12.3等腰三角形（基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版 数学八年级上册

12.3等腰三角形 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 等腰三角形的判定 角平分线 新课探索 垂直平分线 讲义内容 等腰三角形的定义 等边对等角 三线合一 题型练习 等腰三角形的性质和判定 等边三角形的性质和判定 新 课 探 索 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的边也 相等 角平分线： 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定：到一个角两边距离相等的点在角平分线上 垂直平分线： ①性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ②判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂 直平分线上。 题 型 练 S 等腰三角形的定义 1.等腰三角形的一边长是8，周长是18，则此三角形的最短边长是() A.2 B.5 C.8 D.2或5 2.等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,则周长为() A.13cm B.17cm C.13cm或17cm D.11cm或17cm 3.已知等腰三角形的一边长为4，一边长为9，这个三角形的周长为() A.17 B.22 C.17或22 D.20 4.已知等腰三角形的两边长分别为5厘米和10厘米，则它的周长为() A.10厘米 B.20厘米 C.25厘米 D.20厘米或25厘米 边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是() A.18 B.19 C.23 D.19或23 等边对等角 6.如图，ABC为等腰三角形，AB=AC,点D是BC延长线上的一点，∠ACD=I00°， 则∠A的度数为() D A.60° B.50 C.20° D.40° 7.在ABC中，AB=AC,∠B=50°，则∠A的度数为() A.50 B.60° C.65° D.80 8.如图，在ABC中，AB=AC,AD,BE分别是ABC的中线和角平分线.若 ∠CAD=20°，则∠ABE的度数为() A.20° B.35° C.40° D.70° 9.等腰三角形的一个内角为50°，则它的底角度数是(). A.70° B.50 C.50°或65 D.50°或70° 10.如图，在Rt△ABC中，AD=ED,∠CDE=72°，则∠B的大小是() B E D C A.108° B.64° C.54° D.36 三线合一 11.如图，在等腰ABC中，AB=AC,中线AD与角平分线CE交于点F,∠CFD=55°， 则∠BAC的度数为() D A.25 B.40° C.45 D.55 12.如图，在ABC中，AB=AC,AD1BC,∠BAC=100°，∠BAD=() D A.40 B.45° C.50° D.55° 13.如图，△ABC的面积为12cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,则△PBC 的面积为() B A.9cm2 B.8cm2 C.7cm2 D.6cm2 14.下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是() A.等腰三角形两底角相等 B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 C.等腰三角形是轴对称图形 D.等腰三角形的对称轴为底边上的中线 15,如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，AD是BC边上的中线，则∠CAD的度数为() B D A.20° B.30° C.40° D.50° 等腰三角形的性质和判定 I6.如图，ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，点E在AC上，AE=DE.求证： (I)DE∥AB; (2)aCDE是等腰三角形. 17.已知：如图，∠B=∠C,BD=CE,AB=DC, (1)求证：ADE为等腰三角形 (2)若∠B=60°，判断ADE的形状并说明理由 18.如图，在ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,E为AB上一点，连接DE, DE∥BC,F是BD的中点，连接EF, D (I)求证：EB=ED; (2)若LABC=50°，求∠DEF的度数. 19.如图，AD=BC,AC=BD. D (1)若∠DAB=70°，∠ABD=40°，则∠C= (2)求证：△EAB是等腰三角形， 20.如图，在梯形ABCD中，∠C=∠D=90°，E是CD中点，AE平分∠BAD,求证： AB=AD+BC. 等边三角形的性质和判定 21.如图，已知△ABC≌△ADE. E (1)求证：∠1=∠2. (2)若AC=2,LACE=60°，连接CE,求CE的长 22.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：2CB=AB(用两种不同的 方法来证明) 23.己知：如图，△ABC中，AB=AC,点D为BC的中点，连接AD. (1)请你写出两个正确结论： (2)当∠B=60°时，还可以得出正确结论： 24.如图所示，己知ABC为等边三角形，点D为BC延长线的一点，CE平分∠ACD, CE=BD,求证：ADE是等边三角形. F A B D 25.如图，等边ABC中，DE∥BA分别交BC,AC于点D、E.求证：△CDE是等边三角 形 B D 12.3等腰三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的边也相等； 角平分线： 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定：到一个角两边距离相等的点在角平分线上 垂直平分线： ①性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ②判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 型 习 练 题 等腰三角形的定义 1．等腰三角形的一边长是，周长是，则此三角形的最短边长是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．分为为底和为腰两种情况，结合三角形三边关系，进行判断，即可求解． 【详解】解：等腰三角形周长为，一边长为， 当等腰三角形的底边长是，则腰长为； ∴等腰三角形的三边为，，，且，， 故该情况满足三角形的三边关系， ∴三角形的最短边长可以是． 当等腰三角形的腰长是，则底边长为； ∴等腰三角形的三边为，，，且，， 故该情况满足三角形的三边关系， ∴三角形的最短边长可以是． 因此，最短边长可能为或． 故选：D． 2．等腰三角形的两边长分别为和，则周长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质．在解题的过程中要注意三条线段能否构成三角形．根据等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：等腰三角形的两条腰相等， ①当腰为时，三角形的三边为：、、， ，不能构成三角形； ②当腰为时，三角形的三边为：、、， ，能构成三角形， 三角形的周长为：； 综上，该三角形的周长为． 故选：B． 3．已知等腰三角形的一边长为4，一边长为9，这个三角形的周长为（   ） A．17 B．22 C．17或22 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，等腰三角形有两边相等，需考虑两种可能情况，但必须满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边），由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为4，一边长为9， ∴当腰为4，底为9，则三边为4、4、9，此时4 + 4 = 8 < 9，不满足两边之和大于第三边，故不成立； 当腰为9，底为4，则三边为9、9、4，此时，，满足三边关系，故成立，此时周长为， 故选：B． 4．已知等腰三角形的两边长分别为5厘米和10厘米，则它的周长为（   ） A．10厘米 B．20厘米 C．25厘米 D．20厘米或25厘米 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想并验证三角形构成条件是解题的关键． 分腰为厘米和腰为厘米两种情况，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）检验能否构成三角形，进而求周长． 【详解】解：∵等腰三角形两边长分别为厘米和厘米， ∴可能情况：①腰为厘米，底为厘米；②腰为厘米，底为厘米． ①∵，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形． ②∵，，，均成立， ∴可以构成三角形，周长为（厘米）． 故选：． 5．已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分两种情况讨论：腰为5或腰为9，验证每种情况是否满足三角形三边关系，然后计算周长即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形两边长分别为5和9， ∴ 可能情况为：腰为5、底为9或腰为9、底为5， 当腰为5、底为9时，三边为5，5，9，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 当腰为9、底为5时，三边为9，9，5，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长为19或23． 故选：D 等边对等角 6．如图，为等腰三角形，，点是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 7．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，解题的关键是利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为计算顶角． 由可知为等腰三角形，与为底角且相等；先确定的度数，再根据三角形内角和定理求出，即可． 【详解】解：， 是等腰三角形，， 已知，则， 根据三角形内角和为，得． 故选：D． 8．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】解：是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 9．等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质（两底角相等）和三角形内角和定理（内角和为），需要分给定角是顶角或底角两种情况讨论． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为， 若这个角为顶角，则底角为：， 若这个角为底角，则另一个底角也为， ∴其一个底角的度数是或． 故选：C． 10．如图，在中，，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，直角三角形的性质．三角形的外角性质结合等边对等角求得，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 三线合一 11．如图，在等腰中，，中线与角平分线交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，是中线， ， ， ∵是角平分线，， ， ， ， 故选：B． 12．如图，在中，，，，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C． 13．如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的定义，关键是判定是等腰三角形．延长交于，由三角形内角和定理得到，推出，由等腰三角形的性质推出，即可得到的面积面积的一半． 【详解】解：如下图所示，延长交于， 平分， ， 于点， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：D． 14．下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（    ） A．等腰三角形两底角相等 B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 C．等腰三角形是轴对称图形 D．等腰三角形的对称轴为底边上的中线 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质逐一判断选项，注意对称轴是直线而非线段． 【详解】A、等腰三角形两底角相等，正确，不符合题意； B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，正确，不符合题意； C、等腰三角形是轴对称图形，正确，不符合题意； D、等腰三角形的对称轴为底边上的中线所在的直线，原说法错误，符合题意； 故选D． 15．如图，中，，，是边上的中线，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴平分， ∴， 故选：A． 等腰三角形的性质和判定 16．如图，中，，是边上的中线，点E在上，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，余角的性质，解题的关键是证明． （1）根据等腰三角形的性质，得出，，根据余角的性质得出，即可得出，根据平行线的判定得出答案即可； （2）根据，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． 17．已知：如图，，，， (1)求证：为等腰三角形． (2)若，判断的形状并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求证，得； （2）由，得，再结合三角形外角性质，得出，由（1）知，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，，． ∴， ∴， 即为等腰三角形； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴为等边三角形． 18．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质可得的度数，再由三线合一定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分 ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，F是的中点， ． 19．如图，，． (1)若，，则_________； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，三角形的全等证明是正确解答本题的关键． （1）先证明，再利用三角形内角和定理计算； （2）借助（1）中的全等三角形得到等角，进行判定． 【详解】（1）解：在和中， ， ， 在中，， ． （2）由（1）知，， ， 即， ， 是等腰三角形． 20．如图，在梯形中，是中点，平分，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．延长，交延长线于点F，证明，由全等三角形的性质可得，结合，即可证明，进而证明． 【详解】证明：如下图，延长，交延长线于点F， 是中点， ， ， ， ， ， ， ∵梯形， ， ， 平分， ， ， ， ． 等边三角形的性质和判定 21．如图，已知． (1)求证：． (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，可得，则，题目得证； （2）由，可得，而，则为等边三角形，则题目可解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 22．已知：如图，在中，，．求证：（用两种不同的方法来证明） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等角对等边，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． 方法一：在上截取，连接，可证明是等边三角形，得到，，则可证明，得到，据此可证明； 方法二：如图所示，延长到D使得，连接，证明，得到，再证明是等边三角形，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：方法一：如图，在上截取，连接， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 方法二：如图所示，延长到D使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 23．已知：如图，中，，点为的中点，连接． ​ (1)请你写出两个正确结论：________ (2)当时，还可以得出正确结论：________ 【答案】(1)， (2)是等边三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形“三线合一”的性质(等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线互相重合)，写出两个结论即可； （2）根据等边三角形的判定定理“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，可得是等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， 又∵点为的中点， ∴可得：， ∵是等腰底边 上的中线， ∴也是底边上的高， ∵已知点为的中点， ∴； 故答案为：①；②； （2）∵，， ∴是等边三角形． 故答案为：是等边三角形． 24．如图所示，已知为等边三角形，点为延长线的一点，平分，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出角相等或边相等的结论，以证明相关角的关系和三角形的形状．利用等边三角形的性质和角平分线的定义得到，再结合边相等，利用SAS判定即可得到，再利用等角减等角得到，即可判定为等边三角形． 【详解】证明：为等边三角形， ， 平分， ， 在和中， ， ， 即， ， 为等边三角形． 25．如图，等边中，分别交于点D、E．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是关键． 先由等边三角形的性质得到，然后根据平行线的性质得到，，从而证明是等边三角形． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $