精品解析：陕西省榆林市2026届高三上学期第一次模拟测试数学试题

榆林市2026届高三第一次模拟测试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，若，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造函数，利用函数的单调性来分析的关系，进而确定 的取值范围. 【详解】解法1：由题意可知， 设，则函数在上单调递增． 又，所以，． 设，则，令得． 当时，；当时，． 因此在单调递减，在单调递增， 故，因此， 故选：B． 解法2：由题意可知， 设，则函数在单调递增． 又，所以，． 设，则，令得． 当时，；当时，． 因此在单调递减，在单调递增， 故，因此， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 2. 已知向量在向量上的投影向量为，则向量______.（写出满足条件的一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据投影向量的概念与平面向量的坐标运算即可得 的值，从而可得满足条件的一个. 【详解】向量在向量上的投影向量为 所以 ,则向量（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 3. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且． （1）求角 的值； （2）若 的面积为， 的平分线 交 于 ，求线段 的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得，进而求得 . （2）利用三角形的面积公式列方程，求得，再根据面积列方程，利用基本不等式求得 的最大值. 【小问1详解】 由正弦定理，及， 得，即， 由余弦定理得，，所以． 【小问2详解】 如图所示，因为，所以， 因为 为 的平分线，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，所以线段 的最大值为． 4. 已知函数，． （1）证明：在上单调递减； （2）记的最小值为，最大值为，数列的前 项积为． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）证明：因为， 当时，则，，可得， 且，则，即， 可得，所以函数在上单调递减. （2）（ⅰ），； （ⅱ）证明：若，由（i）可知：， 且符合上式，所以，则， 可得， 要证明，即证， 只需证， 构造，则， 当时，，可知函数在上递增， 则，即，可得，， 所以， 而是一个首项为1，公比为的等比数列的前 项和， 根据等比数列求和公式可得． 可得，且对数函数是单调递增函数，所以． 【解析】 【分析】（1）求导，结合三角函数性质分析可知，即可得单调性； （2）（i）利用诱导公式分析可知的对称轴和周期性，结合单调性可得和；（ⅱ）可得，构造函数，利用导数结合单调性可得，进而分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）若，则，即； 若，由（1）可知：在上单调递减， 且， 可知是一个周期为的周期函数， 又因为 可知关于对称， 则在处取到最小值，在 或处取到最大值， 可得， 综上所述：，． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林市2026届高三第一次模拟测试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，若，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 2. 已知向量在向量上的投影向量为，则向量______.（写出满足条件的一个即可） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 3. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且． （1）求角 的值； （2）若 的面积为， 的平分线 交 于 ，求线段 的最大值． 4. 已知函数，． （1）证明：在上单调递减； （2）记的最小值为，最大值为，数列的前 项积为． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $