24.4弧长和扇形面积【十大考点+十大题型】-2025-2026学年人教版九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

24.4弧长和扇形面积 【考点归纳】 考点一：弧长公式的计算 考点二：扇形面积公式 考点三：圆锥的计算 考点四：求圆周侧面展开后的圆心角 考点五：最短路径问题 考点六：求图形旋转后扫过的面积问题 考点七：求弓形面积 考点八：求弧形运动路径长度 考点九：阴影面积的计算 考点十：弧长和 扇形面积综合 【知识梳理】 知识点点一．弧长公式、半径为R，圆心角为n°的弧长为 . 知识点二．扇形及扇形面积公式 （1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形 . （2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为 . 知识点三．圆锥与其侧面展开图 圆锥是由一个底面和一个 侧面围成的，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，弧长等于圆锥底面圆的周长. 知识点四．圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长（底面圆的周长）为，因此圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为. 【题型探究】 题型一：弧长公式的计算 【例1】．（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知圆弧所在的圆的半径为，所对的圆心角为．则该圆弧的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是弧长的计算，弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），熟记公式是解题的关键．利用弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：∵圆弧所在的圆的半径为，所对的圆心角为． ∴该圆弧的长度为， 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，为直径，点C，D分别在两侧，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角，邻补角，弧长公式，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出，得到，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，如图 ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解题的关键是正确添加辅助线，并熟知一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．连接，，根据是的直径，可得，再根据，，可得的值，然后求得，从而求出，再结合弧长公式进行列式，即可作答． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型二：扇形面积公式 【例2】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，四边形为菱形，点在以点为圆心的上，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查扇形面积的计算和菱形的相关知识，首先算出扇形的圆心角，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接， 四边形为菱形，点在以点为圆心的上， ， 三角形为正三角形， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径是解题的关键． 根据题意以及网格的特点求得，圆弧的半径为，进而根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上， ,， 扇形的面积． 故选D． 【变式1】．（2025·贵州安顺·三模）2017年6月，安顺市获得了“国家卫生城市”这一称号．如图1，这是一块“创建国家卫生城市”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示．若，AB的长为45cm，AD的长为15cm，则扇面（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式．根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积． 【详解】解：，， ，， ． 故选：C． 题型三：圆锥的计算 【例3】．（2024·广东·模拟预测）将如图所示的图形绕虚线所在直线旋转一周形成的几何体的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥体，扇形的面积，勾股定理，解题的关键是掌握扇形和弧长关系的面积公式． 利用勾股定理求出圆锥体的母线，利用扇形面积和弧长关系的公式进行求解即可． 【详解】解：该图形旋转一周得到的是圆锥体， ∴由勾股定理得出圆锥体的母线长为， ∴圆锥体的侧面积为， 故选：D． 【变式1】．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）小明将半径为4的圆沿着直径所在的直线剪成两个半圆，将其中的一个半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图、圆锥的高等知识点，弄清圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥的高满足勾股定理，据此求解即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为：， 圆锥的母线为4， 则高为， 故选：D． 【变式2】．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度为， ∴剩下的扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为， 故选：B． 题型四：求圆周侧面展开后的圆心角 【例4】．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角度数，勾股定理求出母线长，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的弧长，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， 设展开图的圆心角的度数为，则：， ∴；即：展开图的圆心角的度数为； 故选：C． 【变式1】．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 【变式2】．（2024·广西河池·三模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为cm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为cm， 由题意得：，解得：， 则，解得，即扇形的圆心角为， 故答案为：B． 题型五：最短路径问题 【例5】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【答案】 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ，又∵．，解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 【变式1】．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 【变式2】．（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．    【答案】 【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴圆锥的底面周长是， 则 ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是， 如图所示，    ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴在圆锥侧面展开图中， ∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是：， 故答案为：． 题型六：求图形旋转后扫过的面积问题 【例6】．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积、旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），设旋转后，点的对应点分别为点，则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，连接，先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，然后根据线段在旋转过程中扫过的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，设旋转后，点的对应点分别为点， 则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积， 连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为 ， 故选：A． 【变式1】．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积就是扫过的面积. 【详解】解：连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作, 扫过的面积为,及，围成的面积，即平行四边形的面积就是扫过的面积. 由旋转可知，， ， 是平行四边形， 中，， ， ， 故选A． 【变式2】．（2023·山东聊城·二模）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 题型七：求弓形面积 【例7】．（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，过点作于点，先证出是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    由题意可知，， ∴，∴是等边三角形， ∴， ∴，∴， 则图中阴影部分的面积为 ， 故选：A． 【变式1】．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型八：求弧形运动路径长度 【例8】．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可得，， 由旋转可得， 的长为：， 故选：B． 【变式1】．（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵底面是边长为的正方形， ∴对角线的长度为． ∵，半径． ∴点在地面划出的痕迹长． 【变式2】．（2025·安徽滁州·一模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 故选：C． 题型九：阴影面积的计算 【例9】．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴弧的长为，，， ∴ ． 故答案为：； 【变式1】．（25-26九年级上·北京·期中）如图，已知的内接为等边三角形，，点为的中点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得阴影部分的面积等于，利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴在中，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式2】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】结合已知条件求出的长度，然后根据E，利用平行四边形的性质及各图形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及扇形的面积公式，结合已知条件列得是解题的关键． 题型十：弧长和 扇形面积综合 【例10】．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ∵，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线； (2)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 【详解】（1）证明：连接， ∵直线与相切， ∴． ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）①解：设，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得； ②解：在中，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴阴影总分的面积为． 【变式2】．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ， 平分， ， ， ． ， ． 是半径， 是的切线； （2）解：①在中，， ∴，， 是的直径， ， 在中，，， ，即直径为4； ②， ， ， 是等边三角形， 的高为：， ． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长公式和扇形的弧长公式，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程即可求出扇形圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，母线的长为， 圆锥侧面展开图的扇形的弧长是， 圆锥底面圆的半径的长为， 圆锥底面圆的周长是， 由题意可得：， 解得：． 故选：D． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．直接使用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，半径为的中，的圆心角所对的弧长为 ：． 故选：C． 3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选：C． 4．（25-26九年级上·云南·阶段练习）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键是掌握：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：∵半径为，圆心角为的扇形纸板的弧长是：， ∴用这个扇形纸板做成的圆锥形生日帽的底面圆的周长是． 故选：A． 5．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，扇形的面积，先求出从9点到9点20分，分针转过的角度，再由扇形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：从9点到9点20分，分针转过的角度为， 故钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是， 故选：B． 6．（25-26九年级上·全国·期中）如图，等边三角形的边长为8，以边为直径作半圆，分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，利用等边三角形和圆的性质判定出与为等边三角形，从而判定出为等边三角形，利用勾股定理求出的长，即可求出的面积，再求出扇形的面积，即可求解． 【详解】如图，连接、，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴与为等边三角形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，垂径定理，扇形的面积公式，勾股定理，合理做出辅助线是解题的关键． 7．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 8．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算以及旋转的性质． 根据题意得出翻滚一周时点A经过的路线长，进而求出即可． 【详解】解：如图所示：    ∵，，， ∴， ∴翻滚一周时点A经过的路线长是：． 故选：C． 9．（2020·辽宁沈阳·二模）如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式． 连接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 10．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 11．（25-26九年级上·吉林长春·期中）钟面上分针的长为，经过，分针在钟面上扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积和角度计算，掌握知识点的应用是解题的关键. 根据分针小时（分钟）转周，扫过的面积是一个圆的面积，分针扫过的面积是圆面积的，根据圆的面积公式，把数据代入公式进行解答即可． 【详解】解：根据分针小时（分钟）转周，扫过的面积是一个圆的面积，分针扫过的面积是圆面积的， ∴分针在钟面上扫过的面积是， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河南安阳·期中）如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：四边形中，， ， 车轮的直径为26英寸，约， 需要的铁皮面积约是， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是半圆的直径，切线与弦的延长线交于点，，当时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键．连接，利用切线的性质和圆周角定理可求出圆心角的度数，最后再利用弧长公式即可求值． 【详解】解：如图， 连接， 是半圆的切线， ， ． ， ． ， ， ． 是半圆的直径， ， ， ， ． 即的长为． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角；若，，则扇面（阴影）部分的面积是 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用扇形面积公式，通过大扇形面积减去小扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】解：∵，， ∴ （）， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·广西南宁·期中）中国扇文化底蕴深厚，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无穷.如图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则折扇所在扇形的长为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据弧长公式计算，即，n为圆心角的度数，r为扇形的半径． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 16．（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，与相切于点，，分别交于点，，． (1)当时，求的长； (2)在（1）的条件下，，求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， 在和中， （）， ； （2）解：由（1）得， ，是直角三角形， 根据勾股定理，得， ， ， ， ． 17．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)记线段与线段BC的交点为G，则______°； (3)点C经过的路径长为______． 【详解】（1）解：作图如下： 即为所求； （2）解：在（1）的图形中，过作轴于、过作轴于，如图所示： ， ， ， ， 在中，，则， 在中，由三角形内角和定理可知， ； （3）解：∵，， ∴点C经过的路径长为， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，已知弦，相交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等弦对等弧即可证明； （2）连接，根据垂直的定义得到，则有，利用圆周角定理得到，则有，根据得到，最后利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， 又∵的半径为4， ∴． 19．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接，恰好使得． (1)求证：； (2)若，弧的长为，求弧与所围成部分的面积． 【详解】（1）证明：∵所对应的圆周角为和，同时， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵为的直径， ∴，即， ∴是等腰三角形底边的高，也是中线， ∴． （2）解：连接，如下图所示， ∵直径， ∴圆的半径， ∴， ∴圆心角， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴扇形的面积为， ∴弧与所围成部分的面积为扇形与面积之差，即． 答：弧与所围成部分的面积为． 20．（22-23九年级上·福建福州·月考）如图，C，D是以为直径的半圆上的两点，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到，根据得到，进而得到结论； （2）连接，根据所求的阴影部分面积与扇形的面积及的关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接交线段于点M． ∵°， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，平行线的判定，掌握定理以及扇形面积公式是解题的关键． 21．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【详解】（1） 证明：如图连接，则， ， 平分， ， ， ， 交的延长线于点， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）是的直径， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ． 22．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【答案】(1)是的切线，理由见解析 【详解】（1）证明：是的切线，理由： 连接， 与相切于点， ， 在和中， ，，， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（）可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ，， ． 23．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数； (3)若，求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：连接，，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， 平分， ，，； （3）解：，，，， ，，， ，， ， ， 扇形的面积，的面积， 阴影部分的面积扇形的面积的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.4弧长和扇形面积 【考点归纳】 考点一：弧长公式的计算 考点二：扇形面积公式 考点三：圆锥的计算 考点四：求圆周侧面展开后的圆心角 考点五：最短路径问题 考点六：求图形旋转后扫过的面积问题 考点七：求弓形面积 考点八：求弧形运动路径长度 考点九：阴影面积的计算 考点十：弧长和 扇形面积综合 【知识梳理】 知识点点一．弧长公式、半径为R，圆心角为n°的弧长为 . 知识点二．扇形及扇形面积公式 （1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形 . （2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为 . 知识点三．圆锥与其侧面展开图 圆锥是由一个底面和一个 侧面围成的，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，弧长等于圆锥底面圆的周长. 知识点四．圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长（底面圆的周长）为，因此圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为. 【题型探究】 题型一：弧长公式的计算 【例1】．（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知圆弧所在的圆的半径为，所对的圆心角为．则该圆弧的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，为直径，点C，D分别在两侧，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型二：扇形面积公式 【例2】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，四边形为菱形，点在以点为圆心的上，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·贵州安顺·三模）2017年6月，安顺市获得了“国家卫生城市”这一称号．如图1，这是一块“创建国家卫生城市”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示．若，AB的长为45cm，AD的长为15cm，则扇面（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 题型三：圆锥的计算 【例3】．（2024·广东·模拟预测）将如图所示的图形绕虚线所在直线旋转一周形成的几何体的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）小明将半径为4的圆沿着直径所在的直线剪成两个半圆，将其中的一个半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 题型四：求圆周侧面展开后的圆心角 【例4】．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2024·广西河池·三模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 题型五：最短路径问题 【例5】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【变式1】．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 【变式2】．（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．    题型六：求图形旋转后扫过的面积问题 【例6】．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（    ） A． B． C． D．9 【变式2】．（2023·山东聊城·二模）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 题型七：求弓形面积 【例7】．（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【变式1】．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型八：求弧形运动路径长度 【例8】．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·安徽滁州·一模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 题型九：阴影面积的计算 【例9】．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 【变式1】．（25-26九年级上·北京·期中）如图，已知的内接为等边三角形，，点为的中点，则阴影部分的面积为 ． 【变式2】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 题型十：弧长和 扇形面积综合 【例10】．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线； (2)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 【变式2】．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·云南·阶段练习）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是（　 ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·全国·期中）如图，等边三角形的边长为8，以边为直径作半圆，分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 9．（2020·辽宁沈阳·二模）如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26九年级上·吉林长春·期中）钟面上分针的长为，经过，分针在钟面上扫过的面积是 ． 12．（25-26九年级上·河南安阳·期中）如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是 ． 13．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是半圆的直径，切线与弦的延长线交于点，，当时，的长为 ． 14．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角；若，，则扇面（阴影）部分的面积是 ．（结果用表示） 15．（25-26九年级上·广西南宁·期中）中国扇文化底蕴深厚，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无穷.如图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则折扇所在扇形的长为 （结果保留） 三、解答题 16．（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，与相切于点，，分别交于点，，． (1)当时，求的长； (2)在（1）的条件下，，求阴影部分的面积． 17．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)记线段与线段BC的交点为G，则______°； (3)点C经过的路径长为______． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，已知弦，相交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 19．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接，恰好使得． (1)求证：； (2)若，弧的长为，求弧与所围成部分的面积． 20．（22-23九年级上·福建福州·月考）如图，C，D是以为直径的半圆上的两点，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 21．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 22．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 23．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数； (3)若，求图中阴影部分的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $