精品解析：陕西省榆林市神木市第四中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学（理科）试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟试题 理科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡，上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 12 D. 24 4. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 若x，y满足约束条件，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，，则数列前6项的和为（ ）. A. 115 B. 118 C. 120 D. 128 8. 现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同，则这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为（　　） A. B. C. D. 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（ ） A B. C. 2 D. 3 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 曲线在处的切线方程为______． 14. 已知等差数列的前n项和为，若，，则__________． 15. 已知P为正方体表面上的动点，若，，则当DP取最小值时，三棱锥的体积为______． 16. 已知双曲线：（，）左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 的内角所对的边分别是，已知. (1)求； (2)若的面积为，，，求，. 18. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格： 用户一个月月租减免的费用x（元） 4 5 6 7 8 用户数量y（万人） 2 21 2.5 2.9 3.2 已知x与y线性相关. （1）求y关于x的经验回归方程（，）； （2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 19. 如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，平面平面. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 20. 在平面直角坐标系中，点到点与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若点是圆上的一点（不在坐标轴上），过点作曲线的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，且，求直线的方程. 21. 设函数，其中. (1)若直线与函数的图象在上只有一个交点，求的取值范围； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为(为参数，)，曲线的极坐标方程为. (1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2)设直线与曲线相交于两点，当变化时，求最小值. 23. 已知函数，． （1）当时，解不等式； （2）若对于时，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟试题 理科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡，上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简集合，再根据并集的定义计算可得. 【详解】由，可得， 所以，又， 所以． 故选：A． 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可求出，从而求出其模. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：B． 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律即可求解． 【详解】由， 所以． 故选：C． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据指数函数的单调性和对数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】∵，，， ∴． 故选：A. 5. 已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设点P的坐标为，， 根据抛物线的定义有，故的最小值为． 故选：B 6. 若x，y满足约束条件，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，求出最值后得范围． 【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线， 在直线中，是直线的纵截距，因此直线向上平移减小，向下平移增大． 平移直线，当它过点时，，当它过点时，， 所以的范围是． 故选：A． 7. 已知数列满足，且，，则数列前6项的和为（ ）. A. 115 B. 118 C. 120 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】由题干条件求得，得到，构造等比数列可得数列的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列前6项的和. 【详解】，则， 可得， 可化为， 有，得， 则数列前6项的和为. 故选：C 【点睛】本题考查由递推公式求数列通项公式以及求数列前n项和，属于基础题. 8. 现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择地方不同，则这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法求出两对情侣的所有选择方案为10种选择，这两对情侣都选在国外拍婚纱照包含的基本事件有3种，由此能求出这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率． 【详解】两对情侣的所有选择方案为： （巴黎、厦门），（巴黎、马尔代夫），（巴黎、三亚），（巴黎、泰国），（厦门，马尔代夫）， （厦门，三亚），（厦门，泰国），（马尔代夫，三亚），（马列尔代夫，泰国），（三亚，泰国）， 共有10种选择，这两对情侣都选在国外拍婚纱照包含的基本事件有： （巴黎、马尔代夫），（巴黎、泰国），（马列尔代夫，泰国），共3种， ∴这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率P＝． 故选B． 【点睛】本题考查概率的求法，考查概率、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．古典概型的公式，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可. 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而得到函数的解析式. 【详解】解：由图象可得，再根据，可得， 所以， 再根据五点法作图可得，求得， 故函数的解析式为. 故选：C. 10. 已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设圆的圆心为，即可得到圆的圆心的轨迹方程，求出点到直线的距离，即可得解. 【详解】设圆的圆心为，则，即圆的圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其中点到直线的距离， 则圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用三角恒等变形，化简为，再利用正切公式表示，即可求解. 【详解】，即，即，则. 故选：A. 12. 如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图，即可根据弧长公式可得，进而根据等面积法即可求解. 【详解】以为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图. 则从点A到点B的最短路径为线段，，所以. 过S作，则公路距山顶的最近距离为， 因为，所以， 故选:D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 曲线在处的切线方程为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程. 【详解】因为，则， 又，所以， 所以曲线在处的切线方程为． 故答案为： 14. 已知等差数列的前n项和为，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，，求出和，再由等差数列的通项公式求出. 【详解】设数列公差为d，由已知有，， 所以，，所以. 故答案为：. 15. 已知P为正方体表面上的动点，若，，则当DP取最小值时，三棱锥的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知得，得点P的轨迹是以为直径的球面与正方体表面的交线，为两段圆弧，根据圆的性质，取AB中点O，连接DO，当DP取最小值时，P为线段DO与半圆弧的交点，由此计算三棱锥体积即得． 【详解】∵，∴,∴点P的轨迹点P的轨迹是以为直径的球面与正方体表面的交线，是以AB为直径的两段半圆弧．取AB中点O，连接DO，当DP取最小值时，P为线段DO与半圆弧的交点． ，， ， ． 故答案为：． 16. 已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用双曲线的定义，从而可得，利用点到直线的距离公式可得，由题意可得，进而求出离心率. 【详解】由双曲线定义知，，则， ∴， 所以，过作双曲线一条渐近线的垂线垂足为，交右支于点， 此时最小，且最小值为， 易求焦点到渐近线的距离为，即， 所以，即，，可求离心率. 故答案为： 【点睛】本题考查了双曲线的定义以及双曲线的几何性质，属于基础题. 四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 的内角所对的边分别是，已知. (1)求； (2)若的面积为，，，求，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由正弦定理得 ；（2）由，再由余弦订立的得. 试题解析： （1）由已知 结合正弦定理得 所以 即，亦即 因为，所以. （2）由，，得，即， 又，得 所以，又，∴ 18. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格： 用户一个月月租减免的费用x（元） 4 5 6 7 8 用户数量y（万人） 2 2.1 2.5 2.9 3.2 已知x与y线性相关. （1）求y关于x的经验回归方程（，）； （2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2）5.10万人 【解析】 【分析】（1）分别求出，的值，再由公式可计算得，继而易得，从而得出答案； （2）代入（1）得到的回归方程即可得出结论. 【小问1详解】 由， ， 有， ， 故y关于x的经验回归方程为； 【小问2详解】 由（1）知经验回归方程为，当时，， 所以预测该月的用户数量为5.10万人 19. 如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，平面平面. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）见推证过程 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用面面垂直的性质定理可证平面，从而得到，再运用线面垂直的判定定理证明平面，得到； （2）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入公式计算可得二面角的余弦值． 【小问1详解】 证明：取中点，连接，，由题意，， 所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，从而， 同理可证，因此， 由于四边形为正方形，所以，又平面平面， 平面平面，平面 故平面，从而， 又，平面，平面 故平面，又平面，所以； 【小问2详解】 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则由题意可得，，，， 则，，设平面的法向量为， 则令，则可得 又则，，设平面的法向量为， 则令，则可得 故 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 20. 在平面直角坐标系中，点到点与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若点是圆上的一点（不在坐标轴上），过点作曲线的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的第二定义列出等式，整理即可得曲线的方程为； （2）设直线方程为并于椭圆方程联立，由直线与椭圆相切可得，同理可知是关于方程的两个根，可求得直线的方程为. 【小问1详解】 根据题意可得，即， 整理可得， 因此曲线的方程为； 【小问2详解】 如下图所示： 设，则， 又点不在坐标轴上，所以且； 因此直线的方程为，直线的方程为， 又直线与椭圆相切与点， 联立整理可得 可得，即， 整理可得， 又，可得； 直线与椭圆相切与点，同理可得， 所以是关于的一元二次方程的两个不同的实数根， 因此， 再由可得，即； 所以直线的斜率为， 因此直线的方程为. 【点睛】方法点睛：在求解直线与椭圆相切问题时，可联立直线和椭圆方程再利用判别式为0可得关系式，再由韦达定理可求得参数之间的关系，即可求得直线的斜率为，可得直线方程. 21. 设函数，其中. (1)若直线与函数的图象在上只有一个交点，求的取值范围； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 或；(2) ． 【解析】 【详解】试题分析：（1）研究函数的单调性和极值，找常函数和所研究函数的交点；（2）分段函数恒成立求参，分段求各段的最值，每段上的最值都． 解析：(1)当时，， 令时得； 令得，递增； 令得，递减， ∴在处取得极小值，且极小值为， ∵，， ∴由数形结合可得或. (2)当时，，，令得； 令得，递增； 令得，递减， ∴在处取得极小值，且极小值为， ∵，∴， ∵当即时，，∴，即，∴无解， 当即时，，∴，即，又，∴，综上，. 点睛：函数交点问题，研究函数的单调性找函数最值，求参；恒成立求参，对于分段函数来讲，分段讨论最值即可． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为(为参数，)，曲线的极坐标方程为. (1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2)设直线与曲线相交于两点，当变化时，求的最小值. 【答案】（1），；（2）8． 【解析】 【详解】试题分析：(1)利用平方关系消参化简直线的参数方程，利用，化简极坐标方程;(2)巧用韦达定理求的长度. 试题解析： (1)由消去得， 所以直线的普通方程为. 由得， 把，代入上式，得， 所以曲线的直角坐标方程为. (2)将直线的参数方程代入，得， 设两点对应参数分别是， 则，， 所以， 当时，的最小值为8. 23. 已知函数，． （1）当时，解不等式； （2）若对于时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）当时，不等式为，分三段，，分别讨论求解不等式； （2）当时，原问题转化为对于恒成立，由不等式的恒成立思想可得答案. 【详解】解：（1）当时，不等式为， 当时，，即，所以； 当时，，即，解得，∴； 当时，，即，所以； ∴不等式的解集为． （2）当时，即，即对于恒成立， 即对于恒成立，而当时，， ∴． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，由不等式恒成立求参数的范围，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$