精品解析：福建省莆田第八中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年上学期高二期中考试数学试卷 命题：胡云贵 审题：程金镇 一、单选题（每题5分） 1. 若，a，1依次成等差数列，则（ ） A. 1 B. 0或1 C. －2或1 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】因为，a，1依次成等差数列，所以，解得． 故选：A. 2. 已知直线与，则与之间的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过计算得出两直线的平行关系，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【详解】， 直线， 直线的方程即为，直线的方程为，，设两条平行线间的距离为， ． 故选：D． 3. 已知等差数列中， ，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得. 所以， 故选：A. 4. 在等比数列中，是方程的两根，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，由等比数列下标和性质可求得结果. 【详解】是方程的两根，， ，，或. 故选：C. 5. 已知数列中，且，则（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到数列是周期为的数列，结合，即可求解. 【详解】由题意知，数列满足且， 则， 所以数列是周期为的数列，则. 故选：A. 6. “为等比数列”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列定义逐一分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若为等比数列，则， 所以，即一定是等比数列，故必要性成立； 若为等比数列，则， 所以，即不一定是等比数列，故充分性不成立． 故“为等比数列”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B 7. 若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，所以，解得， 即r的取值范围是． 故选：B． 8. 已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定的定义求出点的轨迹并画出图形，结合圆的性质求出最大值. 【详解】设，由，得，因此点在以原点为圆心，1为半径的圆及内部， 设，由，得，点在以 为顶点的正方形及内部，当且仅当点与之一重合时，， 所以. 故选：D 二、多选题（每题6分） 9. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，....，第8个数是 D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的有（ ） A. 过点并且倾斜角为的直线方程为 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得直线方程判断A；利用直线斜率与在y轴上的截距可判断B；由直线的点斜式方程求得直线方程判断C；由直线的斜截式求得直线方程判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角为，所以该直线与横轴垂直，所以直线方程为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在y轴上的截距为5， 可得直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，故C正确； 对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知点，圆，动点满足，为坐标原点，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若过点的直线与圆相切于点，且，则 B. 若过点的直线与圆相切于点，则面积的最大值为 C. 若与圆仅有一个公共点，则 D. 若与圆有两个公共点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用轨迹方程求法中的直接法求出点的轨迹，对于选项AB，作出图象，数形结合可得答案；对于选项CD，利用两圆的位置关系可得答案. 【详解】已知点 ，，设点 ，满足 ， ，， 代入条件：， 两边平方得：， 整理：， ， 配方得：， 因此，点 的轨迹 是以 为圆心、半径 2 的圆. 圆 的方程为 ，圆心为 ，半径 . 对于选项 A：，圆心 ，距离 ， 切线长公式：， 代入 ：，故选项 A 正确； 对于选项 B： 中，（半径垂直于切线），所以是直角三角形，直角在 ， 的面积 ， 其中 ， 因此 ， 故 在 时取到最大值 .故选项 B 正确； 选项 C：圆：圆心 ，半径 ；圆 ：圆心 ，半径 ， 圆心距 ， 两圆相切（一个公共点）的条件： 或 ， 由，得或， 由，得（舍去）. 因此 或 ，故选项 C 错误； 选项 D：两圆有两个公共点的条件：。 ， 恒成立， 只需：，故选项 D 正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分） 12. 若方程表示圆，则m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程直接计算可得. 【详解】因为方程表示圆，即表示圆， 所以，解得或. 所以当时，方程表示圆心为，半径为的一个圆. 故答案为：. 13. 三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且 14. 已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出定点，再求出，结合图象可得. 【详解】直线恒过点， 则，， 直线为过点且与轴垂直的直线， 则直线从转到时，k的取值范围为， 直线从转到时，k的取值范围为， 则直线与线段PQ相交时k的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1） （2），的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值. 【小问1详解】 因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.已知直线， （1）经过点且与直线平行的直线； （2）经过点且与直线垂直的直线； （3）经过直线与的交点,且与坐标原点距离为1的直线； 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）设所求直线的方程为，求出即可； （2）设所求直线方程为，求出即可； （3）先求出交点坐标，再分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式即可得解； 【小问1详解】 设所求直线的方程为， 则有，解得， 所以所求直线方程为； 【小问2详解】 设所求直线方程为， 则有，解得， 所以所求直线方程为； 【小问3详解】 联立，解得， 即直线与的交点为， 当所求直线的斜率不存在时，所求直线方程为，符合题意； 当所求直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，所求直线方程为或. 17. 等比数列中，，且数列单调递增. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义与性质列方程计算即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q， 由题意得，解得， 因为单调递增，所以， 所以的通项公式为， 即； 【小问2详解】 因为，所以， 记，则， 所以， 即， 综上所述. 18. 已知圆的圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知斜率为1的直线与圆交于两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解圆的方程； （2）方法一：根据圆的方程和直线与圆的位置关系．结合两个向量垂直得到参数，进而得到直线方程； 方法二：根据直线与圆相交，结合线段的几何关系计算得到直线方程； 【小问1详解】 因为圆心在直线上，圆的圆心坐标为， 代入，得，解得． 所以圆的方程为． 【小问2详解】 方法一：设直线， 由消去，得． 所以． 所以， 因为以弦为直径的圆经过原点，所以， 所以，解得或． 把和分别代入，判别式均大于0，符合题意． 故直线的方程为或． 方法二：圆的方程为，其圆心为，半径． 设弦的中点为． 因为原点在圆内，所以与不重合，此时有，即有直线的斜率，即， 直线的方程为，将代入可得， 而，则． 又以弦为直径的圆经过坐标原点，所以，即，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故直线的方程为或． 19. 对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中 （1）若数列的通项公式，求的通项公式； （2）若数列的首项是1，且满足，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据及的通项公式直接计算可得； （2）由题得，进而得数列是首项为，公差为的等差数列，最后根据等差数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 依题意，且， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以． 所以，且，故是首项为，公差为的等差数列. 所以，所以数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二期中考试数学试卷 命题：胡云贵 审题：程金镇 一、单选题（每题5分） 1. 若，a，1依次成等差数列，则（ ） A. 1 B. 0或1 C. －2或1 D. 或1 2. 已知直线与，则与之间的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知等差数列中， ，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 15 4. 在等比数列中，是方程的两根，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知数列中，且，则（    ） A. B. 2 C. D. 6. “为等比数列”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（    ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，....，第8个数是 D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10. 下列说法正确的有（ ） A. 过点并且倾斜角为的直线方程为 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为 11. 已知点，圆，动点满足，为坐标原点，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若过点的直线与圆相切于点，且，则 B. 若过点的直线与圆相切于点，则面积的最大值为 C. 若与圆仅有一个公共点，则 D. 若与圆有两个公共点，则 三、填空题（每题5分） 12. 若方程表示圆，则m的取值范围为__________. 13. 三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 14. 已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为__________. 四、解答题 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.已知直线， （1）经过点且与直线平行的直线； （2）经过点且与直线垂直的直线； （3）经过直线与的交点,且与坐标原点距离为1的直线； 17. 等比数列中，，且数列单调递增. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 18. 已知圆的圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知斜率为1的直线与圆交于两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点，求的方程． 19. 对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中 （1）若数列的通项公式，求的通项公式； （2）若数列的首项是1，且满足，求数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $