精品解析：广东省深圳市福田区耀华实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年上学期九年级期中考试 数学试题 注意事项：1.本试卷共4页，共两部分，满分100分，考试时间90分钟． 2.答题前，请将班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损． 3.本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠． 4.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内． 5.考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：A． 2. 如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的周长，下列说法正确的是（　　）  A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形及平行四边形的性质，根据矩形及平行四边形的性质直接写出结论即可． 【详解】∵矩形木框挤压变成平行四边形后，木框每边的长度没变， ∴木框的周长不变． 故选：C． 3. 如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（ ）千米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可． 【详解】解：， ∴ 是公路的中点， ， ，两点间的距离为； 故选：B 4. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ） A. 每两次必有1次正面向上 B. 可能有5次正面向上 C. 必有5次正面向上 D. 不可能有10次正面向上 【答案】B 【解析】 【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可． 【详解】解：抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5， 那么掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，解题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． 5. 如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似中心，连接并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，可知交点为， ∴位似中心是， 故选：． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 7. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 8. 如图，正方形的边长为4，点分别在上，若,且，则的长为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把绕点C逆时针旋转90°得，此时E，B，F'三点共线，证明 得，设DF=x，在Rt中，由勾股定理列出x的方程求得x，再在Rt 中，由勾股定理得结果． 【详解】解： 正方形, 把绕点C逆时针旋转90°得， 此时E，B，三点共线，则，连接EF． ∴， ∵，∠ECF=45°， ∴ ∵CE=CE， ∴（SAS）， ∴． 在Rt中， ∴AE=AB-BE=2． 设DF=x，则AF=4-x． ∵ ∴， 在Rt中， ∴ 解得：． 在Rt中， ∴ 解得： 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键． 第二部分 非选择题 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 9. 已知关于的方程的一个根为3，则__． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程得：，即可解得． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的根及一元一次方程的解法是解本题的关键． 10 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，由，可设，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴可设，， ∴， 故答案为：． 11. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：， ， ， , 的高为,为,为, ， 故答案为： 12. 已知：如图，正方形中，点、、分别在、、边上，，，求的度数．______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键．过作交于，可证明，可得到，在中可求得，可求得答案． 【详解】解：如图，过作交于， 四边形为正方形， ，且， 在和中 ， ， 又， ， ． 故答案为：． 13. 在中，，边上的高是10，则的最小值为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的根的判别式，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，求出，，根据化简得，由可求出可得结论． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，如图， ∴，， ∵， 平方后得：， 化简得，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴的最小值为15． 故答案为：15 三、解答题：（本题共7小题，共61分．） 14. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得． 15. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明将“．立春”“．清明”“．雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）随机抽取一张邮票是“．雨水”的概率是 ． （2）随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式计算即可求解； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：随机抽取一张邮票是“．雨水”的概率是， 故答案为：； 小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的结果有种， ∴两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的概率为． 16. 在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，矩形的性质以及勾股定理．熟练掌握菱形的判定方法，矩形的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，结合，即可证明四边形是菱形； （2）在中，利用勾股定理求得，然后根据菱形的性质得到，再利用勾股定理在中，求得． 【小问1详解】 证明：由矩形可得， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在矩形中，，，， 在中，， 由（1）得四边形是菱形， ， ， 在中，． 17. 如图，已知四边形是矩形， （1）请用尺规作图法，分别在、边上求作点、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，，试求出（1）中所作菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交，于点E，F，则四边形为菱形；由是的垂直平分线得，，，再证和全等得，进而得，据此可判定四边形为菱形； （2）设菱形的边长为x，在中由勾股定理求出x即可．再根据． 【小问1详解】 解：连接，利用直尺和圆规作线段的垂直平分线交，于点E，F，则点E，F为所求．如图， 证明如下：设与交于点O， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点E，F为所求作的点． 小问2详解】 解：设菱形的边长为x， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴菱形的的边长为5， ∴ 【点睛】此题主要考查了基本尺规作图，菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等，解答此题的关键熟练掌握利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线的方法与步骤，理解四条边都相等的四边形是菱形． 18. 随着“绿色出行，低碳生活”理念普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）21万元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 19. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】（1） （2） （3）两个实数根分别是，4； 【解析】 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 【小问3详解】 解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 20. 对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”．如函数的对折函数为（如图1） （1）写出函数的对折函数； （2）若函数的对折函数与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，求的周长； （3）如图2，若函数的对折函数与轴交于点，点是上的动点，连接，将沿翻折得到交于点，且，则______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在上取两点，求出这两个点关于直线的对称点，利用待定系数法求出沿直线翻折后的函数解析式，即可求得函数的对折函数； （2）求出与y轴及x轴的交点，求出此图象与x轴交点关于直线的对称点，则可得到A、B、C的坐标，利用勾股定理可得答案； （3）过点G作于F，过点D作于H，过点A作于点M；由一次函数式可求得A、B的坐标，从而得，由勾股定理求得；再由对折函数得点C的坐标，，由可求得，进而由相似求得为G的坐标；再由折叠知，则可得，则有；设，则，由面积关系得，再由，得，则，由此得，由得关于a的方程，求得a的值，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，；当时，， 即函数的图象过点， 而关于直线的对称点为， 设经过的函数解析式为， 则，解得：， 即， ∴函数的对折函数为； 【小问2详解】 解：对于，当时，；当时，即，解得， 即函数的图象过点与， 点关于直线的对称点为， 由题意知，，如图 ∴，，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点G作于F，过点D作于H，过点A作于点M； 对于一次函数式，令，得；令，得， ∴， ∴， 由勾股定理得； 由对折函数得点C的坐标为，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴G的坐标为； 由折叠知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， 当时，， 此时，与矛盾，故不合题意，舍去， ∴， 此时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，待定系数法求一次函数的解析式，对称的性质等知识，理解新定义，利用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级期中考试 数学试题 注意事项：1.本试卷共4页，共两部分，满分100分，考试时间90分钟． 2.答题前，请将班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损． 3.本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠． 4.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内． 5.考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的周长，下列说法正确的是（　　）  A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不能确定 3. 如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（ ）千米 A. B. C. D. 4. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ） A 每两次必有1次正面向上 B. 可能有5次正面向上 C. 必有5次正面向上 D. 不可能有10次正面向上 5. 如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 7. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为4，点分别在上，若,且，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 9. 已知关于的方程的一个根为3，则__． 10. 若，则______． 11. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 12. 已知：如图，正方形中，点、、分别在、、边上，，，求的度数．______． 13. 在中，，边上的高是10，则的最小值为_______． 三、解答题：（本题共7小题，共61分．） 14. 解方程： （1）； （2） 15. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明将“．立春”“．清明”“．雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）随机抽取一张邮票是“．雨水”的概率是 ． （2）随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的概率． 16. 在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求线段的长． 17. 如图，已知四边形是矩形， （1）请用尺规作图法，分别在、边上求作点、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，，试求出（1）中所作菱形面积． 18. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 19. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 20. 对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”．如函数的对折函数为（如图1） （1）写出函数的对折函数； （2）若函数的对折函数与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，求的周长； （3）如图2，若函数的对折函数与轴交于点，点是上的动点，连接，将沿翻折得到交于点，且，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $