第27章相似 单元同步达标测试题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如果，那么的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 2．下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．对应边成比例的两个四边形 3．若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（       ） A． B． C． D． 4． 如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，点D是的边上一点，，，如果的面积为4，那么的面积为（   ） A．16 B．12 C．8 D．6 6．如图，与相切于点A，的延长线与交于点C，若的半径为3，．弦的长为（   ） A．5 B． C． D． 7．如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．古代的数学著作《周髀算经》中阐述了“矩”的功能，其中“偃矩以望高”指把“矩”仰立放则可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 8．如图，与为直角三角形，，与相交于点，平分交于点，交于点．若，，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（满分24分） 9．已知线段a、b、c、d成比例，且，，，则线段d的长为 cm． 10．如果是线段的黄金分割点，，那么线段的长为 ． 11．如图，已知，如果，那么的长为 ． 12．图，在中，，平分交于点，则的面积与的面积之比为 ． 13．如图，小树在路灯的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 ． 14．如图，在中，，，，四边形是正方形，其中D、E分别在边、上，F、在上，则正方形的边长是 ． 15．如图，在边长为1的正方形网格中，四边形的顶点都在小正方形顶点的位置上，我们称这样的四边形叫做“格点四边形”．连接、相交于点，那么的面积等于 ． 16．如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论是 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，，点B、C分别在、上，且． (1)尺规作图：作的角平分线，与相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，①求证：．②若，求的长． 18．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么： (1)在运动过程中，的长度能否为?试说明理由； (2)当t为何值时，与相似？ 20．如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 21．已知：，AD与BC交于点E，过点E作，交BD于点F． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，求证：． 22．在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值： (3)如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 23．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了比例的性质．由可设，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故选：A． 2．B 【分析】考查相似图形的定义，解题的关键是掌握对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形． 根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个矩形，对应角相等，都是直角，但四条边不一定对应成比例，故本选项错误，不符合题意； B、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误，不符合题意； C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确，符合题意； D、对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等求出的度数，四边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：如图所示，两个四边形相似， ， 四边形的内角和等于， ． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，首先证明出两个三角形相似，由相似三角形的性质可以得到两个三角形的面积比，进而得到答案，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积是16， ∴， 故选：B 6．D 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 解得或（舍去）； ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7．C 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由已知证明，得到，代入已知数据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 8．B 【分析】利用角平分线的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质对每个选项的结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．故①正确； 过点作于点，如图， ∵平分交于点，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． 设，则， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴，故②的结论不正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．故③的结论正确； ∵，， ∴．故④的结论不正确． ∴正确的结论有①③． 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 9． 【分析】本题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．由四条线段、、、成比例，根据比例线段的定义列式即可求得的值． 【详解】解：∵四条线段，，，成比例， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键；因此此题可根据黄金分割比为进行求解即可． 【详解】解：∵是线段的黄金分割点， ∴, ∵， ∴； 故答案为． 11．5 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，因为，故，结合，所以，再进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：5． 12． 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即的面积与的面积之比为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由已知可得，进而根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 过点C作于点M，交于点N，首先由勾股定理得出的长，由面积法即可求出的长，可证得，再根据相似三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点C作于点M，交于点N， 中，，，， ， ， ∴， ∵正方形内接于， ，， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 15． 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，用到相似三角形的性质及判定，中线平分三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 取格点E，则，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，则， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为： 16．①③④ 【分析】证明，可得，可判断结论①；代入计算，可判断结论②；由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可推出，可判断结论③；证明，可判断结论④；即可得解． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴，故结论②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，故结论④正确， ∴正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，掌握正方形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 17．(1)见解析 (2)①见解析；②的长为5 【分析】本题考查了尺规作图（角平分线的作法）、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过角平分线定义和三角形内角和求出相等角，证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例计算线段长度． （1）以B为圆心画弧交、于两点，再分别以这两点为圆心画弧，两弧交于内部一点，过B与该点作射线交于D，保留作图痕迹；   （2）①先由三角形内角和求，再根据点B在上得，结合平分求，证明，加公共角可判定相似；②利用相似三角形对应边成比例求，再根据C、D在上得，计算得长． 【详解】（1）解：下图即为所求： （2）①证明：在中，，，   ∴；   ∵， ∴；   又∵平分， ∴；   ∴；   ∵，且，   ∴． ②解：∵，   ∴；   ，， ， ， ∴． 18．(1)旗杆的高度为6米 (2)小水坑F到小明的距离的长为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． （2）解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 19．(1)不能，见解析 (2)当或时，与相似． 【分析】（）由题意得，，则，在中，，得到，即，利用根的判别式判断即可； （）分两种情形讨论即可若时，若时两种情况，然后分别解方程即可； 本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：的长度不能为；理由如下： 由题意得，， ∴， 在中，， ∴， 化简得：， ∵， ∴原方程无实数根， ∴的长度不能为； （2）解：∵由题意得，， ∴， 若时， 则有，即， 整理得：， 解得：， ∴时，与相似； 若时， 则有，即， 解得：， ∴当时，与相似， 综上所述：当或时，与相似． 20．(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，，则，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设，则，，先证出，根据相似三角形的性质可得，，则，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，则可求出的值，即可得的长，最后在中，利用勾股定理可得直径的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴在中，， ∵为的直径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， ∴在中，， ∴的半径为． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）利用平行线的判定和性质求得，证明，，推出，，由，即可证明； （2）同理，，求得，变形即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质证出，得出则可得出结论； （2）证明，设，那么，，得出，求出，则可得出答案； （3）由题意画出图形，证明平行四边形为菱形，设，，求出得出，证明.设，那么.求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵过点作、的平行线交于点，交、于点、， ， ， ， ， ， 在平行四边形中，， ， 又， ， ，即， 又∵， ； （2） ∵如图，在平行四边形中， ∴平行四边形为长方形， ， ， 又，且， ， ∴此时有， 设，那么， ∴， ∵， ， ； （3）如图： ， ∴平行四边形为菱形， 设，， ， ， ∴， ， ， ， ， (负根已舍)， ， ， ， ， ， ∴设，则∠， ， ， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 23．(1)，点的坐标为； (2)或； (3)N；N 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式是，把二次函数整理成顶点坐标式，可得：，根据解析式可得点的坐标； （2）作点、三等分线段，根据平行线分线段成比例定理可知点、的横坐标是、，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式可得点、的坐标，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标； （3）设点的坐标是，作，延长交于点，过点作，利用相似三角形的性质可知，点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出的解析式，根据点在直线上，即可求出点的坐标；作，作，可证，利用勾股定理求出的长度，根据全等三角形的性质可知的长度，利用相似三角形的性质即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是； 把二次函数的解析整理，可得：， 抛物线的顶点的坐标为； （2）解：如下图所示，点、是线段的三等分点， 过点作，， 则， ， ， ， 点、的横坐标分别是、， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 当时，可得：， 点的坐标是，点的坐标是， 点和点在直线上， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或； （3）解：点的坐标或， 设点的坐标是， 如下图所示，作，延长交于点，过点作， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标是， ， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 整理得：， 解得：，(与点重合，舍去)， 当时，， 则， 点的坐标是； 如下图所示，作，作， 则， 当时，， 点的坐标是， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的横坐标是， 把代入， 可得：， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标或． 学科网（北京）股份有限公司 $