专题10 巧构等腰三角形的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题10 巧构等腰三角形的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 压轴专练 类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 例1．已知：如图，为的外角平分线上的一点，，，求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判断与性质． （1）由可得，由平分得，从而，故可得结论； （2）根据证明即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ，， 为的外角平分线上的一点， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． 【变式1-1】如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)若，求的度数； (2)若是上的一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质可求出，根据角平分线的定义可得出，最后结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； （2）由角平分线的定义可得，结合平行线的性质可证，即得出，即易证，得出． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握上述知识是解题关键． 【变式1-2】（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 例2．如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线得．再根据平行线的性质得，进而．即可证明结论成立； （2）由等边对等角及平行线的性质得，，从而．由（）得，，从而． 【详解】（1）证明：证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（）得， ∴， ∴． 【变式2-1】综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及垂线的定义．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质． （1）通过已知条件证明和相等就能证明是等腰三角形； （2）由，F是的中点可得，再根据勾股定理求出，过A点作，再通过证明三角形全等得出． 【详解】（1）证明：， ． ， ，， ． 又， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作于点， 由（1）得， ∵， ． ，， ． 又为的中点， ． 在和中， ， ， ． 【变式2-2】（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 例3．【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（即点C为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点D在线段上，，，垂足为，与相交于点F．线段与的数量关系为______．（直接写出） 【答案】【问题情境】；【类比解答】；【拓展延伸】（1），证明见解析；（2） 【分析】问题情境：根据角平分线的性质得，垂直得性质得，结合，可利用证明； 类比解答：延长交于点F，由问题情境可知，由等腰三角形的性质得，结合三角形的外角性质即可得出结论； 拓展延伸：（1）延长、交于点F，利用证，有，结合问题情境可知，即可得出结论； （2）过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，可得和，进一步得，结合有和，利用可证得，有，即可证明． 【详解】问题情境： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； 类比解答： 延长交于点F，如图， 由问题情境可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 拓展延伸： （1），证明如下： 延长、交于点F，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由问题情境可知，， ∴； （2）过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 在和中 ∴， ∴， 则． 【变式3-1】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 例4．如图1，是的角平分线，，试探究线段，，之间的数量关系．小明的解题思路如下： ①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：________）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则________ 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为________． (1)请你补全小明的解题思路． (2)小明又想尝试其它方法：延长到点，使，连接．请你帮助小明，完成解答过程． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意作辅助线，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，证得，得到，等量代换即可证明． 【详解】（1）解：①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为； （2）证明：延长到点，使，连接．如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴． 【变式4-1】问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质得到，证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质证明； （3）在上截取，连接，证明，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由如下：在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 一、解答题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： (1)如图①，平分，，则； (2)如图②，，平分，则是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． （1）由角平分线的定义求得，由平行线的性质求得，推出 ，再根据等角对等边即可证明； （2）由平行线的性质求得，，再由角平分线的定义求得，推出，即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 2．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的知识． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和求出，根据平行线的性质得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，，进而计算即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题原型】 有这样一道问题：如图①，在中，为边上的中线，且． 求证：为等边三角形． 小聪同学的解决办法是：延长至点E，使，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题． 【解决问题】 请你利用小聪的办法解决此问题． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，解题关键是添加辅助线利用二倍角的条件构造等腰三角形；延长至点，使，连接，根据为边上的中线，且，可得出，再由，可得，，即可证明和全等，进而可证得结论． 【详解】解：如图②，延长至点，使，连接， 为边上的中线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）（1）观察发现：我们知道：“等腰三角形顶角平分线、底边上的高和中线三线合一”．猜想：如图1，在中，如果，，那么是等腰三角形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． （2）拓展应用：如图2，已知在中，，平分，．求证：． 【答案】（1）是等腰三角形，见解析；（2）见解析 【分析】（1）由于点D，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，则是等腰三角形； （2）延长交于点E，则，得，，， ，即可推导出，得，所以． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵于点D， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G． (1)求证：； (2)判断的数量关系，并说明理由； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明是等腰直角三角形，得出，再证明，即可得证； （2）由（1）得，，利用等腰三角形的性质得出，再由角平分及等量代换确定，得出，利用等角对等边即可得出结果； （3）连接，利用垂直平分线的性质得出，确定，再由等量代换及三角形外角的定义得出，再由等角对等边即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，， 又， ． ，， ∴． ． （2）解：由（1）得， ∵H是边的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵，H为中点， ∴为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ． 6．（24-25八年级下·福建泉州·期末）数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图①，在中，平分，求证：”阅读下面文字并补充证明过程． 李老师经过分析：要证，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法： 方法一：“截长法”，如图②，在上截取，连接； 方法二：“补短法”，如图③，延长至点，使，连接． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．方法一：先证明得出，，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据线段间的关系，即可得出答案；方法二：证明，得出，根据线段间的关系，即可得出答案． 【详解】方法一：证明：平分， ， 在和中，， ∴， ，， 又， ∴， 而， ， ， ， ∴； 方法二：证明：， ， ， ， ， 在和中，， ∴， ， ∴． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点移动的速度相同，与相交于点． (1)如图①，过点作，交于点．求证：； (2)如图②，过点作于点，在点从点向点（点不与点重合）移动的过程中，线段与的长度和是否保持不变？若保持不变，请直接写出线段与的长度和；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不变，4 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得，，且，运用角角边即可求证； （2）根据题意得到，，由此得到，即可求解． 【详解】（1）证明∶ ， ， ， ， ， ， 根据题意，可得， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点作交于点， 由（1）可知， 又， ∴， ∴， ∴线段与的长度和保持不变，． 8．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作于点． (1)如图1，若点是中点， 求证：①；②． (2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论； (3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)成立，见解析 (3)成立，见解析 【分析】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加适当的辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论； （2） 仍然成立，过点D作交AC于M，证明，可得结论； （3）结论仍然成立，过点D作交AC于M，证明，可得结论． 【详解】（1）证明：如图 ①∵为等边三角形， ∴， 又为中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴． （2）仍然成立，理由如下： 如图，过点D作交AC于M ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴． （3）的结论仍然成立，理由如下：如图为所求作图． 作交的延长线于， ∴ ∴为等边三角形， ，， 而， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（24-25八年级上·全国·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 由（1）得：， ∴， 即， ∵，垂足为D， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）；理由如下： 如图3：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 10．（25-26八年级上·全国·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 11．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边 ．边角边 ．角边角 ．斜边直角边 【方法总结】当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知 ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则的面积为___________． 【答案】知识背景：；方法应用：证明见解析；拓展： 【分析】知识背景：根据角平分线、垂直的条件，结合全等三角形判定定理判断的依据； 方法应用：利用角平分线及垂线段构造全等三角形，结合角度关系推导； 拓展：通过作辅助线，构造全等三角形，结合等腰直角三角形性质、三角形面积公式求解． 【详解】解：知识背景： ∵ 平分， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ （角边角）， 答案选C． 方法应用： 延长交于点， ∵ 平分，， ∴， ∴ ， ∴． ∴ ． 拓展：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 过点作于，过作于交的延长线于， ∵ ，，， ∴ ，是等腰直角三角形， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ （角角边）， ∴， ∵ ，，， ∴ ， 又∵ ， ∴ （角边角）， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定方法和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在中，，是的角平分线，点E在线段上，且，求证：． ①如图2，小喆同学选定两个目标三角形，分别为和，他在上复制粘贴，以B为圆心，长为半径作弧交于点F，从而构造出全等三角形． ②如图3，小刚同学在的基础上复制粘贴，以C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点G，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法，写出证明过程． 【类比分析】 （2）王老师发现之前两名同学都很好地利用全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，进行复制粘贴，从而画出辅助线构造出全等三角形，为了让同学们更熟练地掌握构造全等三角形的方法，王老师提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，点D在的外部，且是锐角，在直线的右侧，且与互补，与的延长线交于点F，．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，点D在边上，于F，点E在延长线上，连接，且，．猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．见解析 【分析】（1）若选择小喆同学的方法，证明，，即可得到，进而得证结论；若选择小刚同学的方法，证明，，即可得到，进而得证结论； （2）方法一：以为圆心，长为半径作弧，交于点，则，可推出，，根据， ，可得，从而证得，即可得证； 方法二：过作交的延长线于，证明，得到．根据， ，得到，进而得到，因此，即可得证； （3）在上取点，使，连接．过作于，以为圆心长为半径作弧交于点．连接，则．证明，得到，．由“三线合一”得到，由，得到，又，得到，证明， ，得到，得出，从而，从而得到． 【详解】解：（1）选择小喆同学的方法，证明如下： 以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则， ， ∴， 即． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 选择小刚同学的方法，证明如下： 以为圆心，长为半径作弧交延长线于，则， ∴， ， ． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：方法一：以为圆心，长为半径作弧，交于点，则， ∴， ∴，即． ， ． 与互补， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 方法二：过作交的延长线于， ， ，， ， ． 与互补， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ． （3）． 在上取点，使，连接．过作于，以为圆心长为半径作弧交于点．连接，则． ， ． ，， ． ，． ， ∴平分， ． ∵，， ， ∴． ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， 即． ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10巧构等腰三角形的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 类型二、过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 压轴专练 典例详解 类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分 线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总 结)。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 O 图1 图2 图3 条件：如图1，OO'平分∠MON,过OO的一点P作POON结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE‖BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作BC的平行线与AB,AC分别 相交于点M,N.结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 例1.已知：如图，E为ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC,BF=AE,求证： 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (I)ABC是等腰三角形； (2)∠BAF=∠ACE. 【变式1-1】如图，在ABC中，AB=AC,∠ABC的角平分线交AC于点D,过点A作AE∥BC交BD的 延长线于点E. E B (1)若∠E=38°，求∠BAC的度数； (2)若F是DE上的一点，且BD=EF,求证：AD=AF. 【变式1-2】(1)如图1，ABC中，AB≠AC,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC 交AB,AC于点E,F,图中有_个等腰三角形.猜想：EF与BE,CF之间有怎样的关系，并说明理由； (2)如图2，若AB=AC,其他条件不变，图中有_个等腰三角形；EF与BE,CF间的关系是-： (3)如图3，AB≠AC,若∠ABC的角平分线与ABC外角∠ACD的角平分线交于点O,过点O作 OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有-个等腰三角形.EF与BE,CF间的数量关系是一 图 图2 图3 类型二、过腰或底作平行线构造等腰（边三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图①（作腰的平行线）图②（作底的平行线） 条件：如图l,若AC=BC,过点D作D作DE/BC.结论：△ADE是等腰三角形 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DEAB.结论：△CDE是等腰三角形 例2.如图，BD是ABC的角平分线，DE∥BC,交AB于点E. D (I)求证：△DEB是等腰三角形. (2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由. 【变式2-1】综合与探究 如图，在ABC中，AB=AC,D为CA延长线上的一动点，且DE⊥BC,交AB于点F. E E 图1 图2 (1)如图1，求证：△ADF是等腰三角形 (2)如图2，当F为AB的中点时，DF与EF有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由. 【变式2-2】(1)如图1，ABC为等边三角形，动点D在边AB上，动点E在边AC上，若这两点分别从 点B,A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接CD,BE交于点P,则在动 点D,E的运动过程中，CD与BE之间的数量关系是 3/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 (2)如图2，若把(1)中的“动点D在边AB上，动点E在边AC上"改为“动点D在射线BA上运动，动点 E在射线AC上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由 (3)如图3，若把(1)中的“动点D在边AB上”改为“动点D在射线CB上运动”，连接DE,交AB于点M, 其他条件不变，则在动点D,E的运动过程中，DM与EM之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过 程. 类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC由“ASA”易得△ABD兰△ACD,从而 得AB=AC,BD=CD即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 例3.【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分LMON.点A为OM上一点，过点A作 AC⊥OP,垂足为C,延长AC交0N于点B,可根据证明△A0C≌△B0C,则A0=B0, AC=BC(即点C为AB的中点). 【类比解答】 如图2，在ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于E,若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述构造全等的 办法，可求得∠DAE=一 【拓展延伸】 (1)如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上， 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论. B E D M B 图1 图2 图3 (2)如图4， H8C巾，A份=C,∠B1C=90,点D在线段BC上，∠BD8=∠C,BE1DE,垂足 为E,DE与AB相交于点F.线段BE与FD的数量关系为·（直接写出） 图4 【变式3-1】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP平分∠MON·点A为OM上一点， 过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证得△A0C≌△B0C,则AO=B0,AC=BC. 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】 (1)如图②，在ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,若LEAC=63°，∠B=37°，通过上述构 造全等的办法，求∠DAE的度数； 【问题探究】 (2)如图③，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长 线上，试探究BE和CD的数量关系； 【问题解决】 (3)如图④是一块肥沃的土地ABC,其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形 土地△ADC进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD; ②再过点A作AD⊥CD交CD于点D 己知BC=13米，AC=10米，ABC面积为20平方米，求划出的△ACD的面积. 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形 D B B 图① 图② 图③ 条件：如图I,若∠ABC-2∠C,作BD平分∠ABC.结论：△BDC是等腰三角形 条件：如图2，若∠ABC-2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD.结论：△ADC是等腰三角形 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB,交BA 的延长线于点D.结论：△DBC是等腰三角形 例4.如图1，AD是ABC的角平分线，LB=2LC,试探究线段AB,BD,AC之间的数量关系.小明的 解题思路如下： B D 图1 图2 图3 ①如图2，在AC上取一点E,使AE=AB,连接DE· ②由AB=AE,AD平分∠BAE,AD是公共边， 可得△ABD≌△AED(理由： 、 则∠B=∠AED,BD=DE. ③由∠B=2LC, 则∠AED=2LC. 又因为∠AED=∠EDC+∠C, 所以LEDC=∠C,则DE= 又由BD=DE,得BD=EC. ④根据上述的推理可知AB,BD,AC之间的数量关系为 (1)请你补全小明的解题思路。 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)小明又想尝试其它方法：延长AB到点E,使BE=BD,连接DE.请你帮助小明，完成解答过程， 【变式4-1】问题背景：在ABC中，∠B=2LC,点D为线段BC一动点，当AD满足某种条件时，探讨在 线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系 B D 图1 图2 D 图3 (1)在图1中，当AB=AD时，则可得AB=CD,请你给出证明过程， (2)当AD1BC时，如图2，求证：AB+BD=DC; (3)当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结论. 压轴专练 一、解答题 1.(25-26八年级上·全国课后作业)常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： D 图① 图② (I)如图①，BC平分∠ABD,AC∥BD,则AB=AC; (②)如图②，AE∥BC,AE平分∠DAC,则ABC是等腰三角形. 2.(2023八年级上浙江宁波竞赛)如图，在ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,，AD∥BC,连接CD 7/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (1)求证：△ACD等腰三角形： (2)若∠BAC=100°，求∠BDC的度数. 3.(25-26八年级上全国·课后作业)【问题原型】 有这样一道问题：如图0，在48C中，∠8C4=2∠4BD为边4C上的中线，且BC=4C. 求证：△BCD为等边三角形 小聪同学的解决办法是：延长AC至点E,使CE=BC，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解 决问题。 【解决问题】 请你利用小聪的办法解决此问题 -.E D 图① 图② 4.(24-25八年级上·河南南阳·期末)(1)观察发现：我们知道：“等腰三角形顶角平分线、底边上的高和中 线三线合一”.猜想：如图1，在ABC中，如果∠1=∠2，AD1BC,那么ABC是等腰三角形吗？如果 是，请证明，如果不是，请说明理由 (2)拓展应用：如图2，己知在ABC中，AD⊥BD,AD平分∠BAC,∠ABC=3∠C.求证： AB+2BD=AC. D B C D 图1 图2 5.(24-25八年级上黑龙江哈尔滨期末)如图，在ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D,BE平分 ∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G. 8/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E (I)求证：BF=AC; (2)判断DG、DF的数量关系，并说明理由； (3)若CE=3,求GE的长. 6.(24-25八年级下·福建泉州期末)数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图①，在ABC中，AD平 分∠BAC,∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC”阅读下面文字并补充证明过程， B 图① 图② 图③ 李老师经过分析：要证AB+BD=AC,就是要证线段的和差问题，所以有两个方法： 方法一：“截长法”，如图②，在AC上截取AE=AB,连接DE; 方法二：“补短法”，如图③，延长AB至点F,使BF=BD,连接DF. 7.(2025八年级上·全国专题练习)在ABC中，AB=AC,BC=8,点M从点B出发沿射线BA移动，同 时点N从点C出发沿线段AC的延长线移动，点M,N移动的速度相同，MN与BC相交于点D. 图① 图② (1)如图①，过点M作ME∥AC,交BC于点E.求证：△DME≌△DNC; (2)如图②，过点M作MF⊥BC于点F,在点M从点B向点A（点M不与点AB重合)移动的过程中，线 段BF与CD的长度和是否保持不变？若保持不变，请直接写出线段BF与CD的长度和；若改变，请说明理 由. 8.(2024辽宁抚顺模拟预测)如图，等边ABC中，点D在AB上，延长CB到E,使BE=AD,连DE, 过点D作DF⊥BC于点F. 9/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 图1 图2 图3 (I)如图1，若点D是AB中点， 求证：①DC=DE;②EF=FC. (②)如图2，若点D是AB边上任意一点，EF=FC的结论是否仍成立？请证明你的结论： (3)如图3，若点D是AB延长线上任意一点，其他条件不变，EF=FC的结论是否仍成立？画出图并证明你 的结论 9.(24-25八年级上，全国期末)(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， OP平分∠MON.点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,求证： △A0C≌△B0C· (2)【问题探究】如图2，在(1)的条件下，过点A作AD⊥ON,垂足为D,AD交OP于点E.若 AD=OD,试探究AC和OE的数量关系，并证明你的结论 (3)【拓展延伸】如图3，ABC中，AB=AC，,∠BAC=90°，点D在线段BC上，且 ∠BDE= LACB,BE⊥DE于E,DE交AB于F,试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论. N B D 图1 图2 图3 10.(25-26八年级上全国·期末)已知在等边三角形ABC中，点D在BC上，点E在AB的延长线上，且 CD=BE,连接AD,DE. D ① ② 【问题发现】 10/12