专题9 立体几何与空间向量(课件PPT)-【零起点考大学】2026年高考数学高效备考方案

08 专题九 立体几何与空间向量 考点1 简单几何体的表面积与体积 考点3 空间位置关系的判定 考点2 球的切接问题 考点4 空间角的计算 1 历年真题大数据 1.本章一般是两个客观题和一个解答题,分值约占22分.客观题一般考察球的切接问题、几何体的表面积或体积的问题. 2.解答题一般分两文,第一问考察位置关系的证明,第二问通常是求空间角.主要是建立空间直角坐标系,然后向量求解. 年份 考点 考查内容 2025 全国Ⅰ卷 空间位置关系 直线与平面垂直的判定 球的切接问题 四棱锥外接球问题 空间角的计算 异面直线所成的角的求解 全国Ⅱ卷 球的切接问题 几何体外接球问题 空间位置关系 直线与平面平行的判定 空间角的计算 两平面所成的角的求解 年份 考点 考查内容 2024 新课标Ⅰ卷 空间几何体的表面积与体积 圆锥的体积计算 空间位置关系 直线与平面平行的判定 空间角的计算 两平面所成的角的求解 新课标Ⅱ卷 空间几何体的表面积与体积 棱台的体积计算 空间位置关系 直线与直线垂直的判定 空间角的计算 两平面所成的角的求解 全国甲卷 空间几何体的表面积与体积 直线与平面平行的判定 空间位置关系 平面向量垂直、平行的坐标形式 空间角的计算 两平面所成的角的求解 考点1：简单几何体的表面积与体积 计算方法 1. 空间几何体体积的计算方法 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解. 考点1：简单几何体的表面积与体积 计算方法 1. 空间几何体体积的计算方法 (4)计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面,特别是轴截面,将空间问题转化为平面问题求解. (5)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题,即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高,通过将其顶点和底面进行转化,借助体积的不变性解决问题. 考点1：简单几何体的表面积与体积 计算方法 2. 空间几何体的表面积的计算方法 (1)计算棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积,可以分别求各面面积,再求和,对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式;圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算其侧面积时需将曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理. (2)有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题,这是解决立体几何问题常用的基本方法. 考点1：简单几何体的表面积与体积 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 应考核心知识 2．正棱柱、正棱锥的结构特征 (1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． 3.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环   旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图　 侧面积公式　 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 几何体　　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球 5．柱体、锥体、台体和球的表面积和体积 6.常用结论 (1)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系： S直观图=S原图形. (2)多面体的内切球与外接球常用结论. ①设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r=,外接球半径R=. ②设长方体的长，宽，高分别为a,b,c,则它的外接球半径R=. ③设正四面体的棱长为a,则它的高为H=,内切球半径r=H=外接球半径R=H=. 巩固训练 C 应考基础训练 A 应考基础训练 巩固训练 A 应考基础训练 巩固训练 B 应考基础训练 巩固训练 C 应考基础训练 巩固训练 A 应考基础训练 考点2：球的切接问题 应考核心知识 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解,其中公式使用频率非常高,考生一定要重视. (2)参考直线与圆章节公式和考点1. 考点3：空间位置关系的判定 1.平面及其基本性质(四个公理) (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 应考核心知识 2.空间直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a,b是两条异面直线,经过空间任一点o作直线a'//a,b'//b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或央角),范围：(0°,90°]. 2.空间直线与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 ①直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． ②平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． (2)唯一性定理 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ②过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 考点3：空间位置关系的判定 （3）直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) 考点3：空间位置关系的判定 证明线面平行问题的思路 ①直接应用判断定理证明 首先，作出所证线面平行中的平面内的一条直线. 然后，证明线线平行. 最后，根据线面平行的判定定理证明线面平行. ②转化为证平面与平面平行，在应用判定定理证明 第一步，在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面 第二步，利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行. 第三步，证明所作平面与所证平面平行. 第四步，转化为线面平行. （4）直线与平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 判定线面垂直的四种方法 ①利用线面垂直的判定定理. ②利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”. ③利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”. ④利用面面垂直的性质定理. （1）平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 4. 空间平面与平面的位置关系 判定面面平行的四种方法 ①利用定义，即判断两个平面有没有公共点. ②利用面面平行的判定定理. ③利用垂直于同一直线的平面平行. ④利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行. （2）平面与平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 4. 空间平面与平面的位置关系 面面垂直证明的两个思路 ①用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个面经过另一个面的一条垂线. ②利用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直二面角的问题. 巩固训练 D 应考基础训练 巩固训练 D 应考基础训练 巩固训练 BD 应考基础训练 考点4：空间角的计算 1. 空间向量及加减运算 (1) 基本概念 类似平面向量，我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，并把向量的大小叫做向量的长度或模. 模为0的向量叫做零向量，模为1的向量叫做单位向量，方向相同且模相等的向量称为相等向量，方向相反而模相等的向量称为相反向量. (2) 空间向量的加减运算 空间向量运算法则与平面向量相同，“三角形法则”和“平行四边形法则”均适用.空间向量的加法运算满足交换律和结合律： 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 应考核心知识 2. 空间向量的数乘、共线向量和共面向量 (1) 空间向量的数乘运算 类比平面向量，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个空间向量。称为向量的数乘运算.空间向量的数乘运算满足分配律和结合律： 分配律：λ(a+b)=λa+λb 结合律：λ(μa)=(λμ)a. (2) 平行(共线)向量 ①定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则称这些向量为平行向量或平行向量.a平行于b，记作a∥b. ②向量共线定理：若a与b共线的充要条件是存在唯一的非零实数，使得a=λb. (3)共面向量 ①定义：空间内平行于同一平面的向量，叫做共面向量 ②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则空间内第三条向量p与向量，共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使p=xa+yb. 3.空间向量的数量积运算 (1)空间向量的夹角 定义：对于两个非零向量a,b,在空间任取运动,作=a，=b,则把∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作<a,b>. (2)空间向量的数量积 对于空间内两个非零向量a,b,我们把a·bcos<a,b>叫做a，b的数量积，记作a·b. (3)空间向量的数量积性质 ①零向量与任何向量的数量积都为0. ②a·a=|a||a|cos<a,a>=|a|2. ③两个非零空间向量的夹角可由a，b的数量积来计算，计算式为cosθ=. ④对于任意空间向量，总有|a·b|≤lallbl，当且仅当a∥b时等号成立. 4.空间向量坐标运算 (1)空间向量的坐标 一个向量在空间直角坐标系坐标中的坐标等于这个向量的终点坐标减去起点坐标. (2)空间向量的坐标运算 设a，b为空间直角坐标系O-xyz中的两个向量，且a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，则 ①a的模长：|a|=. ②加法运算：a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) ③减法运算：a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2) ④数乘运算：λa=(λx1,λy1,λz1). ⑤数量积运算：a·b=x1x2+y1y2+z1z2. (3)空间向量的平行(共线） 设空间直角坐标系内两个向量,a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a∥b的充要条件是 x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R). (4)空间向量的垂直 设空间直角坐标系内两个向量,a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a⊥b的充要条件是 a·b=x1x2+y1y2+z1z2=0. (5)空间向量的夹角计算 设空间直角坐标系内两个向量,a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，则a，b的夹角的余弦值 cos<a,b>=. (6)空间向量任意两点距离 在空间坐标系中,已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2),则A，B两点的距离等于的模长，即dAB=||==. 知识拓展 空间向量加法的重要结论 ①空间向量的和向量的模满足 ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 上式中,当a,b同向时右边等号成立,当a，b反向时左边等号成立,当a,b中有零向量时有等号成立.当a，b不共线时,上式从几何意义方面可以理解成：三角形任意一边小于另两边之和,大于另两边之差. ②对几个空间向量求和时,可通过平移将它们转化为共起点或终点的向量，再用三角形法则或平行四边形法则进行运算. ③空间内,若干个首尾相接的向量可以构成一个封闭图形(不一定是平面图形)，它们的和等于零向量,即++++=0. $