精品解析：河南省2025-2026学年高三上学期期中联考数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 函数的值域为（ ） A. B. C D. 3. 已知为抛物线上一点，且点纵坐标为，则当变化时点到焦点的距离的最小值为（ ） A B. C. D. 4. 已知一组数据为2，4，6，5，m，4，3，则“”是“这组数据的中位数为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若复数的实部与虚部分别为，则数列的前100项和为（ ） A. 4900 B. 5000 C. 4950 D. 5050 6. 在正方体中，，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则整数的值共有（ ） A. 3个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 8. 设定义在上的函数满足且，则下列结论不可能成立的是（ ） A. 的极大值为 B. 函数为奇函数 C. 的极小值为 D. 在上单调递增 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，过点A作BC的垂线，垂足为H，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 现有一个圆锥的底面半径为，高为，一个圆柱的底面半径为，高为，则（ ） A. 圆柱的体积与圆锥的体积的比值大于 B. 圆柱母线长与圆锥的母线长的比值为 C. 圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值小于 D. 圆柱的外接球的体积与圆锥的外接球的体积相等 11. 已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，为上任意一点，且原点为的对称中心，则（ ） A B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 线段的中垂线不可能经过的顶点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________ 13. 若将本不同的文学杂志与本完全相同的《红楼梦》分给位同学，每位同学本，且每位同学至多得本《红楼梦》，则不同的分法共有__________种. 14. 在数列中，，，则__________，数列的前2n项和__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示，， （1）求的解析式； （2）若，求函数的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，且，，. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. （3）若二面角的余弦值为，求棱的长. 17. 一个箱子中装有标号为的个小球，这些小球除了标号不同，其他特征完全相同，现从这个箱子中有放回地取球若干次，每次抽取个小球. （1）若抽取次，求第次才取到号小球的概率； （2）若抽取次，求号小球至少被抽取次的概率； （3）若一旦抽到号小球就停止取球，在停止取球时抽取的总次数不大于的前提下，记停止取球时已取球的次数为，求的数学期望. 18. 已知双曲线的焦距为，且的焦点到渐近线的距离为. （1）求的方程. （2）设的右顶点为，直线与交于点（都异于点），且，证明：直线过定点. （3）若动直线过（2）中的定点，且与的左､右支分别交于点，与直线交于点，证明：. 19. 若函数的导函数在上单调递增，则称为全正凹函数.设函数，. （1）求的单调区间. （2）证明：与均为全正凹函数. （3）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得集合A，再根据交集运算即可. 【详解】因为， 所以， 所以该交集中元素最小值是4， 故选：D. 2. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，则，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，故， 所以， 因为二次函数在上为增函数，故当时，. 因此函数的值域为. 故选：A. 3. 已知为抛物线上一点，且点的纵坐标为，则当变化时点到焦点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点的坐标，利用抛物线的定义结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】将代入抛物线的方程得，即点，其中， 抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，点到焦点的距离的最小值为. 故选：B. 4. 已知一组数据为2，4，6，5，m，4，3，则“”是“这组数据的中位数为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】依次分析充分性和必要性即可得解. 【详解】“”，则题中数据从小到大排列为或，中位数均为4，充分性成立， “这组数据的中位数为4”，若，仍满足这组数据的中位数为4，必要性不成立， 所以“”是“这组数据的中位数为4”的充分不必要条件. 故选：A 5. 若复数的实部与虚部分别为，则数列的前100项和为（ ） A. 4900 B. 5000 C. 4950 D. 5050 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以数列前100项的和为. 故选：C. 6. 在正方体中，，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出关键平面的法向量，直接用向量的方法计算线面角可得. 【详解】设正方体的棱长为4，以D点为原点， 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.如图： 则， 由，所以E点是的一个四等分点（靠近点）， 所以，，. 因四边形是正方形，所以. 又因正方体是直棱柱，所以平面，平面，所以. 因为，，， 平面，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量. 所以. 所以与平面所成角的正弦为. 故选：D. 7. 若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则整数的值共有（ ） A. 3个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心到直线距离d，再由计算即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则由题或， 所以整数的值有，共6个. 故选：C 8. 设定义在上的函数满足且，则下列结论不可能成立的是（ ） A. 的极大值为 B. 函数为奇函数 C. 的极小值为 D. 在上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】取，利用极值与导数的关系可判断AC选项，利用函数的单调性与导数的关系可判断D选项；利用奇函数的定义可判断B选项. 【详解】对于A选项，不妨取，则， 此时，且，满足题意， 函数的定义域为，， 当时，；当时，. 所以函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时函数的极大值为，A有可能； 对于B选项，若函数为奇函数， 则，可得， 当时，由可得， 所以，可得，矛盾，B不可能； 对于C选项，可取，由A选项可知，函数的极小值为，C有可能； 对于D选项，可取，由A选项可知，函数在上单调递增，D有可能. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，过点A作BC的垂线，垂足为H，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可判断A项；利用等面积可判断B项；先判断，在直角三角形中，利用射影定理求出之长，即可判断C项；结合图形，通过向量线性运算将用表示即可判断D项. 【详解】对于A，由余弦定理，,即，故A正确； 对于B，由题意，的面积为，可得，故B正确； 对于C，由可知，在中，， 则由与相似，可得,则,故有，故C错误； 对于D，由C项已得，由图知，,故D正确. 故选：ABD. 10. 现有一个圆锥的底面半径为，高为，一个圆柱的底面半径为，高为，则（ ） A. 圆柱的体积与圆锥的体积的比值大于 B. 圆柱的母线长与圆锥的母线长的比值为 C. 圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值小于 D. 圆柱的外接球的体积与圆锥的外接球的体积相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用圆柱、圆锥的体积公式可判断A选项；求出圆柱、圆锥的母线长，可判断B选项；利用圆柱、圆锥的侧面积公式可判断C选项；求出圆柱、圆锥外接球半径长，可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 所以，A错； 对于B选项，圆柱的母线长为，圆锥的母线长为， 所以，B对； 对于C选项，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为， 所以， 因为，故，C对； 对于D选项，设圆柱的外接球半径为，则， 设圆锥的外接球半径为，则，解得，故，D对. 故选：BCD. 11. 已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，为上任意一点，且原点为的对称中心，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 线段的中垂线不可能经过的顶点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据曲线表示椭圆可得范围，分别讨论和的情况，根据长轴长为离心率的两倍可构造方程求得A正确；设，，，结合三角恒等变换和三角函数值域的知识可确定BC正误；将椭圆顶点坐标代入线段中垂线方程中，发现方程可以成立，则D错误. 【详解】对于A，由椭圆方程得：，，解得：且， 当时，，椭圆焦点在轴上，则其长轴长为，焦距为， 离心率，，解得：； 当时，，椭圆焦点在轴上，则其长轴长为，焦距为， 离心率，，整理可得：， 当时，，无解； 综上所述：，A正确； 对于B，由A知：椭圆， 设，，， （其中，）， 则当时，取得最小值，B错误； 对于C，， 则当或时，取得最大值，C正确； 对于D，，中点， 若不是椭圆顶点，则， 中垂线方程为：，即， 将代入方程得：，化简得：， 解得：或，又，， 中垂线可能经过椭圆顶点，D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________ 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算性质计算即可得解. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 若将本不同的文学杂志与本完全相同的《红楼梦》分给位同学，每位同学本，且每位同学至多得本《红楼梦》，则不同的分法共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】将本不同的文学杂志分为四组，每组数量分别为、、、，其中分得一本杂志的同学同时也将分配得到一本《红楼梦》，结合分步乘法计数原理可得答案. 【详解】将本不同的文学杂志分为四组，每组数量分别为、、、， 其中分得一本杂志的同学同时也将分配得到一本《红楼梦》， 所以不同的分法种数为种. 故答案为：. 14. 在数列中，，，则__________，数列的前2n项和__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用递推关系构造等比数列求出的通项公式；先求出，再根据各项的性质列出并化简． 【详解】， ， 又，， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， ，即； ， ． 故答案为：；． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示，， （1）求的解析式； （2）若，求函数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象得到，，再根据，即可得到的解析式. （2）根据（1）结合两角差余弦公式计算化简得出，再应用应用正弦函数图象求解即可 【小问1详解】 由图知：,， 所以. 因为，且， 所以，. 【小问2详解】 ， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是. 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，且，，. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. （3）若二面角的余弦值为，求棱的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用和线面平行的判定定理可证得结论； （2）根据线面垂直的判定可证得平面，由和面面垂直的判定定理可证得结论； （3）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用二面角的向量求法可构造方程求得的值. 【小问1详解】 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. 【小问2详解】 平面，平面，； ，，，，； 平面，，平面， ，平面， 平面，平面平面. 【小问3详解】 由（2）知：平面，，则两两互相垂直， 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：（舍）或， 棱的长为. 17. 一个箱子中装有标号为的个小球，这些小球除了标号不同，其他特征完全相同，现从这个箱子中有放回地取球若干次，每次抽取个小球. （1）若抽取次，求第次才取到号小球的概率； （2）若抽取次，求号小球至少被抽取次的概率； （3）若一旦抽到号小球就停止取球，在停止取球时抽取的总次数不大于的前提下，记停止取球时已取球的次数为，求的数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式直接求解即可； （2）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式求解即可； （3）分别计算出每个取值对应的概率，根据数学期望求解公式直接求解即可. 【小问1详解】 每次抽球抽到号小球的概率为，抽不到号小球的概率为， 记事件：“抽取次，第次才取到号小球”， 则 【小问2详解】 每次抽球抽到号小球的概率为，抽不到号小球的概率为， 记事件：“抽取次，号小球至少被抽取次”， ，. 【小问3详解】 由题意知：在停止取球时抽取的总次数不大于的前提下，所有可能的取值为， ；； ；； 的数学期望. 18. 已知双曲线的焦距为，且的焦点到渐近线的距离为. （1）求的方程. （2）设的右顶点为，直线与交于点（都异于点），且，证明：直线过定点. （3）若动直线过（2）中的定点，且与的左､右支分别交于点，与直线交于点，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用点到直线的距离公式，得到，再利用间的关系，求出，即可求解； （2）设，联立直线方程与双曲线方程得，利用根与系数间的关系得，再结合条件得，从而得或，即可求解； （3）分直线斜率为和不为两种情况，直线斜率为时，直接求出的坐标，即可求解，当斜率不为， 直线为，联立双曲线方程，利用根与系数间的关系得，即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为，即 由题有，又，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 设， 由，消得， 则， ， 因，，所以， 则，即， 所以，整理得到， 即，所以或， 当时，直线方程为，直线过点，不合题意， 当时，直线方程为，直线过定点. 【小问3详解】 由（2）知，设， 当时，，此时， 所以， 当时，设，由，消得， 则，且，所以， 因为 ， 所以，即. 19. 若函数的导函数在上单调递增，则称为全正凹函数.设函数，. （1）求的单调区间. （2）证明：与均为全正凹函数. （3）当时，证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数直接求函数的单调区间可得； （2）根据题中的定义用导数判断，利用导数的导数来判断正负可得； （3）先由对不等式进行放缩得，再由得只需证，再构造函数用导数证明可得. 【小问1详解】 因，所以函数的定义域为. 所以，因为与在均单调递增， 所以在单调递增，且，当，，单调递减； 当，，单调递增； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）可知在单调递增，所以为全正凹函数. 又，定义域为， ， 令，则， 因为，令，所以， 所以在单调递增，所以为全正凹函数. 故与均为全正凹函数. 【小问3详解】 当时，因为 ，且，所以，因此只需证. 即 ，则，所以，， 所以，所以，即，进而. 所以只需证明即可. 再令，所以， 令，则，令，则. 当时，当时，所以， 所以在上单调递增，且. 所以当时，，当时，，所以在单调递减，在上递增， ，即. 所以成立，进而原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $