福建省三明第一中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试卷

三明一中2025-2026学年上学期高三半期考 数学试卷 (考试时间：120分钟满分：150分) 第舡卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，仅有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x2-x-2>0},B={xx2<3x},则AnB= A.（-1,0) B.(-1,3) c.(2,3) D.(0,2) 2.苦：=产，其中是虚数单位，则4 A.5 B.2 C.2W5 D.4 3.已知a,B都是锐角，cosa=3 s,Cos(+B=一之，贝cOs的直岁 A.6 5 B._16 25 c.3 5 D. 25 4.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=∫(x),且当0<x≤1时，f(x)=-x2+x, c D号 5.已知向量a=（-1,1),6=(2,-3),若61(ka+),则k= A.5 B.13 c.号 D.5 5 6.若直线y=x+a与曲线y=e+b相切，则 A.a+b=-1 B.a+b=1 C.a-b=-1 D.a-b=1 7.若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球面上，则该正四棱锥的表面积为 A.32(W2+1B.32(5+1 C.64(N2+1 D.64(N5+1 8.若实数x,y,z满足2”-2=3-3=52-5，则七，y,2的大小关系不可能是 A.x=y=z B.x>y>z C.z>y>x D.z>x>y 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.设m,n为直线，a,B为平面，则下列结论正确的是 A.若m⊥a,n/1a,则m⊥n B.若m/1o,n/1a,则m/1n C.若m⊥a,m/1B,则a⊥B D.若m/1B,a⊥B,则m⊥ax 3 0.已知0是增的等数其前n项和为S,若色气S,则 A.a1=1 35 B.a54=16 C.5,=6 8 D.{Sm+2}不是等比数列 11.在△ABC中，若sin4+simB =4cosC,则 sinB sinA A.sin2A+sin2B=sin2C B.C的最大值为 C.sinAsin(C-B)=sinBsin(4-C) 11 2 D. tanA tanB tanC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列{a,}的前n项和为Sn,若a+a,=a6+2,则S:= 13.函数f(x)=x(x-m}在x=1处取得极小值，则m= 14.已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+2)+f(4-x)=0,且当x∈(0,3]时， =Vx-云两数g)=1g,+引与函数y-了@)的图象的所有交点的横坐标之和 为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=∠ADP=90°， 且AB=PB=2,PA=2N2,BC=CD=1,E为PA中点. (I)证明：DE/平面PBC; (2)证明：PB⊥平面ABCD: 16.(15分) 已知函数f()=e+(a-2刘e-2m(aeR). (1)当a=2时，求f(x)的单调区间； @当a=0时，求证：对任意的x@+,f(+4e>22+号恒成立： 17.(15分) 在△ABC中，tanA+tanB= 2sin C ,AB=5,AC=8. cos B (1)求角A的大小； (2)求cosB; 《3)若线段上点D满是∠8CD-君，求CD的长. 18.(17分) ”1子。一j270 已如煮测a满足4号且a0+号 (1)证明：数列{anl一an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)设b∈Z,若aa2a3a2m4<b对m∈N恒成立，求b的最小值. 19.(17分) 已知函数f(x)=(m+1)sinx-xcosx,xe[O,π]. (1)当m=0时，求f(x)的值域： (2)若f(x)存在唯一的极值且为极小值，求m的取值范围： (3)设n∈R,若存在m∈(-∞，0)使得m≤V2((x)-n)对x∈[0，恒成立，求n的最 大值。 三明一中2025-2026学年上学期高三半期考 数学参考答案 一、单选题 A B C C D C D 二、多选题 AC AC BCD 三、填空题 12、22 13、1 14、-9 四、解答题 15、(13分) （1)证明：取PB中点记为F,连接EF,CF, 则F∥B,且EF-;cD∥B,且cD-方4B: 所以EF平行且等于CD,… 2分 所以四边形CDEF为平行四边形，所以DE∥CF,…3分 又因为CFC平面PBC,DE丈平面PBC,…5分 所以DE/平面PBC.…6分 (2)记AB中点为G,连接BD,DG, 第1页共8页 则四边形BCDG为正方形， ……7分 且根据勾股定理得BD=AD=√2…8分， 所以BD2+AD2=4=AB2, 则∠ADB=90°，所以AD⊥BD.… …9分 又因为AD⊥PD,BD∩PD=D,BD,PDC平面PDB,所以AD⊥平面PBD. 因为PBC平面PBD,所以AD⊥PB.…I1分 又因为PB2+AB2=8=PA2, 所以PB⊥AB,且AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD,…I2分 所以PB⊥平面ABCD.… …13分 16、(15分) （1)当a=2时，f(-=e-4x,则f(y=e-4.…2分 令f"(x)<0,得x<n2;令f'(x)>0,得x>n2.… …6分 所以函数f(x)的单调递减区间是(-o,n2),单调递增区间是(n2,+o). …7分 （2)证明：当a=0时，f()=之2-2e。 要证/+4e>2r+月，即证分+28-2x- 0, …8分 构建4()-+28-2x-x>0,则h()=e+2e-4 ，…9分 构建m(x)=e2+2e-4x(x>0),则m'(x)=2e2“+2e*-4=2(e-1)(e+2）>0.…11分 所以函数m(x)在(0，+∞)上单调递增，则m(x)>m(0)=3>0,即h(x)>0,…13分 可知函数h(x)在(0，+o)上单调递增，…14分 则h>h0)=0,即62+28-2x2->0.…15分 2 2 17、(15分) (1)由tanA+tanB= 2sin C sin Acos B+cos Asin B 2sin C …1分 cos B cos Acos B cos B 即sin Acos B+cos Asin B=2 sin CcosA,…2分 sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin(n-C)=sinC, …3分 所以SinC=2 sin CcosA, …4分 在△ABC中，么，C∈(0，元，sinC≠0，所以cosA=} …5分 则=写；…网 …6分 2)由4B=5,4C=8,4=骨 结合余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cosA=52+8-80x=49,…8分 所以BC=7,则cosB=4B2+BC2-AC21 …10分 2AB·BC 7 4y,m∠8cD=分os∠CD= (3)易知sinB=43 …12分 2 所以sin∠BDC=sin(π-B-∠DCB)=sin(B+∠DCB) =sin B cos∠DCB+cosBsin∠DCB=13 14, …13分 CB CD 由正弦定理得sin∠CDB sin B →CD=7×45x1=563 7x13= 13 …15分 14 18、(17分) 因a=+分 1 +2则a, 2-1+,n≥2， …1分 1 两武作差得a1-a,=2（a,-a, …2分 因4则4，+ 方4+-则-4 1 ≠0， 4 …3分 由递推关系可知，数列{a1-a,}各项均不为零，故1二=} an-a-2’ …4分 则数列{an1一an}是等比数列；… …5分 a)因0分则-1-，又4-1分 …7分 结合以上递推关系可知，数列a,-各项均不为零，故二= an-12’ …8分 故数列{a-1是以2为首项，2为公比的等比数列， …9分 则a-1,则a=+1: …10分 (3)由(2)可知，aa,4…am4 +周 +…+ 周+小-+. 因>0（八>0，则气会>1即大>则数列依，为递罐数列， …12分 下面求证：x+1<e*,x>0, 令g(x)=e-x-l,x>0,则g'(x)=e-1>0, 则g(x)在(0，+∞)上单调递增，则g(x)>g(0)=0,即e*-x-1>0,得证；13分 下面证2×-]因+小 因>0aeN,则+1e, [图-g小[③<e.r.- 坶 …14分 35>2,则2<L<e 6 故若a,a2a3…a2m4<b对meN恒成立，则b≥e, 又b∈Z,则b的最小值为3.… …15分 19、(17分) (1)当m=0时，由f(x)=sinx-,得f'(x)=cosx-[cosx+x(-sinx)]=xsix, 又x∈[0，]，x≥0，sinx20,所以f"(x)≥0， 故f(x)在[0，元单调递增. 又f(0)=sin0-0=0,f(x)=sinm-π×cosπ=元， 故f(x)在[0，元上的值域为[0，π.…3分 (2)由(1)可知m≠0： 依题意得：f'(x)=(1+m)cosx-[cosx+x(-sinx)]=xsinx+mcosx; (i)若m<0, xsinx≥0，mcosx>?0,此时f'(x)>0, 无极值、 当x[ 时，令(x)=f'(x)=xsinx+mcosx,得'(x)=(1-m)sinx+xcOSX. 由1-m>0.smr≥0，ox≥0，则(20，从而（在0，引 单调递增 又0-=0+<0，}受0， 由零点存在性定理可知，存在0引》 使得(6)=0. 从而当xe0x)f0,当e(飞引f0, f()在[0，)单调递减，在， 单调递增， 所以f()是f(x)在[0，上唯一的极值且为极小值，故m<0符合题意. (i)若m>0,x∈ (x)=0, 则'(x)= xsinx sinxcosx +xcosx+xsinx sinxcosx+x cOSX cosx cosx 第5页共8页 令p(x)=sinxcosx+x= Isin2x+x, 则9()=c2x+120,故p()在[径 单调递增， 所以p()2o)=0.即()20.所以()在（径 单调递增. 因为()=0，x→时，(x)→-0，所以(x)的值域为(-0,0 0 y=n5< 故当m>0时，-m=xtanx有唯一解xo, 且当x爱时，f八小0.f代单调递瑞： 当x∈(，时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 此时f心)在行x有唯一授大值点，不合愿意，放m>0舍去。 综上，m<0.… 10分 (3)解法一：由(2)可知，f(x)有且仅有一个极小值点x, 故f(x)mn=f(xo)=(m+1)sinx。-x.COSo· 因为∫'()=mcos+osin,=0,所以m=-名si, COSxo 由题鑫知，f钊上m+ 2m+n,可得了(x)nn=了x)=(m+)si。-COS。之2m -m+n, 、√2 osinx,+n, cosxo sinx。-xoc0sx,2- 2 cosxo 第6页共8页