精品解析：广东省广州市育才中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025学年第一学期期中考试 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的互异性以及子集概念即可求出a的值． 【详解】由集合元素的互异性可知，又因为，所以a的取值只能是A中的元素，所以或． 故选：C． 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先判断充分性，即由能否推出，再判断必要性，即由能否推出，最后根据充分性和必要性的分析结果判断选项． 【详解】若，代入方程得，即能推出，充分性成立； 若，解方程，因式分解得，解得或，不能推出，必要性不成立． “”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 已知幂函数的图像过点，则（ ） A. 为增函数 B. 的值域为 C. 为奇函数 D. 的定义域为 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义先求出解析式，然后判断定义域、值域、单调性和奇偶性. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为该函数的图像经过点，代入得， 所以该幂函数的解析式为. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以A错误； 因为，所以的值域为，所以B正确； 很显然，且定义域关于原点对称，所以该函数为偶函数，所以C错误； 要使函数有意义，则，所以该函数的定义域为，所以D错误. 故选：B. 4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式求定义域，定义判断奇偶性并结合上函数值符号，应用排除法确定答案. 【详解】由解析式，有，即，故定义域为， ，即为奇函数，排除C、D； 当时，，即，排除B. 故选：A 5. 若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】因为 所以由指数函数为增函数知，， 由幂函数上单调递增可知，， 所以， 故选：A 6. 已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（ ） A 4 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由得，又，所以定点为，从而， ， 当且仅当时等号成立. 故选：C. 7. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以若，则，正确， 对于B，由得，所以，正确， 对于C，取，则，错误， 对于D，由，得，所以，正确， 故选：C 8. 设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，，和为方程的两个根，进而可得，结合的取值范围，可得，进而可得. 【详解】 如图，由题意可知，，， 和为方程即的两个根， 故，， 当时，，其对称轴为，故， 故，故，可得， ， 设， 则其对称轴为，故，因， 故， 故选：D 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列选项中正确的是（ ） A. B. 若命题，使有意义，则为假命题 C. 若，则满足条件的集合的个数为3 D. ，，，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由空集的定义即可判断；对于B，结合根式有意义的条件可判断命题的真假，从而判断的真假；对于C，根据子集的定义即可求出集合；对于D，利用并集的定义即可求解. 【详解】对于A项，因为空集中不含任何元素，故错误； 对于B项，当，即时，有意义，所以为真命题，所以为假命题，故正确； 对于C项，集合中必有元素1，且中至少有1个元素，至多3个元素，且除1外其他元素必从2，3中选取，即为集合的子集的个数，共有种情况，故错误； 对于D项，由于，所以，则的取值范围为，故正确． 故选：BD 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的解集得，结合含参一元一次及一元二次不等式的解法，判断各项的正误. 【详解】由题设，得，则，A、B对； 所以，故解集为，C错； 由，则， 所以，故不等式解集为，D对. 故选：ABD 11. 已知，，，则下列正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 最大值为8 D. 的最大值为6 【答案】ABC 【解析】 【分析】对选项A，根据得到，再解不等式即可判断A正确.对选项B，得到，再根据求解即可.对选项D，根据题意得到，从而得到，再解不等式即可.对选项C，得到，再结合D选项求解即可. 【详解】选项A，，，， 因为，所以，解得， 当且仅当时取等号. 所以，即的最大值为，故A正确. 对选项B，， 所以， 当且仅当时取等号，故B正确. 对选项D，， 即， 即， 解得，当且仅当，即时取等号. 故D错误. 对选项C，， 由D知：，即的最大值为8，故C正确. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=________． 【答案】4 【解析】 【分析】集合只有一个元素，分别讨论当和时对应的等价条件即可 【详解】解：中只有一个元素， 若，方程等价为，等式不成立，不满足条件． 若，则方程满足，即，解得或（舍去）． 故答案为：4 13. 求值：______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 分析】由分段函数单调性得到，求解即可. 【详解】由函数在上单调递增可得： ，解得：， 所以的取值范围为, 故答案为： 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分） 15. 已知全集，集合，集合是函数的定义域，且为非空集合． （1）分别求，． （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1），或. （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的交集，并集，补集运算求解即可； （2）是的必要不充分条件，所以⫋，建立不等式组求解即可. 【小问1详解】 由得， 则，， 所以，或， 所以或. 【小问2详解】 若是的必要不充分条件，所以⫋， 且为非空集合， 所以，所以解得， 所以的取值范围为. 16. 某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（） （2）当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【解析】 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本并结合分段函数表达式即可得到利润表达式； （2）利用二次函数性质和均值不等式分段研究利润最大值，并比较大小即可. 【小问1详解】 由题意可得当，时，； 当，时，； 所以（）． 【小问2详解】 当时，，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，因为， 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 17. 已知定义域是的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义法予以证明； （3）设，若关于不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在R上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，利用进行求解； （2）根据函数单调性的定义进行证明即可； （3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化． 【小问1详解】 由为定义在上奇函数，可知， 即，解得． 经检验，符合题意， 故； 【小问2详解】 由单调递增可知在上为增函数，证明如下： 对于任意实数，不妨设， ， 递增，且，，，， 故在上为增函数． 【小问3详解】 由为奇函数得：，等价于． 又由在上为增函数得：，即； 因为，所以．原问题转化为在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 的取值范围是． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，根据二次函数的性质求解即可； （2）根据“对任意，存在，使得”可得对任意，，即在上恒成立，再利用分离参数法求解即可. 【小问1详解】 当时，. 令，因为，则， 所以，其中，根据二次函数性质可知： 当时，；时，，即， 所以的值域为. 【小问2详解】 由，设， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故. 因为对任意，存在，使得， 则对任意，， 所以，在上恒成立， 即在上恒成立，故即可. 因为函数在上单调递增， 故， 所以，即实数的取值范围为. 19. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求的值域； （3）若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据函数图象过点可得，再根据，利用二次函数对称性可得； （2）分类讨论对称轴与的关系求函数最小值； （3）转化为方程方程有两个不相等的正实根的问题即可解决． 【小问1详解】 因为函数的图象过点，所以， 又因为，所以二次函数对称轴方程为，解得， 所以函数的解析式为：． 【小问2详解】 由（1）可知，， 分以下三种情形来讨论函数在上的最小值为： 情形一：当，即时，函数在上单调递减， 所以此时有； 情形二：当，即时，函数在上单调递减，在单调递增， 所以此时有； 情形三：当时，函数在上单调递增， 所以此时有． 综上所述：，其值域为. 【小问3详解】 因为函数有两个不相等的不动点，且， 所以令，即方程有两个不相等的正实根， 所以，即，所以． ， 因为，所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6. 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规；第二问的关键在于要分类讨论；第三问的关键是把问题转换为方程有两个不相等的正实根，列出等价条件求出的范围，进而结合韦达定理即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中考试 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或或1 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知幂函数的图像过点，则（ ） A. 为增函数 B. 的值域为 C. 为奇函数 D. 的定义域为 4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则最小值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 7. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C 若，则 D. 若，则 8. 设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列选项中正确是（ ） A. B. 若命题，使有意义，则为假命题 C. 若，则满足条件的集合的个数为3 D. ，，，则的取值范围为 10. 已知关于不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 已知，，，则下列正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 最大值为8 D. 的最大值为6 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12 若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=________． 13. 求值：______． 14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______． 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分） 15. 已知全集，集合，集合是函数的定义域，且为非空集合． （1）分别求，． （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 16. 某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知定义域是的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义法予以证明； （3）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 19. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求的值域； （3）若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $