专题24.7 正多边形和圆（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题24.7 正多边形和圆 目录 一． 知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】正多边形的概念 1 【知识点二】正多边形的重要元素 1 【题型1】正多边形的中心角 2 【题型2】正多边形的边数 2 【知识点三】正多边形的画法 边形是圆的外切正多边形. 3 【题型3】画正多边形并求值证明 4 【知识点四】正多边形的性质 5 【题型4】正多边形和圆综合 6 二. 同步练习 6 【基础巩固（16题）】 6 【能力提升（16题）】 10 1． 知识梳理与题型分类精析 【知识点一】正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 【要点提示】判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形（正方形是正多边形）. 【知识点二】正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　（1）正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　（2）正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　（3）正ｎ边形每个外角的度数是. 【题型1】正多边形的中心角　 【例题1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）正边形的边数变为原来的倍时，它的每个内角增加 ，每个中心角减少 ． 【变式2】（2025·安徽合肥·三模）如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【题型2】正多边形的边数　 【例题2】（福建省福州市九校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（2025·山东聊城·三模）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 【变式2】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形中，，则的值是 ． 【知识点三】正多边形的画法 边形是圆的外切正多边形. 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角（即等分顶点在圆心的周角）可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧（即作∠AOB的平分线交于 E） 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F（或C、B、D）是⊙O的3等分点。 　　同样，在图（3）中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 【题型3】画正多边形并求值证明　 【例题3】（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 六等分圆原理 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤： 分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆； 以的长为半径，在上顺次截取； 顺次连接，，，，，得到正六边形 任务； （1）根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（保留作图痕迹，不写作法）， （2）将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【知识点四】正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 【要点提示】（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 【题型4】正多边形和圆综合　 【例题4】（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ （1）如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） （2）若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正八边形的两条对角线、相交于点，的度数为 ． 【变式2】（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·期末）若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知正六边形的半径为4，则它的面积是（　　） A． B．12 C． D．24 4．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 5．（2025·山东济宁·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）已知正六边形的外接圆半径为3，则它的边长为 ． 8．（24-25八年级下·上海·期末）如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是 度． 9．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）圆内接正三角形的边心距与半径的比是 ． 10．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，是正五边形的外接圆，则 ． 11．（24-25九年级下·山东德州·阶段练习）如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心、以的长为半径画弧，分别交、的延长线于点F、G．连接、，则等于 ． 12．（24-25九年级下·浙江湖州·月考）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 14．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若正方形的边长为2，求线段的长． 15．（17-18九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）． （1）求的度数； （2）若的半径为8，求正方形的边长． 16．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形内接于，E是的中点，连接． （1）求∠E的度数． （2）求证：． （3）若，则点E到的距离为 ． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为，则这个正六边形的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江西宜春·开学考试）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 6．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（21-22九年级上·江苏苏州·阶段练习）圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为 ． 8．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为 ． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是一个正八边形，连接，则的度数为 ． 10．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图将的圆周6等分，则圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为 ． 11．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 正五边形内接，点F是的中点， 连接，交于点G， 则的度数是 ． 12．（2024·广东·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是 ． 三、解答题 13．（2023·山西太原·二模）如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）求的度数． 14．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． （1）求证：是的切线； （2）求以为边的圆内接正多边形的周长． 15．（2025·江西·模拟预测）如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； （2）如图2，作一个底角为的等腰三角形． 16．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.7 正多边形和圆 目录 一． 知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】正多边形的概念 1 【知识点二】正多边形的重要元素 1 【题型1】正多边形的中心角 2 【题型2】正多边形的边数 4 【知识点三】正多边形的画法 边形是圆的外切正多边形. 6 【题型3】画正多边形并求值证明 6 【知识点四】正多边形的性质 10 【题型4】正多边形和圆综合 10 二. 同步练习​ 13 【基础巩固（16题）】 13 【能力提升（16题）】 25 1． 知识梳理与题型分类精析 【知识点一】正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 【要点提示】判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形（正方形是正多边形）. 【知识点二】正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　（1）正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　（2）正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　（3）正ｎ边形每个外角的度数是. 【题型1】正多边形的中心角　 【例题1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【答案】45 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）正边形的边数变为原来的倍时，它的每个内角增加 ，每个中心角减少 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形外角、内角及中心角的计算方法，关键是知识的熟练应用． 分别计算出两个正多边形每个内角及中心角的度数，然后作差即可求得. 解：∵正边形的每个外角为， ∴每个内角为， ∵正边形的每个外角为， ∴正边形的每个内角为， ∴ ∵正边形的每个中心角为， 正边形的每个中心角为， ∴ 故答案是：，． 【变式2】（2025·安徽合肥·三模）如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接、、、，由题意可得，，，由圆周角定理计算得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图：连接、、、， 由题意可得：，，， ∴， ∴若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为， 故选：A． 【题型2】正多边形的边数　 【例题2】（福建省福州市九校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆；正多边形的中心角等于360°除以边数，因此已知中心角可求边数． 解：中心角，且中心角， ， ． 因此，边数为，对应选项D． 故选：D． 【变式1】（2025·山东聊城·三模）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到，于是得到结论． 解：如图，连接， ， ， 该正多边形的边数为， 故选C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形中，，则的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值． 解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 【知识点四】正多边形的画法 边形是圆的外切正多边形. 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角（即等分顶点在圆心的周角）可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧（即作∠AOB的平分线交于 E） 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F（或C、B、D）是⊙O的3等分点。 　　同样，在图（3）中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 【题型3】画正多边形并求值证明　 【例题3】（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 六等分圆原理 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤： 分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆； 以的长为半径，在上顺次截取； 顺次连接，，，，，得到正六边形 任务； （1）根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（保留作图痕迹，不写作法）， （2）将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查作图-旋转变换，正多边形与圆，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据题目要求作出图形即可； （2）由作图可知，可知，利用勾股定理可求，根据正六边形的性质可知是等边三角形，并且，所以可得点坐标为． 解：（1）解：如图，正六边形即为所求； （2）将正六边形绕点顺时针旋转，如下图所示，连接， 由作图可知， 则， ， 点的坐标为， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形，， ， 正六边形绕点顺时针旋转，此时点坐标为． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（2024九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点拨】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 【知识点四】正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 【要点提示】（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 【题型4】正多边形和圆综合　 【例题4】（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ （1）如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） （2）若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查作图复杂作图正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上任意取一点，以为圆心，为半径把六等分可得正六边形； （2）连接，，过点作于点证明是等边三角形，进而求出，根据勾股定理即可求出，问题得解． 解：（1）解：如图，六边形即为所求； 证明：由作图可得， ∴，， ∴， ∴六边形是圆内接正六边形； （2）解：连接，，过点作于点． ∵六边形是圆内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正八边形的两条对角线、相交于点，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，三角形的内角和定理，等边对等角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据正多边形的一个内角的度数的计算方法，求出的度数，等边对等角，求出的度数，根据三角形的内角和定理结合对顶角相等，即可得出结果． 解：∵正八边形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 【变式2】（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，连接，连接，交于点G，证明直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形，延长交小圆于点P，连接，易证，得到，此时，；延长交小圆于点P，同理可得． 解：根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动， 连接，连接，交于点G， ∵O为边长为2的正六边形的中心， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形， ∴，，， ∴，， 延长交小圆于点P，连接，则， 在和中， ∴ ∴，即， 此时，； 延长交小圆于点P，连接，同理可得， 此时，； 故选：B． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·期末）若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 解：∵内接正多边形的中心角为，且， ∴该正多边形的边数是20． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，由正六边形内接于，则，从而证明是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知正六边形的半径为4，则它的面积是（　　） A． B．12 C． D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形面积的计算，解决此题的关键把正六边形分成六个全等的等边三角形；根据正六边形的性质把六边形分成6个等边三角形，进而得到答案； 解：如图所示；正六边形，其中心为G，连接点G与各顶点，过G作于F， 由正六边形的性质可知：正六边形分成6个全等的等边三角形， ∵， ∴， 根据勾股定理可知：， ∴ ∴， 故选：C． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理得到，即可得到结论． 解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A． 5．（2025·山东济宁·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆是解题的关键；连接，由题意易得正八边形每段弧所对的圆心角为，，然后问题可求解． 解：连接，如图所示： 根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，可知：正八边形每段弧所对的圆心角为， ∴， ∴点位于点的北偏东的角度是； 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论． 解：点O 为正六边形的 中心， ， ， 为等边三角形， ， 过点作， ， ， ， ． 故选． 二、填空题 7．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）已知正六边形的外接圆半径为3，则它的边长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，由题意得正六边形的外接圆半径与边长构成等边三角形，据此即可求解． 解：如图所示： ∵正六边形的中心角为，即； ∵， ∴外接圆半径与边长构成等边三角形， ∴正六边形的边长为3． 故答案为：3 8．（24-25八年级下·上海·期末）如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是 度． 【答案】72 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题的关键． 根据正多边形的内角和求出其边数，即可求出这个正多边形的中心角的度数． 解：设这个正多边形的边数为n， 则，解得， 所以正五边形的中心角是． 故答案为：72． 9．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）圆内接正三角形的边心距与半径的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接正多边形的相关性质；先求出中心角，再根据等腰三角形的性质求出，再根据含的直角三角形的性质求解即可． 解：如图，为的内接正三角形， 过O作，连接，则， 为圆内接正三角形， ， ， ， ，即， 边心距与半径的比是， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，是正五边形的外接圆，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆周角定理和正五边形的性质．由正五边形的性质得出，然后根据圆周角定理即可求出答案． 解：连接， ∵是正五边形， ∴， ∴ 故答案为：． 11．（24-25九年级下·山东德州·阶段练习）如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心、以的长为半径画弧，分别交、的延长线于点F、G．连接、，则等于 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查圆周角的性质，正多边形的性质以及等腰三角形的性质．连接，根据正五边形的性质可得，，从而得到，然后根据圆周角定理解答即可． 解：如图，连接， ∵五边形为正五边形， ∴，， ∴， 同理， ∴， ∴． 故答案为： 12．（24-25九年级下·浙江湖州·月考）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，直角三角形的性质， 先画出图形，并作，可求出中心角，再根据“含直角三角形的性质”得，然后求出，即可得正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式得出答案. 解：是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，设的半径是2， 过点A作于点M， 在正十二边形中，， 在中，， ∴， ∴正十二边形的面积为， ∴， 解得， ∴的近似值为3. 故答案为：3. 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，中心角的含义． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可. （2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用中心角的含义：正边形的每个中心角都等于,进行计算即可解答． 解：（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为7. （2）解：由（1）可得该多边形是正七边形， 中心角的度数． 14．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若正方形的边长为2，求线段的长． 【答案】（1）为的切线．理由见分析；（2）线段的长为 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据折叠的性质得到，所以，于是可判断，所以，然后根据切线的判定方法可判断为的切线； （2）先由得到点O、、E共线，设，则，所以,然后利用勾股定理得到，从而可解方程即可． 解：（1）解：与相切． 理由如下： 四边形为正方形， ， 正方形沿折叠，使得点恰好落在上， ， ， 在和中， ， ， ， 为的半径， 为的切线： （2）由（1）得， ， 点O、、E共线， 设，则， ， 为的直径， ， ， 在中，， 解得 即线段的长为． 【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 15．（17-18九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）． （1）求的度数； （2）若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 解：（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 16．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形内接于，E是的中点，连接． （1）求∠E的度数． （2）求证：． （3）若，则点E到的距离为 ． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 解：（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为，则这个正六边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先将正六边形分割成六个全等的正三角形，然后求出一个正三角形的面积，最后乘以得到正六边形的面积．本题主要考查了正六边形的性质以及正三角形面积的计算，熟练掌握正六边形可以分割成六个全等的正三角形是解题的关键． 解：∵正六边形的半径为 ∴正六边形可分成六个边长为的正三角形 令其中一个正三角形为，过作于点， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴一个正三角形的面积为 ∴正六边形的面积为 故选：C． 2．（25-26九年级上·江西宜春·开学考试）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点D的坐标即可． 解：边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，连接，如图，      ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由中，由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∵将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转， ∴4次一个循环， ∵， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同， ∵过点作轴于P， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标为， 故选：D． 3．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理和菱形面积的计算，连接，令与交于点，则，，，，有为等边三角形，即可求得，和，结合面积公式即可求得四边形的面积． 解：如图，连接，令与交于点， 则，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形为菱形， ∴四边形的面积是， 故选：D． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质，平行线间的距离相等．解题的关键在于正确作出辅助线确定阴影部分面积． 如图，连接，，，交点为，设与的距离为，根据正六边形的性质以及平行线间距离相等可得则，进而可求，同理可求的值，计算求解即可． 解：如图，连接，，，交点为， 由正六边形可得，即，， 设与的距离为， 则， ∵， ∴， 同理可得， ∴空白部分的面积为， 故选：B． 5．（2025·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为，再根据圆周角与是否成整数倍来判断，即可得边数． 解：如图， ∵， ∴正九边形的每一个内角都为，每一个内角都为， 当以为重合边时，延长交于点O， 则， ∴， ∵，不是整数倍， ∴不能形成一个圆环状； 当以为重合边时，延长交于点， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 当以为重合边时，延长交于点，延长交延长线于点N， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 综上，的取值可以是，， 故选：B． 6．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 7．（21-22九年级上·江苏苏州·阶段练习）圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，中心角等知识点，熟练掌握圆与正多边形相关性质是解题的关键． 连接，交于点，先求出，，设，则为等腰直角三角形，由勾股定理可求，由求出的面积，再乘以8即为圆的内接正八边形的面积． 解：如图，连接，交于点， 由题意得，， ∵， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得， 解得：（舍负）， ∴， ∴圆的内接正八边形的面积为， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了圆周角定理、圆与正多边形，熟练掌握圆与正多边形的性质是解题关键．连接，先得出是这个正多边形的外接圆，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 解：如图，连接， ∵点为正多边形的中心， ∴是这个正多边形的外接圆， 由圆周角定理得：， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是一个正八边形，连接，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了正多边形与圆及圆周角性质，熟练掌握正多边形与圆及圆周角性质是解题的关键．作正八边形的外接圆，连接，先求出正八边形每条边所对的圆心角度数为，可得，再由圆周角性质可得出答案． 解：如图，作正八边形的外接圆，连接， ∵正八边形每条边所对的圆心角度数为， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图将的圆周6等分，则圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的判定与性质等知识，连接、、、、，先判断六边形是的内接正六边形，则，根据中心角定义求出，则可求出，故A、O、E三点共线，即是的直径，同理可得是的直径，根据直径所对的圆周角是直角以及矩形的判定可得出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，即可求解． 解：连接、、、、，如图所示： 由题意知：A、B、C、E、F、G把分成六等分， ∴六边形是的内接正六边形， ∴，， ∴， ∴A、O、E三点共线，即是的直径， ∴， 同理是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 正五边形内接，点F是的中点， 连接，交于点G， 则的度数是 ． 【答案】/126度 【分析】此题考查了圆周角定理，正多边形和圆的性质，三角形内角和等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，，，，，首先根据多边形和圆的性质得到，然后根据圆周角定理得到，，最后利用三角形内角和定理求解即可． 解：如图所示，连接，，，， ∵正五边形内接， ∴ ∵点F是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 12．（2024·广东·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确正六边形的特点． 连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出即可． 解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：2． 三、解答题 13．（2023·山西太原·二模）如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）求的度数． 【答案】（1）,理由见分析；（2） 【分析】（1）连接，可得，根据切线的定义可得，即可得出结论． （2）根据正方形的性质可得，，，则．根据点F是的中点，可得．最后根据平行线的性质可得． 解：（1）解：． 理由：如图，连接， ∵正方形内接于， ∴． ∵与相切于点D， ∴，即． ∴， ∴． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点拨】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接正多边形的中心角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平行线的判定和性质． 14．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． （1）求证：是的切线； （2）求以为边的圆内接正多边形的周长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，根据三角形的内角和定理求得，即可证明； （2）根据，推得以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半求得，即可求解． 解：（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∵，，， ∴， ∴以为边的圆内接正六边形的周长为． 【点拨】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，圆内接正六边形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 15．（2025·江西·模拟预测）如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； （2）如图2，作一个底角为的等腰三角形． 【答案】（1）画图见分析；（2）画图见分析 【分析】（1）连接，，交于点，则即为所求作的三角形； （2）连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 解：（1）解：如图，连接，，交于点，则即为所求作的三角形； 理由：∵多边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴即为所求作的三角形； （2）解：如图，连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 理由：由（1）可得：，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∴是正五边形的对称轴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求作的等腰三角形， 同理可得：即为所求作的等腰三角形． 【点拨】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． 16．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 【答案】[探究发现]（1）；（2）或（3）；[应用结论]能，理由见分析 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理的应用； 【探究发现】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据等边三角形的性质，勾股定理求得高，进而根据面积公式，即可求解; （3）根据圆的面积公式，以及正六边形的性质分别求解，进而比较大小，即可求解； 【应用结论】根据【探究发现】可得圆面积最大，进而计算周长为的圆的面积，即可求解． 解：（1）∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故答案为：． （2）解：作于点， 是等边三角形，周长为，则， ， 在中，由勾股定理得：， ；    （3）∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∵正六边形的周长为，则边长为， ∴正六边形的面积为；    ∵、、、， ∴， 【应用结论】解：能，护栏网围成圆时，面积能达到； 根据【探究发现】可知，围成圆时，面积最大， ∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∴尽量围成圆时，简易羊圈场地面积能达到． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $