精品解析：陕西省宝鸡市某校2025-2026学年高二上学期第二次质量检测数学试卷

凤翔中学2025-2026学年度第一学期高二年级 第二次质量检测数学试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标. 【详解】圆，即， 所以圆心为. 故选：D 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为 B. 三点共线 C. 过两点的直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式以及截距式方程和两点式方程一一判断求解. 【详解】对A，当时，的斜率不存在，当时，的斜率为，A错误； 对B，因为 且共点，所以三点共线，B正确； 对C，当或时，不能用两点式方程表示，C错误； 对D，当在轴和轴上截距都相等且不为零时，设方程为， 因为直线经过点，所以，解得，则直线方程为， 当在轴和轴上截距都相等且为零时，设方程为， 因为直线经过点，所以，直线方程为， 所以满足条件的直线方程为或，D错误； 故选：B. 3. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率的取值范围，结合正切函数图象及性质求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为的斜率为，即， 由正切函数的图象及性质得， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 4. 如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解. 【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 5. 已知直线与垂直，则实数的值是（ ） A. 0或3 B. 3 C. 0或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出的值 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 故实数的值是. 故选：D. 6. 若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值. 【详解】圆的圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得， 故圆心坐标为. 故选：A. 7. 已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出的值. 【详解】因为，所以，解得，又，所以， 解得.所以. 故选：A. 8. 已知点在直线上，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将用表示，根据二次函数的性质即可得结果. 【详解】由点在直线上可知， ， 当时取得最小值5， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆：与圆：，下列说法正确的是（ ） A. 与的公切线恰有4条 B. 与相交弦的方程为 C. 与相交弦的弦长为 D. 若，分别是圆，上的动点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】判断出两圆的位置关系即可判断A，由两圆的方程作差，即可判断B，由圆的弦长公式即可判断C，由即可判断D. 【详解】对于A，由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，， 故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误； 对于B，做差可得与相交弦的方程为，故B正确； 对于C，到相交弦的距离为， 故相交弦的弦长为，故C错误； 对于D，若，分别是圆，上的动点， 因为， 则，故D正确. 故选：BD 10. 直线，圆，下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆必有两个交点 C. 直线与圆的相交弦长的最大值为 D. 当时，圆上存在3个点到直线距离等于1 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直线过定点的求解方法求出定点即可判断A；判断定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系；利用相交弦最长的是直径即可判断C；利用圆心到直线的距离为1，再结合图形即可判断D. 【详解】将直线的方程化为，令，解得，所以直线恒过定点，选项A正确； 圆的方程化为，圆心，半径2， 直线恒过定点到圆心的距离为， 所以定点在圆C内，故而直线与圆必有两个交点，所以选项B正确； 直线与圆的相交，相交弦最长的是直径，故而相交弦长的最大值为4，所以选项C错误； 当时，直线，圆心到直线的距离为1，如图所示， x轴与圆的两个交点O、B到直线的距离为1；又因为圆半径为2， 所以直线与圆的交点A到直线的距离为1，故而圆上存在3个点到直线距离等于1，选项D正确. 故选：ABD 11. 如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，明确各点的坐标和相关向量的坐标.用向量法证明线线垂直，判断A的真假；判断与平面的法向量的关系，判断B的真假；用向量法求二面角的大小，判断C的真假；用向量法求点到平面的距离判断D的真假. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对A：. ，A项正确； 对B：. 设为平面的一个法向量，则， 即，令，得，则， 因为，不在平面内，所以平面，则B项正确； 对C：由图可知，平面，所以是平面的一个法向量， 则， 故二面角的大小不是，所以C项不正确. 对D：由，所以点到平面的距离为，D项正确； 故选：ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 过点的圆的切线方程为 _________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 【详解】当切线的斜率不存在时， 切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意， 当切线的斜率存在时， 设过点的切线方程为，即， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 故答案为：或． 13. 直线：与直线：间的距离是______. 【答案】## 【解析】 【分析】由两平行直线间的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为直线：，即，直线：， 则两直线间的距离为. 故答案为： 14. 在平行六面体中，，，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】由题意可知， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在正方体中，E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】 （Ⅰ）如下图所示： 在正方体 中， 且，且， 且，所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面； （Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，两向量的夹角即可求出平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则、、、， ，， 设平面的法向量为， 由，得， 令，则，，则. 平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， . 因此，平面与平面夹角的余弦值. 【点睛】思路点睛： 解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为： （1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 16. 已知圆经过三点，，. （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般式，代入三个点的坐标，求出圆的方程； （2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由垂径定理得到方程，求出直线方程. 【小问1详解】 设圆的方程为， 将，，代入得 ，解得， 故圆的方程为； 【小问2详解】 ， 故圆的圆心为，半径为2， 当直线的斜率不存在时，，此时圆心到的距离， ，满足要求； 当直线的斜率存在时，设， 圆心到的距离， 由得，故，解得， 故直线的方程为，即， 故直线的方程为或. 17. 已知圆过点，且圆心在直线，圆． （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 【答案】（1） （2）直线方程为，公共弦长为 【解析】 【分析】（1）根据题意求出圆心和半径，即可写成圆的方程； （2）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，再由圆心到直线的距离和半径，利用勾股定理求出公共弦长． 【小问1详解】 由题意可设圆心， 则， 解得， 此时圆的半径为， 所以圆的标准方程为：； 【小问2详解】 将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即， 化简得， 所以圆的圆心到直线的距离为， 则， 解得， 所以所求公共弦长为． 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，公共弦长为 18. 已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中点. （1）求直线BD与直线PC所成角的余弦值； （2）求证：平面 （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值； （2）利用数量积坐标运算得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直； （3）利用点到平面距离向量公式直接计算即可. 【小问1详解】 以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系. 由题意，，，，，， 设直线BD与直线PC所成的角为， 因为，，所以， 所以直线BD与直线PC所成角的余弦值为； 【小问2详解】 因为，，， 所以，， 所以，又平面， 所以平面； 【小问3详解】 由（2）知，为平面的一个法向量， 设点到平面的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值， 由，得， 所以点到平面的距离为. 19. 设直线和直线的交点为. （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解； （2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可； 法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解. 【小问1详解】 由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； 【小问2详解】 法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤翔中学2025-2026学年度第一学期高二年级 第二次质量检测数学试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为 B. 三点共线 C. 过两点的直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 3. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与垂直，则实数的值是（ ） A. 0或3 B. 3 C. 0或 D. 6. 若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（    ） A. B. C. D. 7. 已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 8 8. 已知点在直线上，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆：与圆：，下列说法正确的是（ ） A. 与的公切线恰有4条 B. 与相交弦的方程为 C. 与相交弦的弦长为 D. 若，分别是圆，上的动点，则 10. 直线，圆，下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆必有两个交点 C. 直线与圆的相交弦长的最大值为 D. 当时，圆上存在3个点到直线距离等于1 11. 如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为2 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 过点的圆的切线方程为 _________________． 13. 直线：与直线：间的距离是______. 14. 在平行六面体中，，，，，则___________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在正方体中，E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知圆经过三点，，. （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 17. 已知圆过点，且圆心在直线，圆． （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 18. 已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中点. （1）求直线BD与直线PC所成角的余弦值； （2）求证：平面 （3）求点到平面的距离. 19. 设直线和直线的交点为. （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $