10.1平方根和立方根（基础篇）练习2025-2026学年华东师大版 数学八年级上册

10.1平方根和立方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根） 即：若x2=a，则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：≥0。 三、平方根和算术平方根是记号：平方根±（读作：正负根号a）；算术平方根（读作根号a） 即：“±”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。 四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根） 即：若x3=a，则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。 3、立方根的记号：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。 中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。 六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项： 1、“±”、“”、“”的实质意义：“±”→问：哪个数的平方是a；“”→问：哪个非负数的平方是a；“”→问：哪个数的立方是a。 2、注意和中的a的取值范围的应用。 如：若有意义，则x取值范围是 。（∵x-3≥0，∴x≥3）（填：x≥3） 若有意义，则x取值范围是 。（填：全体实数） 3、。如：∵，，∴ 4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。 如：等。2和3怎么比较大小？（你知道吗？不知道就问！！！！！！！） 5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。 如：确定的取值范围。∵＜＜，∴2＜＜3。 6、几个常见的算数平方根的值：，，，，。 八、补充的二次根式的部分内容 1、二次根式的定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式。 2、二次根式的性质：(1)（a≥0，b≥0）；(2) （a≥0，b＞0）； (3) （a≥0）； (4) 3、二次根式的乘除法：（1）乘法：（a≥0，b≥0）；（2）除法：（a≥0，b＞0） 型 习 练 题 求一个数的平方根 1．小明在学习《平方根》一课后，知道“如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根”．他发现，则2025的平方根是（   ） A．45 B． C． D．不存在 2．81的平方根为（   ） A．9 B． C． D． 3．9的平方根是（ ） A．9 B． C． D． 4．已知、为实数，且，则的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 5．实数16的平方根是（   ） A．4 B． C．2 D． 已知平方根求数 6．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是（    ） A． B． C． D． 7．一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知一个正数的两个平方根分别为和，则的值为（    ） A．0 B． C．4 D．5 9．若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B． C．7 D．49 10．若与是同一个正数的平方根，则x的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 利用平方根解方程 11．若，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 12．将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 13．已知，且，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 14．，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 15．已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 求算数平方根 16．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 17．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 18．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 19．若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．是3的平方根 B．是3的平方根 C．是3的算术平方根 D．是3的算术平方根 20．下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 求一个数的立方根 21．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 22．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．9是的算术平方根 D． 23．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 24．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 25．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 已知立方根求这个数 26．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 27．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 28．已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 29．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 30．若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 算数平方根和立方根的综合 31．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 32．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 33．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 34．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 35．已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1平方根和立方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根） 即：若x2=a，则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：≥0。 三、平方根和算术平方根是记号：平方根±（读作：正负根号a）；算术平方根（读作根号a） 即：“±”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。 四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根） 即：若x3=a，则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。 3、立方根的记号：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。 中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。 六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项： 1、“±”、“”、“”的实质意义：“±”→问：哪个数的平方是a；“”→问：哪个非负数的平方是a；“”→问：哪个数的立方是a。 2、注意和中的a的取值范围的应用。 如：若有意义，则x取值范围是 。（∵x-3≥0，∴x≥3）（填：x≥3） 若有意义，则x取值范围是 。（填：全体实数） 3、。如：∵，，∴ 4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。 如：等。2和3怎么比较大小？（你知道吗？不知道就问！！！！！！！） 5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。 如：确定的取值范围。∵＜＜，∴2＜＜3。 6、几个常见的算数平方根的值：，，，，。 八、补充的二次根式的部分内容 1、二次根式的定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式。 2、二次根式的性质：(1)（a≥0，b≥0）；(2) （a≥0，b＞0）； (3) （a≥0）； (4) 3、二次根式的乘除法：（1）乘法：（a≥0，b≥0）；（2）除法：（a≥0，b＞0） 型 习 练 题 求一个数的平方根 1．小明在学习《平方根》一课后，知道“如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根”．他发现，则2025的平方根是（   ） A．45 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 由可知，2025的平方根是． 【详解】解：， 根据平方根的定义，2025的平方根是． 故选：C． 2．81的平方根为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．直接根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴81的平方根是． 故选：D． 3．9的平方根是（ ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了平方根，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数． 【详解】解：∵， ∴ 9的平方根是． 故选：B． 4．已知、为实数，且，则的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，根据非负性，求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】∵ ，，且， ∴，， ∴，即，，即， ∴， ∴ 的平方根为； 故选B． 5．实数16的平方根是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，直接计算16的平方根即可． 【详解】解：依题意，且， ∴ 16的平方根是， 故选：B 已知平方根求数 6．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知： 和互为相反数， ∴ ， 化简得， ∴； 故选C． 7．一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的性质，一个正数的两个不同的平方根互为相反数，即它们的和为零，据此列方程求解即可. 【详解】解：∵ 一个正数的两个不同的平方根互为相反数， ∴ ， 化简得 ：， ∴ ， ∴ . 故选： A 8．已知一个正数的两个平方根分别为和，则的值为（    ） A．0 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，利用正数的两个平方根互为相反数的性质，列方程求解． 【详解】解：∵ 一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 化简得： ， ∴ ， 解得， 故选：B． 9．若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义，若一个数的平方根是，则该数． 【详解】∵ a的平方根是， ∴ ， ∴ a的值为49． 故选：D． 10．若与是同一个正数的平方根，则x的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【分析】根据同一个正数的平方根有两个，它们相等或互为相反数，据此可列出方程求解． 【详解】解：由题意得，与是同一个正数的平方根， 得或， 解得：或， 故选：C． 利用平方根解方程 11．若，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质和代数式求值，正确进行开方是解题的关键．先对进行开方，得到，再根据的非负性，即可得出结论． 【详解】， ， 或， 不论、为何值，， ， 故选． 12．将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方根的意义解方程的应用，正确列出等量关系式是解题关键．设底面正方形的边长为，根据体积不变列方程，再根据平方根的意义解方程即可． 【详解】解：设底面正方形的边长为，根据题意得： ， ， 解得或 （负值舍去）， 底面正方形的边长为． 故选：B． 13．已知，且，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，相反数的含义，根据可得，，结合，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴互为相反数， ∴． 故选：C 14．，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】该题考查了平方根的性质，根据平方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 15．已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的定义是解题关键．根据题意可知的算术平方根是3，从而得到，即可求出的值． 【详解】解：∵，即表示的算术平方根是3， ∴， ∴， 故选：B． 求算数平方根 16．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：的算术平方根为 故选：A． 17．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 18．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根．根据算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确． C、，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选：B． 19．若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．是3的平方根 B．是3的平方根 C．是3的算术平方根 D．是3的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了方程解的定义，算术平方根的定义，熟记定义，灵活运用定义是解题的关键．根据方程解的定义和算术平方根的意义判断即可． 【详解】解：∵ 方程 的解分别为 ，且， ∴ ，， ∴ 和是3的平方根， ∵ ， ∴ ， ∴ 是3的算术平方根（非负的平方根）． 故选：D． 20．下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是明确算术平方根为非负数且负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是指那个非负的平方根，即，且负数没有算术平方根；据此对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、9的算术平方根是3，不是，此选项不符合题意； B、9的算术平方根是3，此选项符合题意； C、3的算术平方根是，不是9，此选项不符合题意； D、是负数，没有算术平方根，此选项不符合题意． 故选：B． 求一个数的立方根 21．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了算术平方根和立方根，正确化简各数是解题关键． 根据算术平方根和立方根的法则分别计算，进而判断得出答案． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项正确，符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意． 故选B． 22．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．9是的算术平方根 D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一判断各选项． 【详解】解： A：，9 的平方根是 ，故 A 错误，不符合题意； B：16的平方根是，故 B 正确，符合题意； C：，9的算术平方根是 3，而非 9，故 C 错误，不符合题意； D：，而非 3，故 D 错误，不符合题意． 故选： B． 23．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数平方根、算术平方根和立方根，二次根式的化简，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义．根据平方根、算术平方根和立方根的定义计算即可． 【详解】解：A.，故A错误，不符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C.，故C正确，符合题意； D.，故D错误，不符合题意； 故选：C． 24．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和立方根的计算，根据算术平方根和立方根的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 25．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根和立方根的性质，算术平方根的结果为非负数，而立方根的结果符号与被开方数一致，由此逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 已知立方根求这个数 26．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根是的数，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴立方根是的数是， 故选：B． 27．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解决此题的关键是正确的理解立方根的定义； 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 28．已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数是， 故选：． 29．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故选：D． 30．若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 算数平方根和立方根的综合 31．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 32．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 33．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根定义与性质，熟记平方根、立方根定义与性质是解决问题的关键．由平方根、立方根定义与性质逐一分析各选项的等式是否成立，即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 34．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 35．已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根以及立方根的性质．根据算术平方根以及立方根的性质，先求出a和b的值，再计算的值，最后求其平方根，即可． 【详解】解：∵的算术方根是2，的立方根是0， ∴，， ∴， ∴的平方根为0． 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $