湖北省圆创教育联盟2025-2026学年高二上学期11月阶段性练习（期中）数学试题

2025年高二年级11月阶段练习 高二数学试卷参考答案与解析 题号 2 3 5 6 8 10 11 答案 B D C B C ABD BD ABC 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.【答案B 【详解】e=i(2-i)=1+2i,.x=1-2i. 2.【答案】D 【详解】对于A,截距相等且为0的直线不可以用方程乙十义=1表示，故错误； a 对于B,经过点P(2,1),倾斜角为0=90的直线方程不能写成y一1=tan0(x-2),故错误； 对于C,“a=2”是“直线l1:a.x十2y十a=0与l2:2x十ay-a=0互相平行”的充要条件； 对于D,当1≠x时，直线的斜率存在，直线方程为y一y=头（红一）， C2—x1 即(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0. 当x1=x2时，直线的斜率不存在，直线方程为x=x1, 此时满足方程(y2一y1)(x一x1)-(x2一x1)(y一y1)=0.所以D正确. 3.【答案C 【详解】从5个数字中随机抽取两个数字（不允许重复）一共有10种，若乘积为偶数，则一共有7种，所 以概率为品放选C 4.【答案】C 【详解】AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA:.|AC1?=(AB+AD+AA)2=AB+AD+ AA+2.A+2.Ad+2A.Ad=4+4-1+2×0+2×2×1×号+2×2X1×号-18. ∴.1AC1=√13 5.【答案】A 【详解】因为向量a,b满足a=2,b=1,a-b=2, 所以(a-b)2=a-b2=(a)2-2a·b+b)2-a2-2ab+b2=4,獬得a·b=号 2 所以口在多方涧上的投影向最是：治。号放适：入 高二数学试卷参考答案与解析第1页（共7页） 6.【答案】B 【详解】不同的观察角度所得到的样本空间也可以不同，A正确；考虑样本空间中一共含有：正正正，正 正反，正反正，反正正，正反反，反反正，反正反，反反反共8个样本点时，事件“至少2次正面朝上”与事 件“至少1次反面朝上”能同时发生，不是互斥事件，故B不正确；事件“至少1次正面朝上”与事件“3 次反面朝上~是对立事件，故C正确：事件~1次正面朝上2次反面朝上~发生的概率是P-音放D 正确. 7.【答案】A 【详解】取AC的中点D,如图. 因为AO=xAB十yAC,所以AO=xAB+2yAD, 因为x+2y=1,所以B,O,D三点共线， 法1：因为O是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC,设AD=DC= 1 m,则BD=√4-m,所以S△=2·2m·√4-m2=√m(4-m)≤ m+(4-m2)2 当且仅当m=√2时取得等号.故△ABC面积最大值为2.故答案为2，选A. 法2：Sr=号·AB·BC·sin∠ABC=号·2·2·sin∠ABC=2sn∠ABC<2,当且仅当 ∠ABC=罗取等，故△ABC面积最大值为2.故答案为2，选A. 8.【答案C 【详解】A中，，EF的长为定值，且Q点到EF的距离即为两平行直线A1B,与CD之间的距离也为定 值，∴.△QEF的面积为定值； B中，，△QEF的面积是定值.(，EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高 都是定值)， 再根据QEF平面也就是平面AB1CD,既然P和平面QEF都是固定的，.P到平面QEF的距离是 定值，∴.三棱锥的高也是定值，于是体积固定.∴.三棱锥P一QEF即三棱锥Q一PEF的体积是定值； C中，容易知道Q到平面PEF距离是定值（事实上即Q到平面PCD距离），而PQ长度在变化中，所 以直线PQ与平面PEF所成的角不是定值； D中，二面角P一EF一Q的平面角即是二面角P一CD一B1的平面角，而二面角P一CD一B1的两个 半平面均是固定平面，显然为定值，故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.【答案】ABD 【详解】对于A,根据空间向量共面定理可知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定 共面，A正确； 高二数学试卷参考答案与解析第2页（共7页） 对于B,由a,b)是钝角，可得a,b为非零向量，且cos(a,b)<0, 故a>0,b>0,所以a·b=a bcos(a,b)<0,B正确； 对于C,因为A店·m=(-1DX1+2×2+0X3=0,所以A店1m, 所以AB∥a或ABCa,故C错误； 对于D,以正方体为例，a,b,c是以顶点A出发的三条两两垂直的棱构成的一组不共面向量，则a十b, b十c,a十c可以看成是以点A出发的三条面对角线构成的一组向量，显然不共面，故选：ABD】 10.【答案】BD 【详解】选项A:在△ABC中，，π>A>B>0,由余弦函数的单调性知：cosA<cosB,A错误；选项B: 利用正定理bA=aB,代入AD一会哈得AD-号·根据中线性质，当斜边上中线等于朝边 一半时，△ABC为直角三角形，B正确：选项C:由中线长公式AD>号推得b2十c>a',仅能说明角 A为锐角，无法保证其它角为锐角，举反例：若a=2,b=3,c=4,AD>%,但角C为饨角，C错误；选 项D:由AD<?推得b2十c2<a2,根据余弦定理，cosA<0,角A为钝角，△ABC为钝角三角形，D正 确.故选：BD 11.【答案】ABC 【详解设椭圆的长半轴长为a,短半辅长为6，焦半距为c,则2ac0s专=4，得a=4.又6=2，则c2= 2一b2=三12，得c=23.所以椭圆的长半轴长等于4，离心率为)，当椭圆的焦点在x轴时，椭圆的标 准方程是后+学-1.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为4-《=4一2区，选AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.【答案】16元 【详解】因为球的表面积为16π，所以球的半径为2，因为该球内切于圆柱，所以圆柱的底面半径为2，高 为4，所以圆柱的体积V=16π. 13.【答案】3 【详解】由椭圆的对称性可知AB|=|CD,AF1=|DF2|,BF1=|CF2.设点A(x1,y1), B(x2,y2).所以AF1+CF2=|AB|,当直线AB的斜率不存在时，AF1+CF2取最小为3. 14.【答案】24 【详解】设A1y),B(xy),所以A,B是圆O:x2+y2=16上两点，S△=2x1y9一xy= 1 2OA1.in∠A0B=8∠AOB=2,所以OA⊥OB,记直线1：xty-8=0.过A作1的 高二数学试卷参考答案与解析第3页（共7页） 垂线，垂足为D,过B作l的垂线，垂足为F,设AB的中点为M,过M 作1的垂线，垂足为E,如图所示，x1十y1一8十x2十y2一8=2× zt-8+2xz+y一8 ,所以|x1十y1-8|+x2十y2-8| W12+1 W√1+1 表示的是A,B两点到直线x十y-8=0的距离之和的2倍，又|AD +|BF|=2ME,所以|x1+y1-8|+|x2十y2-8|=√2X xt-8+2x“:t8 ,表示的是M到直线x十y一8=0的 12+12 √12+12 距离的22倍，由于△AB0是直角三角形，所以OM=号AB=号×42=22，所以M在圆x2 十=8上运动，圆心为0,0)，半径为22，所以M到直线x十y-8=0的距离最大值为8十2 /1+1 √2=6√2，又6√2×2√2=24，所以|x1+y1-81+x2+y2-8的最大值是24.故答案为：24.（也可以 选择三角代换) 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 【详解】 (1)根据题意可知，(0.005+0.010+0.020+a+0.030+0.010)×10=1, 解得a=0.025…(3分) (2)因为(0.005+0.010+0.020)×10=0.35， (0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65, 所以样本数据的第59百分位数在[70,80)内， 可得70+0.59-0.35×10=78. 0.3 所以样本数据的第59百分位数为78分；…(7分) (3)样本数据落在[50,60)的个数为0.1×100=10， 落在[60,70)的个数为0.2×100=20， 10 20 x=10+20×52+10+20X64=60. 10 差2=10[6十（52-602十，20。[3+(64-60)=36.…13 16.(本小题15分) 【详解】 (1)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y+5=k(x+5),又圆的半径为r=4,则圆心C(一1,3) 高二数学试卷参考答案与解析第4页（共7页） 到直线l的距离为d= 14k6-81 W1十k, =,=4,解得。-故直线1的方程为y十5=（十5.即 3x一4y一5=0.当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=一5也成立；故所求直线的方程为 3x-4y-5=0或x=-5.…(7分) (2)由题意可知直线1的斜率k存在，故可设直线的方程为y十5=k(x十5)，则圆心C(一1,3)到直线 1的距离为d=6-8,则，产=4+(22)，即16=46-8》 十8，解得k1=1或k2=7.故所求直线 W√1+k 1+k2 的方程为x一y=0或7x一y十30=0… ……(15分) 17.(本小题15分) 【详解】 (1)因AD//BC,BC⊥CD,故AD⊥CD, 又AD-CD-号AB=4,且PA=AD,故AC=4E,AB=4E. 在直角梯形ABCD中，BC=√/(4√2)2-4+4=8， 由AB2+AC2=BC2可得AB⊥AC; 因平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PAC平面PAD, 则PA⊥平面ABCD,又ABC平面ABCD, 则PA⊥AB,又PA∩AC=A,因PA,ACC平面PAC, 故AB⊥平面PAC.…(6分) (2)如图，连接BD交AC于G,因为AD=CD= 2AB=4,BC⊥CD, 故AB=4√2，AC=√AD2+CD2=4√2， 故∠ABC=∠ACB=∠CAD=T, 4 则△ABC为等腰直角三角形，故BC=8, 又AD/BC,放2记则G为ED靠近D的三等分点， 又因为平面PBD∩平面ACM=GM,PB∥平面MAC,PBC平面PBD, 故PBGM,则M为PD靠近D的三等分点，…(8分) 以点A为坐标原点，分别以AB,AC,AP所在直线为x,y,x轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(4V2,0,0),C(0,4V2,0),P(0,0,4),D(-2√2,2√2,0)， 所以，BC=(-42,42,0),PC=(0,42,-4), 设平面PBC的一个法向量为m=(x1y1,1), BC·m=-4√2.x1十4W2y1=0 则 P元.m=42y1-4z1=0 高二数学试卷参考答案与解析第5页（共7页） 可取m=(1,1,W2),…(10分) 由PB,/平面MAC知：Di-D° 0i-Di-22.22=g.-2号》 3’ B …(11分)刘 故-=市成=(-222.0+号2=(y专丽=00… 3 33 AB·n=4W2x2=0 设平面ABM的一个法向量为n=(x2y2,这2)，则由 AM.n=- 42 42 4 3x2+ 3y2+32=0 可取n=(0,1,一√2)，… (13分) m·n1-23 故cosm,n)=m·n4·3 (14分) 6 故平面PBC与平面ABM夹角的余弦值为 (15分) 18.(本小题17分) 【详解】 (1)由题意4a=8,e= 2,可得 a=2 ,又b2=a2-c2=4-1=3, c=1 所以椭圆C的方程为+义 …(4分) 43 =1; 2法1：设Q(y)是椭圆上任意一点，则满足十1，T0, 41701=12+1-w)2=41-9）+1-2。+w2=-32-2+5= 30y+3)2+8≤ 23十4(yo∈[-3,3])，故TQ的最大值是3+1.…(10分) 法2：设Q(2cos0,√3sin0)是椭圆上任意一点， .|TQ12=-(sin0+√3)2+8≤23+4，当sin0=-1时取等， 故TQ的最大值是3十l.…(I0分) (3)由题，得直线斜率存在，由(1)知F2(1,0),设直线1的方程为y=k(x一1)， [y=k(x-1) 则联立 +,消去y,整理得3+4)x-8kx十4k-12=0,且△>0，…12 =1 8k2 4k2-12 设A(x1y),B(x2y2),则x十x23十4块2x1x2=3+4k2' (14分) 高二数学试卷参考答案与解析第6页（共7页） 又F2(1,0),P(0,-k),则PA=(x1y1十b),AF2=(1-x1,-y1), 由p-以A配得x1=-所以a1同理得入一g…（15分》 x1十 x2x1十x2一2.c1x2、 x1十x2一2x1x2 所以A+入，=十1户21-t)1-x)1-(x1+x2)+12 3+4622X462-12 8k2 3+4k2 8 8k2,4k2-12 一8，所以，十2：为定值8 …(17分) 1 3+4k2T3+4k2 19.(本小题17分) 【详解】 （)由asinA-sin=c(sinC-sinB)得a2-b2-c2-c,由余弦定理得cosA-+c-a2_1 2bc 2 0°<A<180°，.A=60°.…(5分) (2)如图：连接AO1、AO3.∠BAC=60°，因此∠O1AO3=120° 在△AO1O3中，O1O3=2·1·sin∠O1AO3=3,…(10分) (3)因为O1,O3分别是以AB,AC为边向外作的等边三角形的外心， 所以A0,-停.A0,- 又因为正△0,0,0：面积为7,3 129 所u·100,1,sn0-9o0,1-72语 12, 解得0,0.F-号，而∠BAC=60,因此∠0，A0,=120, 所以在△O1AO3中，由余弦定理得： 1O1O312=AO12+1AO312-2|AO1·|AO3|·cos∠O1AO3, 即子-名+写2·答(-》，因t6+:+-7 又因为△ABC中，A=60°，a=3, 所以由余弦定理得a2=b+c2-2 bc cosA,即b2十c2-bc=3, 因此bc=2,b2+c2=5,.b+c=/b2+c2+2bc=3, 因此△ABC的周长为3十√3. (17分) 高二数学试卷参考答案与解析第7页（共7页）2025年高二年级11月阶段练习 高二数学 本试卷共4页，19题。满分150分。考试用时120分钟。 ★权考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的 指定位置。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区战内。写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.若复数满足2二=1，其中：为虚数单位，则之为 A.1+2i B1-2i C.-1+2i D.-1-2i 2.下列说法正确的是 A截距相等的直线都可以用方程后+名-1表示 B经过点P(2,1),倾斜角为0的直线方程为y一1=tan0(x-2) C.“a=2”是“直线l1:ax十2y十a=0与直线l2:2x十ay一a=0平行”的充分不必要条件 1经过两点P1(x1y1),P2(x2y2)的直线方程为(y2一y1)(x一x1)一(x2一x1)(y-y1)=0 3.从数字1,2,3,4,5中随机抽取两个数字（不允许重复），则这两个数字的乘积是禺数的概率为 A品 B音 c品 D 4.在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且 AA1=1,则AC1的长为 A.√5 B.2√2 C.√13 D.√15 5.已知向量a,b满足|a|=2,b|=1,la一b|=2,则b在a方向上的投影向量是 A号 B. c.名 b D. 高二数学试卷第1页（共4页） 6.先后抛掷质地均匀的硬币3次，得到以下结论，其中错误的是 A.可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 B事件“至少2次正面朝上”与事件“至少1次反面朝上”是互斥事件 C.事件“至少1次正面朝上”与事件“3次反面朝上”是对立事件 D事件1次正面朝上2次反面朝上“发生的概率是号 7.在△ABC中，已知AB=2,点O为三角形的外接圆的圆心，若Aò=xAB+yAC(x,y∈R),且 x+2y=1,则△ABC的面积的最大值为 A.2 B.8 C.16 D.18 8.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B,C1D1中，P为A,D1的中点，Q 为A,B1上任意一点，E,F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面 D 的四个值中不为定值的是 A△QEF的面积 B三棱锥Q一PEF的体积 C直线PQ与平面PEF所成的角 D D.二面角P一EF一Q的大小 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.关于空间向量，以下说法正确的是 A空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B若两个非零向量a,b的夹角<a,b>是钝角，则a·b<0 C已知A店-(-1，分，0)，平面。的法向量为m=(1,23),则AB% D.已知向量组(a,b,c》是空间的一个基底，则(a十b,b十c,a十c〉也是空间的一个基底 10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为边BC的中点，则下列说法正确的是 A存在A>B,满足cosA>cosB 、B若AD-2哈则△ABC是直角三角形 C.若AD>受，则△ABC是锐角三角形 D.若AD<受，则△ABC是钝角三角形 1山.如图所示，用一个与圆柱底面成9(0<0<受)角的平面截圆柱，截面是一个椭圆，若圆柱的底面圆半 径为2.0=行，则 A.椭圆的长半轴长等于4 丑解圆的离心率为号 C椭圆的标雅方程可以是6十一人 D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为4一2√3 高二数学试卷第2页（共4页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.一个圆柱的内切球的表面积为16π，则这个圆柱的体积为 1以如图，桶圆C青+苦-1的左，右焦点分别为PF过点P: 分别作弦AB,CD.若AB∥CD,则|AF,I+ICF2|的最小值 为 0 14.已知实数x1x2y1y2满足x号+y=16,x+y?=16, |x1y2一x2y1=16,则|x1+y1一8|+|x2+y2-8|的最大值 是 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 荆州是楚文化发样地，出土大量青铜器与竹简。荆州市某学校为促进学生对楚文化的了解程度， 举办了“楚文化”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分 100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，·，[90,100]，并作出如图所示 的频率分布直方图， (1)求频率分布直方图中a的值； (2)样本数据的第59百分位数约为多少； (3)若落在[50,60)中的样本数据平均数是52，方差是6；落在[60,70)中的样本数据平均数是64，方 差是3，求这两组数据的总平均数工和方差a2 频率 组距 0.030 0.020 0.015 0.010 0.005 O 405060708090100分数 16.(本小题15分) 已知直线1经过点P(-5,-5),圆C:x2+y2+2x-6y-6=0. (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线L被圆C截得的弦长为4√2，求直线L的方程， 高二数学试卷第3页（共4页） 17.(本小题15分) 知平面四边形ABCD中，AD/BC,BC⊥CD,且AD=CD=?AB=4,以AD为腰作等腰 角三角形PAD,且PA=AD,将△PAD沿直线AD折起，使得平面PAD⊥平面ABCD. (1)证明：AB⊥平面PAC, (2)若M是线段PD上一点，且PB/平面MAC,求平面PBC与平面ABM夹角的余弦值. 18.(本小题17分) 知椭圆C:名+@>b>0)的左右焦点分别为E,E,点T(0,1D,过点F2的直线 椭圆于A,B两点，交y轴于P点，△F,AB的周长为8，椭圆的离心率为之 (1)求椭圆C的标准方程： (2)求点T到椭圆上点的距离的最大值： (3)设PA=λ1AF2,PB=λ2BF2,试判断入，十入2是否为定值？ 请说明理由， 19.(本小题17分) 法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构 造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在△ABC 中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sinA一bsinB=c(sinC-sinB),以AB,BC,AC为边向 外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1,O2,O3· (1)求A:. (2)若△AO1O3外接圆半径为1，求△O1O203的边长； (3若8=，△0,0,0，的面积为求△ABC的周长。 高二数学试卷第4页（共4页）