy＜0，求x﹣y的值． 22．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|． （1）a+b＝ 　 　 ， 　 　 ； （2）判断b+c，bc，（b+c）（a﹣b）的正负； （3）化简：． 23．观察一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，将这列数排成下列形式： （1）在表中，第12行第6个数是 　 　 ； （2）在表中，“2021”是其中的第 　 　 行，第 　 　 个数； （3）将表中第i行的最后一个数记为ai，如第1行的最后一个数记为a1，即a1＝1，第2行的最后一个数记为a2，即a2＝3，如此下去，a3＝﹣6，a4＝﹣10，…，第n行的最后一个数记为an，则用含n的式子表示|an|为 　 　 ； （4）在（3）的条件下，计算． 24．已知P＝3x2+mxy+4，Q＝2x﹣3y+1﹣nx2， （1）关于x，y的式子P﹣2Q不存在字母x的一次项和二次项，求式子（m+3n）﹣（3m﹣n）的值； （2）当x≠0且y≠0时，若3P恒成立，求m、n的值． 25．某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如表： 进价 售价 乒乓球拍 30元/副 （30+a）元/副（a＞0） 乒乓球 1元/个 （1+b）元/个（b＞0） 某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球． （1）该乒乓球队共需花费 　 　 元（结果用含a，b的式子表示）； （2）今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案： 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球； 方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍． ①全部按方案一购买与全部按方案二购买相差多少钱（结果用含a，b的式子表示）？ ②若a＝5，b＝0.2，请你为该乒乓球队设计一个最省钱的购买方案，说明理由． 26．已知xm＝3，xn＝6，求： （1）xn+2m； （2）x3m﹣2n的值． 27．先化简，再求值：（2x+y）2﹣2（x+2y）（2x﹣y），其中，y＝1． 28．分解因式： （1）﹣3a3m+6a2m﹣12am； （2）（m﹣1）+n2（1﹣m）； （3）（3x﹣2y）2﹣（5x﹣3y）（x﹣y）． 29．阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： （1）的值． （2）求的值． （3）若，求a3﹣4a2+a+4的值． 30．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式　 　 ． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若xy＝2，x+y＝6，则x2+y2＝　 　 ； 【类比应用】 （3）若（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为10，△CDG的面积为3，求CE的长度． 参考答案 一、选择题 1．一个数的相反数是﹣2025，则这个数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：设这个数是x， 根据题意得，﹣x＝﹣2025， 解得x＝2025， 则这个数是2025． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 2．下列各式中正确的是（　　） A．|﹣5|＝﹣|5| B．|﹣5|＝﹣5 C．|﹣5|＝|5| D．﹣|﹣5|＝5 【分析】正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解判断即可． 【解答】解：A、|﹣5|＝5，﹣|5|＝﹣5，|﹣5|≠﹣|5|，选项错误，不符合题意； B、|﹣5|＝5，5≠﹣5，选项错误，不符合题意； C、|﹣5|＝5，|5|＝5，5＝5，选项正确，符合题意； D、﹣|﹣5|＝﹣5，5≠﹣5，选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了绝对值，相反数，掌握绝对值和相反数的定义是关键． 3．下列各数中互为相反数的是（　　） A．和0.3 B．|+1|和|﹣1| C．和 D．﹣（+5）和+（﹣5） 【分析】分别计算各选项的数值并判断是否满足相反数的定义即可． 【解答】解：A、，绝对值不相等，不互为相反数，不符合题意； B、|+1|＝1，|﹣1|＝1，两数相等，不互为相反数，不符合题意； C、，，绝对值相等符号相反，互为相反数，符合题意； D、﹣（+5）＝﹣5，+（﹣5）＝﹣5，两数相等，不互为相反数，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了相反数的定义，绝对值，熟知只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 4．下列各数中，最小的是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜1， ∴最小的数是：﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 5．下列计算正确的是（　　） A．a3﹣a＝a2 B．a2•a＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、a3与﹣a不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、a2•a＝a3，故此选项符合题意； C、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意； D、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．下列运算中正确的是（　　） A．x3•x4＝x12 B．（﹣x）4＝x4 C．（﹣2x）2＝4x D．2x5+2x5＝4x10 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方及合并同类项的法则逐一判断即可． 【解答】解：A、x3•x4＝x3+4＝x7≠x12，原计算错误，不符合题意； B、（﹣x）4＝（﹣1）4•x4＝x4，正确，符合题意； C、（﹣2x）2＝（﹣2）2•x2＝4x2≠4x，原计算错误，不符合题意； D、2x5+2x5＝（2+2）x5＝4x5≠4x10，原计算错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．若（x﹣5）（x+3）＝x2+mx﹣15，则m的值为（　　） A．8 B．5 C．2 D．﹣2 【分析】将（x﹣5）（x+3）计算后即可求得答案． 【解答】解：（x﹣5）（x+3） ＝x2+3x﹣5x﹣15 ＝x2﹣2x﹣15 ＝x2+mx﹣15， 则m＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．下列因式分解正确的是（　　） A．ax+ay+a＝a（x+y） B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．x2+2x﹣15＝（x+3）（x﹣5） 【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，结果一定是因式乘积的形式，据此逐一判断． 【解答】解：A∵．ax+ay+a＝a（x+y+1），∴原式错误，不符合题意； B．∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），∴原式错误，不符合题意； C．∵x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，∴原式正确，符合题意； D．∵x2+2x﹣15＝（x﹣3）（x+5），∴原式错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的定义，及常见的因式分解方法． 9．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，再进行乘除运算即可． 【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 10．下列说法中，正确的是（　　） A．8πxy3的次数为5 B．多项式x3﹣2x2﹣5x的一次项是5x C．单项式m没有系数 D．多项式x2+6x+18是二次三项式 【分析】根据单项式的系数、次数的定义，多项式的项、次数的定义判断即可． 【解答】解：A、8πxy3的次数为4，故此选项不符合题意； B、多项式x3﹣2x2﹣5x的一次项是﹣5x，故此选项不符合题意； C、单项式m的系数是1，故此选项不符合题意； D、多项式x2+6x+18是二次三项式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了单项式，多项式，熟练掌握单项式的系数、次数的定义，多项式的项、次数的定义是解题的关键． 二、填空题 11．若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则y的值为　﹣3　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值即可． 【解答】解：∵|x﹣2|+（y+3）2＝0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， ∴x＝2，y＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 12．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是　﹣4　 ． 【分析】根据数轴的单位长度，判断墨迹盖住部分的整数，然后求出其和． 【解答】解：由图可知，左边盖住的整数数值是﹣2，﹣3，﹣4，﹣5； 右边盖住的整数数值是1，2，3，4； 所以他们的和是﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】此题的关键是先看清盖住了哪几个整数值，然后相加． 13．2025年1月20日，DeepSeek﹣R1模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日，DeepSeek的下载量已接近4000万．将4000万用科学记数法表示为　4×107 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：4000万＝40000000＝4×107． 故答案为：4×107． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 14．已知a、b、c的位置如图：则化简|a+b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|＝　2b ． 【分析】由数轴得a＜0，0＜b＜c，|a|＜|b|，进而得出a+b＞0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，再根据绝对值的性质化简即可． 【解答】解：由数轴得a＜0，0＜b＜c，|a|＜|b|， ∴a+b＞0，c﹣a＞0，b﹣c＜0， ∴|a+b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|＝a+b+c﹣a﹣（c﹣b）＝a+b+c﹣a﹣c+b＝2b， 故答案为：2b． 【点评】本题考查了绝对值，数轴，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 15．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n＝　500　 ． 【分析】先根据前3幅图中菱形的个数总结出规律，利用规律解题即可． 【解答】解：第1幅图中有1个菱形， 第2幅图中有3个菱形， 第3幅图中有5个菱形， ……， 第n幅图中有（2n﹣1）个菱形， 令2n﹣1＝999， 解得n＝500． 故答案为：500． 【点评】本题主要考查图形规律类，找到规律是解题的关键． 16．多项式是关于x的四次二项式，则m的值是　﹣4　 ． 【分析】根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【解答】解：∵多项式是关于x的四次二项式， ∴﹣（m+4）＝0，|m|＝4， ∴m＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数． 17．已知xm＝2，xn＝3，则x2m+n的值为　12　 ． 【分析】根据幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法法则求解． 【解答】解：已知xm＝2，xn＝3， 原式＝x2m•xn ＝2×2×3 ＝12． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 18．若x2﹣3（a+1）x+16是一个完全平方式，则a的值为　或　 ． 【分析】先确定完全平方式的首尾项：首项和尾项的底数；再根据中间项等于±2x首项底数x尾项底数，列出关于a的方程﹣3（a+1）＝±8；最后解方程得到a的两个值． 【解答】解：∵x2﹣3（a+1）x+16是完全平方式， ∴中间项﹣3（a+1）x＝±2x•4， 即﹣3（a+1）＝±8． 当﹣3（a+1）＝8时，﹣3a﹣3＝8，解得； 当﹣3（a+1）＝﹣8时，﹣3a﹣3＝﹣8，解得． 故答案为：或． 【点评】本题考查了完全平方式的性质，解题的关键是熟记完全平方式（m±n）2＝m2±2mn+n2的结构，明确中间项与首尾两项的关系，进而列方程求解． 19．已知x2﹣y2＝6，x+y＝﹣3，则x﹣y＝ 　﹣2　 ． 【分析】因为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝6，x+y＝﹣3，所以﹣3（x﹣y）＝6，得到x﹣y＝﹣2，即可得到答案． 【解答】解：根据平方差公式可知：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝6，x+y＝﹣3， 整理得：x﹣y＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查 了平方差公式，代数式求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 20．要使有意义，则x的取值范围为x≥3　 ． 【分析】要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，据此求x的取值范围即可． 【解答】解：由题意得：3x﹣9≥0， 解得x≥3， ∴x的取值范围为x≥3． 故答案为：x≥3． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数． 三、解答题 21．已知|x|＝3，|y|＝7． （1）若|x+y|＝|x|+|y|，求x+y的值； （2）若xy＜0，求x﹣y的值． 【分析】（1）根据绝对值的性质，|x+y|＝|x|+|y|成立的条件是x和y同号，由此可求出x+y的值； （2）xy＜0表示x和y异号，由此可求出x﹣y的值． 【解答】解：（1）由题意可得：x＝±3，y＝±7． 又∵|x+y|＝|x|+|y|， ∴x与y同号． 若x＝3，y＝7，则x+y＝3+7＝10． 若x＝﹣3，y＝﹣7，则x+y＝﹣3+（﹣7）＝﹣10． ∴x+y的值为10或﹣10； （2）由题意可得：x＝±3，y＝±7． 又∵xy＜0， ∴x与y异号． 若x＝3，y＝﹣7，则x﹣y＝3﹣（﹣7）＝10． 若x＝﹣3，y＝7，则x﹣y＝﹣3﹣7＝﹣10． ∴x﹣y的值为10或﹣10． 【点评】本题考查了绝对值的性质和有理数的加减法，根据绝对值的性质得出x、y的符号是解题的关键． 22．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|． （1）a+b＝ 　0　 ， 　﹣1　 ； （2）判断b+c，bc，（b+c）（a﹣b）的正负； （3）化简：． 【分析】（1）根据数轴及已知条件即可求得答案； （2）根据数轴及有理数的运算法则进行判断即可； （3）利用绝对值的性质进行化简即可． 【解答】解：（1）由数轴可得b＜0＜a， ∵|a|＝|b|， ∴a，b互为相反数， ∴a+b＝0，1， 故答案为：0；﹣1； （2）由数轴可得c＜b＜0＜a， 则b+c＜0，bc＞0，a﹣b＞0， 那么（b+c）（a﹣b）＜0； （3）原式 ＝1+1+1 ＝3． 【点评】本题考查有理数的混合运算，数轴，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 23．观察一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，将这列数排成下列形式： （1）在表中，第12行第6个数是 　﹣72　 ； （2）在表中，“2021”是其中的第 　64　 行，第 　5　 个数； （3）将表中第i行的最后一个数记为ai，如第1行的最后一个数记为a1，即a1＝1，第2行的最后一个数记为a2，即a2＝3，如此下去，a3＝﹣6，a4＝﹣10，…，第n行的最后一个数记为an，则用含n的式子表示|an|为 　　 ； （4）在（3）的条件下，计算． 【分析】（1）先求出前11行一共有66，即可求解； （2）求出前n行共有个数，再求前63行共有2016个数，即可求2021的位置； （3）由题意可得，1+2+3+......+n，即可求解； （4）原式，再运算即可． 【解答】解：（1）由题可知，第一行1个数，第二行2个数，…，第n行n个数， ∴前11行一共有1+2+3+…+11＝66， ∴第12行第一个数是67， ∴第12行第6个数是﹣72， 故答案为：﹣72； （2）由题意可得，前n行共有个数， ∴当n＝63时，前63行共有2016个数， ∴2021时第64行的第5个数， 故答案为：64，5； （3）由题意可得，1+2+3+......+n， ∴|an|， 故答案为：； （4） ． 【点评】本题考查数字的变化规律，根据题意探索数字的排列规律是解的关键． 24．已知P＝3x2+mxy+4，Q＝2x﹣3y+1﹣nx2， （1）关于x，y的式子P﹣2Q不存在字母x的一次项和二次项，求式子（m+3n）﹣（3m﹣n）的值； （2）当x≠0且y≠0时，若3P恒成立，求m、n的值． 【分析】（1）根据整式的加减得P﹣2Q＝（3+2n）x2+（m﹣4）xy+2，根据3+2n＝0，m﹣4＝0，即可得出答案； （2）根据整式的加减得3PQ＝（9）x2+（3m）x，根据3PQ恒成立，即可求出m、n的值． 【解答】解：（1）P﹣2Q＝3x2+mxy+4﹣2（2x﹣3y+1﹣nx2） ＝（3+2n）x2+（m﹣4）xy+2， ∵P﹣2Q的取值与字母x的取值无关， ∴n，m＝4， ∴（m+3n）﹣（3m﹣n）＝4n﹣2m＝﹣6﹣8＝﹣14； （2）∵3PQ， ∴3（3x2+mxy+4）（2x﹣3y+1﹣nx2）＝（9）x2+（3m）x， ∴90，3m0， ∴n＝﹣27，m． 【点评】本题考查整式的加减法；熟练掌握整式的加减法运算，能够根据条件列出正确的代数式，并能够准确运算是解题的关键． 25．某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如表： 进价 售价 乒乓球拍 30元/副 （30+a）元/副（a＞0） 乒乓球 1元/个 （1+b）元/个（b＞0） 某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球． （1）该乒乓球队共需花费 　（570+15a+120b）　 元（结果用含a，b的式子表示）； （2）今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案： 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球； 方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍． ①全部按方案一购买与全部按方案二购买相差多少钱（结果用含a，b的式子表示）？ ②若a＝5，b＝0.2，请你为该乒乓球队设计一个最省钱的购买方案，说明理由． 【分析】（1）分别计算乒乓球拍与乒乓球花费，再求和即可； （2）①按方案一求出球队花出费用，按方案二求出球队花出费用，两者求差即可， ②利用方案一与方案二的差的代数式求值即可确定哪种方案省钱． 【解答】解：（1）乒乓球拍花费：15（30+a）＝（450+15a）元， 乒乓球花费：120（1+b）＝（120+120b）元， 该乒乓球队共需花费＝450+15a+120+120b＝（570+15a+120b）元， 故答案为：（570+15a+120b）； （2）①方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球， 15（30+a）+（120﹣2×15）（1+b）＝（540+15a+90b）元， 方案二：每购买100个乒乓球就赠送1副乒乓球拍， 14（30+a）+120（1+b）＝（540+14a+120b）元， 全部按方案一购买比全部按方案二购买多花：540+15a+90b﹣（540+14a+120b）＝（a﹣30b）元； ②当a＝5，b＝0.2时， 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球， 540+15a+90b＝540+75+18＝633元， 方案二：每购买100个乒乓球就赠送1副乒乓球拍， 540+14a+120b＝540+70+24＝634元， 方案三：按照方案二购买100个乒乓球（赠送1副乒乓球拍），然后按照方案一购买14副乒乓球拍（赠送28个乒乓球）， 100（1+0.2）+14（30+5）＝610元， ∵610＜633＜634， ∴选方案三划算． 【点评】本题考查列代数式的问题，利用方案设计列出代数式，会整式的加减运算，会求代数式的值，会利用代数式的值定方案是解题关键． 26．已知xm＝3，xn＝6，求： （1）xn+2m； （2）x3m﹣2n的值． 【分析】（1）首先逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方的法则，可得：原式＝xn•（xm）2，再把xm＝3，xn＝6代入求值即可； （2）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方的法则，可得：原式＝（xm）3÷（xn）2，再把xm＝3，xn＝6代入求值即可． 【解答】解：（1）xn+2m＝xn•x2m＝xn•（xm）2， ∵xm＝3，xn＝6， ∴xn+2m ＝xn•（xm）2 ＝6×32 ＝54； （2）x3m﹣2n＝x3m÷x2n＝（xm）3÷（xn）2， ∵xm＝3，xn＝6， ∴x3m﹣2n ＝（xm）3÷（xn）2 ＝33÷62 ＝27÷36 ． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上运算法则是解题的关键． 27．先化简，再求值：（2x+y）2﹣2（x+2y）（2x﹣y），其中，y＝1． 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：（2x+y）2﹣2（x+2y）（2x﹣y） ＝4x2+4xy+y2﹣2（2x2﹣xy+4xy﹣2y2） ＝4x2+4xy+y2﹣4x2+2xy﹣8xy+4y2 ＝5y2﹣2xy， 当，y＝1时，原式＝5×12﹣2×（）×1 ＝5×1+1 ＝5+1 ＝6． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 28．分解因式： （1）﹣3a3m+6a2m﹣12am； （2）（m﹣1）+n2（1﹣m）； （3）（3x﹣2y）2﹣（5x﹣3y）（x﹣y）． 【分析】（1）直接提公因式即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （3）将原式展开运算后进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣3am（a2﹣2a+4）； （2）原式＝（m﹣1）（1﹣n2） ＝（m﹣1）（1+n）（1﹣n）； （3）原式＝9x2﹣12xy+4y2﹣5x2+5xy+3xy﹣3y2 ＝4x2﹣4xy+y2 ＝（2x﹣y）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，综合运用提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 29．阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： （1）的值． （2）求的值． （3）若，求a3﹣4a2+a+4的值． 【分析】（1）依据题意，由，从而计算可以得解； （2）依据题意，由，进而计算可以得解； （3）依据题意，由，从而代入a3﹣4a2+a+4＝a2（a﹣4）+a+4＝（9+4）（2）2+4，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）； （2） 1 1； （3）由题意，∵， ∴a3﹣4a2+a+4 ＝a2（a﹣4）+a+4 ＝（9+4）（2）2+4 ＝918+20﹣86 ＝28． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值、平方差公式、分母有理化，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键． 30．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若xy＝2，x+y＝6，则x2+y2＝　32　 ； 【类比应用】 （3）若（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为10，△CDG的面积为3，求CE的长度． 【分析】（1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形ABCD的边长为m，正方形DEFG的边长为n，由题意可得，，进一步求出m2+n2＝26，mn＝6，根据（m+n）2＝m2+n2+2mn求出（m+n）2的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）图①从“整体上”看是边长为（a+b）的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图①的四个部分的面积和为a2+b2+2ab， 可以验证公式（a+b）2＝a2+2ab+b2． 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2． （2）由条件可知x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， 当xy＝2，x+y＝6时， x2+y2＝62﹣2×2＝36﹣4＝32． 故答案为：32． （3）由条件可知（20﹣x）2+（x﹣30）2 ＝[（20﹣x）+（x﹣30）]2﹣2（20﹣x）（x﹣30） ＝（﹣10）2﹣2×10 ＝100﹣20 ＝80； （4）设正方形ABCD的边长为m，正方形DEFG的边长为n， 则AB＝CD＝AD＝m，EF＝GF＝DG＝n，AG＝m﹣n， ∴，， ∴，mn＝6， ∴m2﹣mn+n2＝20， ∴m2+n2＝20+mn＝26， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝26+2×6＝38， ∵m＞0，n＞0， ∴，即． 【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式时解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $