精品解析：福建省厦门大学附属科技中学2025-2026学年高一上学期11月阶段测试数学试题

2025-2026学年（上）厦门大学附属科技中学高一11月阶段测试 数学试题 （考试时长：120分钟 满分：150分） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷第2-4页． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 下列函数既是奇函数又是增函数的是 A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数与的对应关系如下表． 0 1 1 2 3 1 3 2 0 1 则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 1 D. 4. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. 2 B. 8 C. D. 16 5. 已知，，，则三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 8. 已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数与的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 若，给出下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 为上的增函数 D. 为奇函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：____________． 13. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是__________. 14. 若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为_____________；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是_________________. 四、解答题：本大题共6小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合， （1）若时，求， （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数，且． （1）求，的值； （2）判断并证明函数在区间上的单调性. 17. 近年我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆． （1）根据以上数据，设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，试从①(且)；②两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式； （2）2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计每年传统能源汽车保有量下降2%，假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量． （参考数据:，，） 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）已知函数在上单调递增： ①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）： ②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围： （2）设函数，求在上的最小值． 19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由： （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）厦门大学附属科技中学高一11月阶段测试 数学试题 （考试时长：120分钟 满分：150分） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷第2-4页． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 下列函数既是奇函数又是增函数的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的才能符合条件，要从这两个方面进行判断，这两个方面可以借助于图象，也可以直接利用奇函数的定义和函数单调性的判定方法进行求解. 【详解】选项A中，设函数，，函数是偶函数，不符合题意； 选项B中，设函数，，则函数为非奇非偶函数，选项B不符合题意； 选项C中，函数的定义域为，则为非奇非偶函数，选项C不符合题意； 选项D中，是单调递增且满足，则是奇函数，符合条件. 故选D. 【点睛】本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性，注意它们的判定方法，属基础题. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式求得解集，表示出集合的元素，利用交集的定义，可得答案. 【详解】由，解得，则； 由，则. 故选：D. 3. 函数与的对应关系如下表． 0 1 1 2 3 1 3 2 0 1 则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图表代入对应的值，即可得到答案. 【详解】根据表格，，， 故选：A. 4. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. 2 B. 8 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由点求得函数解析式即可求解； 【详解】设， 则，解得：， 所以， 故选：A 5. 已知，，，则三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 6. 命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为命题“，不等式”为真命题，求出的取值范围，根据必要不充分判定选项即可. 【详解】命题“，不等式”为假命题， 则命题“，不等式”为真命题， 所以，解得， 所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为， 则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是， 故选：A 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合基本不等式，用“1的代换”即可求解. 【详解】，， 又， ， 当且仅当即，时等号成立. 故选：B． 8. 已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入点坐标求得的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将恒等变换为，最后利用函数单调性即可求解. 【详解】由题意知，解得，所以，即 ， 易得在上单调递增．因为，所以为奇函数． 又，故等价于， 则，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题. 解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数解析式将化成，其二，利用奇偶性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数与的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用指数函数的性质与一次函数的性质逐项判断可得结论. 【详解】对于A，当时，单调递增，与轴交于正半轴， 在上单调递增，故选项A符合题意． 对于B选项，由指数函数的图象可知，由一次函数的图象可知，则，故选项不符合题意． 对于C，当时，单调递减，与轴交于正半轴， 在上单调递减，C选项符合题意． 对于D选项，由一次函数图象可知，解得，则D选项不符合题意． 故选：AC. 10. 若，给出下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题知，再结合不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】由可知， 对于A，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，，，所以，故C错误； 对于D，由，两边同时乘以，所以， 两边同时乘以，所以，所以，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 为上的增函数 D. 为奇函数 【答案】BD 【解析】 【分析】A：通过赋值法先计算出的值，然后可计算出的值，根据可得结果；B：赋值法直接求得结果；C：根据得到，结合条件判断正负可得单调性；D：通过赋值可得，然后通过变形可判断是否为奇函数. 【详解】对于A：令，则，令，则， 令，则，故错误； 对于B：由A选项的计算可知，故正确； 对于C：，则，则， 因为，所以，又时，， 所以，所以， 所以为上的减函数，故错误； 对于D：令，则，则， 所以，所以，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数，故正确； 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用指数幂与对数的运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】由指数幂与对数的运算性质，可得： . 故答案为：. 13. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数的单调性结合分段函数的单调性和间断点的连续性列不等式可得. 【详解】因为当时，函数单调递减，且当时，； 当时，函数单调递减，且当时，. 由题意得，，解得 即实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为_____________；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是_________________. 【答案】 ①. ②. 且， 【解析】 【分析】根据的单调性，结合2次方膨胀区间的定义即可列方程求解空1，根据二次函数的单调性，分类讨论，结合4次方膨胀区间的定义，由二次方程根的分布即可求解空2. 【详解】设函数的2次方膨胀区间为， 由于函数为上的单调递增函数， 所以且，由于，解得， 故的2次方膨胀区间为， 由于为开口向上的二次函数，且对称轴为， 设存在4次方膨胀区为， 若，则为上的单调递减函数， 所以且， 相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去， 若，则为上的单调递增函数， 所以且， 因此是方程的两个不相等非负实数根， 令，则有两个不相等非负实数根， 记， 所以，解得且， 故答案为：，且， 【点睛】思路点睛：主要是利用函数满足的两个条件①和②，利用条件①，根据函数的单调性即可求解函数的值域，根据条件②列出满足的方程，结合二次方程根的分布，即可找到求解途径. 四、解答题：本大题共6小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合， （1）若时，求， （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据交集、补集和并集的概念可求出结果； （2）由得，再分类讨论是否为空集，根据子集关系列式可求出结果. 【小问1详解】 ∵，， ∴当时，则，所以， 或，又， 所以或. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴当时，则有，即，满足题意； 当时，则有，即， 可得，解得：. 综上所述，的范围为或. 16. 已知函数，且． （1）求，的值； （2）判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】（1），； （2）单调增，证明： 由（1）得，函数在单调递增 证明：任取， ∵， ∴，， ∴ 即，故函数在上单调增 【解析】 【分析】（1）根据已知条件即可求参数值；（2）利用定义法证明在上的单调性； 【详解】（1）因为，，又， ∴，由，， ∴，； （2）略 【点睛】本题考查了函数，根据已知函数值及不等关系求参数值，利用定义法证明函数的单调性，属于基础题. 17. 近年我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆． （1）根据以上数据，设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，试从①(且)；②两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式； （2）2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计每年传统能源汽车保有量下降2%，假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量． （参考数据:，，） 【答案】（1）应选函数模型是(且)； （2）2028年底 【解析】 【分析】（1）由于增长趋势知，增长快，应选函数模型是(且)，由待定系数法即可求得函数关系式； （2）设从2019年底起经过x年后传统能源汽车保有量为y辆，得出关系式，再得出新能源超过传统能源汽车的不等式，化简求解即可得到结果． 【小问1详解】 根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选函数模型是(且)， 由题意得，得，所以， 【小问2详解】 设从2019年底起经过x年后传统能源汽车保有量为y辆， 则有， 设从2019年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车， 则有， 化简得， 解得， 故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车． 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）已知函数在上单调递增： ①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）： ②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围： （2）设函数，求在上的最小值． 【答案】（1）①函数在上单调递增；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得到，得到方程，求出，根据函数的奇偶性和上的单调性，求出在上单调递增； ②根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出，根据根的判别式求解即可； （2）令，换元得到，，进而根据单调性求解即可. 【小问1详解】 ①函数在上单调递增，理由如下： ∵函数是定义在上的奇函数， ，即，解得， 此时，， 所以函数为奇函数，则. 因为在单调递增，又为奇函数， 故函数在上单调递增； ②函数在上单调递增，且为奇函数，则， 等价于 即 即， 即对任意恒成立， ，解得， 的取值范围是． 【小问2详解】 令，则， 当时，． ，， ， 二次函数开口向上，对称轴为， 在区间上单调递增， ， 即在上的最小值为． 19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由： （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）是，不是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据增长函数的定义进行验证即可； （2）将增长函数问题转换为不等式在区间恒成立问题进行解决即可； （3）作出的图象，然后利用函数平移求解． 【小问1详解】 是：因为，，； 不是，反例：当时，． 【小问2详解】 由题意得，对于恒成立， 等价于，即对恒成立， 令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数， 要保证对恒成立，则， 即， 解得， 所以满足题意的最小正整数为9． 【小问3详解】 根据题意， 当时，，当时，， 因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示： 所以， 若是R上的增长函数，则对任意的，都有， 因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：在解决对恒成立的问题时，利用了主参换位法，可以将看成关于单调递增的一次函数，即转化为对恒成立，这样求解方便快捷. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $