第三十二章 概率初步（复习讲义）数学人教版五四制九年级上册

第三十二章 概率初步（复习讲义） 1. 了解必然事件、不可能事件、随机事件的意义，体会事件类型与发生可能性、概率之间的整体联系。 2. 能用直接列举法、列表法、画树状图法列举等可能结果，用概率公式 P(A)= 计算概率。 3. 理解利用频率估计概率的方法，能利用频率估计概率解决实际问题。 知识点01 随机事件与概率 1. 事件的类型：必然事件是在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 2. 事件发生的可能性：必然事件发生的可能性为1；不可能事件发生的可能性为0；随机事件发生的可能性介于0和1之间。 3. 概率：对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 4. 概率的计算：如果在一次试验中，有n种可能的结果，且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=m/n，0≤P(A)≤1。 5. 事件发生的可能性与概率的关系：事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。 知识点02 用列举法求概率 1. 直接列举法：当事件涉及的对象比较单一且等可能结果数目较少时，可直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式P(A)=m/n求概率。 2. 列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的等可能结果数目较多时，常采用列表法。选其中一次操作或一个条件为横行，另一次操作或另一个条件为竖行，列出表格，再用概率公式计算。 3. 画树状图法：当一次试验涉及三个或更多个因素时，为不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法。 知识点03 利用频率估计概率 1. 在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A)=p。 2. 用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增加，频率会越来越接近概率。 题型一 事件的分类 【例1】下列事件中，是随机事件的是（　　） A．任意画一个三角形，其内角和是 B．是不等式的解 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D．从装满红球的袋子中取出白球 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的定义、三角形内角和定理、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，不符合题意； B、是不等式的解是必然事件，不符合题意； C、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件，符合题意； D、从装满红球的袋子中取出白球是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（        ） A．一岁一枯荣 B．黄河入海流 C．手可摘星辰 D．处处闻啼鸟 【答案】C 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的含义是解题的关键． 【详解】A．“一岁一枯荣”是随机事件，故本选项不符合题意； B．“黄河入海流”是必然事件，故本选项不符合题意； C．“手可摘星辰”是不可能事件，故本选项符合题意； D．“处处闻啼鸟”是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．买彩票中10万大奖 B．同位角相等 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．圆的直径平分任意一条弦 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件，三角形三边关系，平行线的性质，垂径定理，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：、买彩票中10万大奖是随机事件，故本选项不符合题意； 、如果两直线平行，同位角相等；如果两直线不平行，同位角不相等，即同位角相等是随机事件，故本选项不符合题意； 、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，故本选项符合题意； 、只有当弦是直径或直径垂直于弦时，圆的直径才平分该弦，故不是必然事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】下列事件是随机事件的是（ ） A．地球绕着太阳转 B．正八边形的每个外角的度数等于 C．明年清明节会下雨 D．在只装了黄球的盒子中，摸出红球 【答案】C 【分析】本题主要考查了随机事件的定义和识别，掌握随机事件的定义是解题的关键． 根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义“随机事件是可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件”逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A、地球绕着太阳转是客观事实，这是必然事件，故A不符合题意； B、多边形的外角和是，正八边形的每个外角的度数为，这是必然事件，故B不符合题意； C、明年清明节的天气是不确定的，所以明年清明节会下雨是随机事件，故C符合题意； D、在只装了黄球的盒子中，只能摸出黄球，不能摸出红球；所以D是不可能事件，故D不符合题意． 故选：C 题型二 列举法求概率 【例2】有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率，根据题意列举出所有的情况，找出能组成三角形的结果，进而根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：所有情况有：；；；，共种， 其中能组成三角形的情况有种， ∴任取三条线段能组成三角形的概率是， 故答案为：． 【变式2-1】如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列举法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列举法的概念以及用列举法求概率的基本步骤是解题的关键：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法；用列举法求概率的基本步骤如下：列举出一次试验的所有可能结果，假设共种；数出满足要求的结果数，假设共种；根据概率公式计算概率：概率． 按照用列举法求概率的基本步骤求解即可． 【详解】解：现任意闭合其中一个开关，则一次试验的所有可能结果共有种，即： 闭合，闭合，闭合， 满足要求的结果数共有种，即： 闭合， （灯泡发光的概率）， 故答案为：． 【变式2-2】从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ． 【答案】 【分析】根据一对对边平行且相等的四边形、两组对边相等的四边形、两组对边平行的四边形都是平行四边形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答． 【详解】解：①，②，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，③，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，④，无法判断； ②，③，无法判断； ②，④∴四边形ABCD是平行四边形； ③，④∴四边形ABCD是平行四边形； 故选到能够判定判定四边形有4种结果， ∴选到能够判定是菱形的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，概率等，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，概率的计算方法． 【变式2-3】在，，这三个数中任选两个数分别作为点的横坐标和纵坐标，过点画双曲线（为常数，），则该双曲线位于第一、三象限的概率是 ． 【答案】 【分析】列举法求概率即可． 【详解】解：由题意，得：点共有：，6种情况， ∵当点的横纵坐标符号相同时，双曲线位于第一、三象限，共有种情况， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查列举法求概率．熟练掌握列举法，以及双曲线上点的特征，是解题的关键． 题型三 几何面积法求概率 【例3】如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查几何概率，解题的关键是明确题意，求出相应的概率．根据几何概率的求法：一个小球停留在某个区域上的概率就是该区域的面积与总面积的比值． 【详解】由题意可得，小球最终停留在正方形里面的概率为： ， 故答案为：． 【变式3-1】某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用，注意面积之比几何概率．利用击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比，进而求出答案． 【详解】解：整个正方形被分成了9个小正方形，黑色正方形有5个， 落在黑色区域即获得笔记本的概率为， 故答案为：． 【变式3-2】如图，将一个微型机器人放置在封闭的圆形装置内部，圆形装置内部划分为三个区域，其中A、B两个区域为圆环，C区域为小圆．若微型机器人随机在装置内停止，则微型机器人停止在B区域的概率为 ． 【答案】 【知识点】几何概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，分别求出三个区域的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 微型机器人停在区域的概率为． 故答案为：． 【变式3-3】如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式，用地雷的颗数除以小方格总数即可 【详解】解：∵在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． ∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是； 故答案为：． 题型四 列表法或树状图法求概率 【例4】某班体育爱好者小川和小红对于足球和篮球赛事比较热心，但小川更喜欢足球，小红更喜欢篮球，某日约定一起在家中观看球赛，家中只有一部电视，如果此刻有两个台同时播放篮球赛，另一个台播放足球赛，二人商定利用抽签的方式确定观看比赛． (1)如果将三个不同的台做成签，小川先抽，则他从三个签抽一个，抽到的是播放足球这个台的概率为 ； (2)若小红先抽，则小川抽到的是播放足球赛的这个台的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、列表法或树状图法求概率等知识点，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键． （1）共有3种等可能出现的结果，其中抽到的刚好是播放足球赛的有1种，再根据概率的定义求解即可； （2）用树状图列举出所有等可能出现的结果以及抽到播放足球赛的这个台的情况数，再根据概率的公式计算即可． 【详解】（1）解：将三个台做成三个签，小川先抽，他从三个签抽一个，抽到的刚好是播放足球这个台的概率为． 故答案为：． （2）解：设播放篮球赛为A，B台，播放足球赛C台， 所有等可能结果用树状图表示如下： 即所有等可能结果共有6种，其中小川抽到足球赛的有2种， 所以小川抽到足球赛的这个台的概率为． 【变式4-1】南昌某实验学校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了四大类社团活动（艺术社团、体育社团、文学社团、科技社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动． (1)“小华恰好选中文学社团”是______（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； (2)现从艺术社团里表现优秀的，，三名同学中随机选取两名同学参加比赛，请用列表法或画树状图法求出恰好选中和两名同学的概率． 【答案】(1)随机； (2)恰好选中和两名同学的概率为． 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及用列表法或画树状图法求概率的知识点，解题的关键是准确理解相关概念和熟练运用求概率的方法． （）根据随机事件的定义判断小华选中文学社的事件类型； （）通过列表法或画树状图法列出所有可能的结果，再找出恰好选中和的结果，最后根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：“小华恰好选中文学社团”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：画树状图如图， 共有个等可能的结果，恰好选中和两名同学的结果有个， ∴恰好选中和两名同学的概率为． 【变式4-2】春节前夕，某商场举行“抽奖返现”促销活动，凡购物每满元，即可抽奖一次抽奖规则如下：在一个不透明的箱子中装有个红球、个黄球、个白球仅颜色不同，每次抽奖前将其摇匀后，抽奖者从中随机摸出个球，记下颜色后，放回若是红球，则获得奖金元；若是黄球，则得奖金元；若是白球，则为感谢参与无奖金． (1)若抽奖者从该箱子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是______； (2)王丹当天在该商场消费元，抽了两次奖，请用列表或画树状图的方法求她两次抽奖的和等于元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到白球的结果有种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及她两次抽奖的和等于元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到白球的结果有种， 摸到白球的概率为． 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 黄 白 白 红 （红，红） （红，黄） （红，白） （红，白） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 共有种等可能的结果，其中她两次抽奖的和等于元的结果有：（红，黄），（黄，红），共种， 她两次抽奖的和等于元的概率为． 【变式4-3】春，是茶的盛事；茶，是景迈山给世人的馈赠．千年茶山年年春，世界遗产普洱景迈山2025年春茶季系列活动自3月下旬启幕，将持续至5月！其中，“醒春山”系列活动分为：A澜沧古茶“回家之旅”，B柏联寻茶之旅，C九泽茶窖春茶季大型活动．甲、乙两名同学准备前往一睹盛况，各自随机选择A、B、C三个活动中的一个，二人选择哪个活动不受任何因素影响，每一个活动被选到的可能性相同．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙选到不同活动的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了概率的计算，用列表法展示所有可能的结果，关键在于准确找出符合条件的结果数和所有可能的结果数，然后利用概率公式计算． （1）通过列举法分析所有可能的结果； （2）利用概率公式计算符合条件的情况概率即可． 【详解】（1）解：由题意列表如下： 由表可知，共有9种等可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同． （2）由（1）可知，甲和乙选到不同活动有，，，，，共6种结果， 概率为． 题型五 根据概率判断游戏的公平性 【例5】“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)公平，理由见解析． 【分析】此题考查了游戏公平性、列表法与树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种，再由概率公式求解即可； （2）求出甲同学获胜的概率和乙同学获胜的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种， ∴丙同学获胜的概率； （2）这个游戏对三人公平，理由如下： 由（1）可知，丙同学获胜的概率为，甲同学获胜的结果有3种，乙同学获胜的结果有3种， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率＝丙同学获胜的概率， ∴这个游戏对三人公平． 【变式5-1】嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 【答案】(1)1 (2)不公平，见解析 【分析】（1）根据简单地概率公式列出分式方程解答即可； （2）利用列表法，计算各自的概率，比较大小，判定即可． 本题考查了简单地概率公式，列表法求概率，解分式方程，正确选择方法是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 经检验，是这个分式方程的解， 的值为1． （2）解：该游戏规则不公平，理由如下： 经过（1）的棋子调整后，乙盒中有1个白子和2个黑子，列表如下： 后拿先拿 白 白 （白，白） （白，） （白，） （，白） （，） （，） （，白） （，） （，） 共有9种等可能的结果，其中摸出的两个棋子颜色相同的有5种结果，摸出的两个棋子颜色不同的有4种结果， 嘉嘉获胜的概率为，淇淇获胜的概率为， 该游戏规则不公平． 【变式5-2】小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了求频率，画树状图求概率，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数，即可求解； （2）画出树状图或列表可知共有种情况，分别算出两个人获胜的概率，如果相等则说明游戏公平，不相等，说明不公平． 【详解】（1）解：小亮随机摸球次，其中次摸出的小球上的数字是， 故摸出的小球上的数字是的频率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由上图可知共有种等可能的结果，其中小明获胜的结果数有种，小亮获胜的结果数有种， 故小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏规则对两人不公平． 【变式5-3】围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 【答案】(1)0.35（或） (2)这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大 【分析】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）用摸到白球的个数除以摸球的总数即可； （2）画出树状图，分别求出李海执黑棋和李海执黑棋的概率即可求解． 【详解】（1）； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果有13种， （赵婷执黑棋），P（李海执黑棋）， （赵婷执黑棋）（李海执黑棋）， 这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大． 题型六 概率在转盘抽奖中的应用 【例6】某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是： （1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算； （2）根据可能性的大小，保证“护眼灯”有3张即可，设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：， 故答案为：； （2）解：设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 如图： 【变式6-1】某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，共有9种等可能的结果 (3)会选择方案二；理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图即可解决； （3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果； （3）解：会选择方案二． 理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二． 【变式6-2】如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是6的结果有1种， ∴P（转出数字6）； 故答案为：； （2）小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 【变式6-3】九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 【答案】(1)， (2)， 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】(1)根据频率频数总数求解即可； (2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“手工”的概率． 【详解】（1）解：∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， ∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， （2）解：∵根据表格信息可知：落在“手工”区域的频率的平均数大约为：, ∴当n很大时，频率将会接近， ∴假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键． 题型七 统计与概率综合应用问题 【例7】我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是   ( 填“全面调查”或“抽样调查”)； (2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数； (3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率． 【答案】(1)抽样调查 (2)补全的条形统计图见解析；件 (3) 【知识点】判断全面调查与抽样调查、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，涉及抽样调查，用样本估计总体，列举法求概率等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查； （2）由B班的作品数量除以所占的百分比即可求出所调查的4个班征集到的作品总数，将作品总数减去其他三个班的作品数量即可得到班作品数量，即可补全条形统计图．的件数为：（件；继而可补全条形统计图；求出所抽取的4个班级作品数量的平均数，乘以全级30个班级，可估计全校共征集作品的数量． （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查． 故答案为：抽样调查． （2）解：所调查的4个班征集到的作品数为：（件， 班有（件， 补全条形图如图所示， 所抽取的4个班级作品数量的平均数为（件）， ∴估计全校共征集作品数量为（件）； （3）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，恰好选取的两名学生是一男一女的有4种情况， 恰好选取的两名学生是一男一女的概率为． 【变式7-1】北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选项），制作了如下统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人； (2)补全条形统计图； (3)把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为单板滑雪的概率． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】（）先利用花样滑冰的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数；再利用乘以花样滑冰的人数所占的百分比，即可求解； （）分别求出单板滑雪的人数，自由式滑雪的人数，即可求解； （）根据题意，画出树状图可得从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有种，抽到项目中恰有一个项目为单板滑雪的有种等可能结果，再根据概率公式计算，即可求解； 本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． 【详解】（1）调查的总人数为人，人； 故答案为：，； （2）单板滑雪的人数为人， 自由式滑雪的人数为人， 补全条形统计图如下： （3）根据题意，画出树状图如下： 从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有种，抽到项目中恰有一个项目为单板滑雪的有种等可能结果． ∴抽到项目中恰有一项为单板滑雪的概率为． 【变式7-2】某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如下所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． (1)本次抽取调查学生共有______人，其中组的学生人数为______． (2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数． (3)小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 【答案】(1)60；21 (2)见解析， (3) 【知识点】画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列举法求概率等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用“组学生人数除以其占比”，即可求得本次抽取调查学生总人数；利用“本次抽取调查学生总人数组的学生人数占比”，即可求得答案； （2）结合（1）补全条形图；利用“组学生占比”即可求得答案； （3）根据题意作出树状图，结合树状图求解即可． 【详解】（1）解：本次抽取调查的学生总人数为（人）， 组的人数为（人）． 故答案为：60；21； （2）结合（2），可补全条形图如下图所示， 组部分所占的圆心角； （3）根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好分到同一组的结果为4， 所以两人恰好分到同一组的概率． 【变式7-3】新学期伊始，某校运用今年流行的“：龙行龘龘（da），：前程朤朤（lāng），：德行垚垚（yáo），：身体骉骉（biāo）”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取__________人； (2)将条形统计图补充完整； (3)学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图，掌握统计的基本知识是解题的关键． （1）利用选项的人数除以其百分比，即可求解； （2）先计算的数据，再画条形图； （3）先列表，再根据简单事件的概率求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）（人）， 补全的条形统计图如图所示： （3）列表如下： 由表可知，一共存在种等可能性结果，其中抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的可能性有种， 抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率为． 题型八 求某事件的频率 【例8】今天的日期是20250113，在这串数字中，“0”出现的频率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了频率的计算，掌根频率的计算方法成为解题的关键． 据日期“20250113”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，然后运用频率公式计算即可． 【详解】解：日期“20250113”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，数字“2”出现的频率是． 故答案为：． 【变式8-1】已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【答案】0.4 【分析】此题考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键．直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案． 【详解】解：∵数据：，，，，，其中无理数有：，π， ∴无理数出现的频率是：． 故答案为0.4． 【变式8-2】每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，随着抽取球数目的增加，频率值都在常数的附近摆动，由此能求出任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率．其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率．掌握用频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.948 0.951 0.950 随着抽取球数目的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数的附近摆动， ∴任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为． 答案为：． 【变式8-3】某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 题型九 用频率估计概率 【例9】通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用频率估计概率，牢记随机事件的频率与概率的关系（可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键．根据随机事件通过大量重复试验发生的频率与概率的关系求解即可． 【详解】解：∵钉尖朝上的频率稳定在0.75附近， ∴估计钉尖朝上的概率为． 【变式9-1】某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 根据利用频率估计概率得到随试验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此该种绿豆发芽的概率的估计值为． 【详解】解：根据表中的发芽的频率，当试验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是． 故答案为：． 【变式9-2】如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001） 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数足够大，频率趋于稳定，此时可以频率来表示概率．用频率估计概率作答即可． 【详解】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是， 故答案为：． 题型十 用频率求数量/面积 【例10】一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共20张．随机从箱子里摸出1张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，由此估计箱子中蓝色卡片有 张． 【答案】8 【分析】本题考查的知识点是由频率估计概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握由频率估计概率的方法． 根据频率估计概率，然后根据概率公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设箱子中蓝色卡片有x张，根据题意得： ， 解得， 则箱子中蓝色卡片有8张． 故答案为：8． 【变式10-1】在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有 个白球． 【答案】12 【分析】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，首先根据红球的个数和摸到红球的频率求出球的总个数，然后减去红球的个数即可得到白球的个数． 【详解】解：∵有3个红球，摸到红球的频率稳定在0.2左右， ∴这个盒子中大约有个球， ∴（个）， ∴这个盒子中大约有12个白球． 故答案为：12． 【变式10-2】七年级某班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有9个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个． 【答案】 【分析】本题考查了由频率求数量，由统计图可得，黄球出现的频率稳定在，由此计算即可得解，正确得出黄球出现的频率是解此题的关键． 【详解】解：由统计图可得，黄球出现的频率稳定在， 故袋子中黄球的个数可能是（个）， 故答案为：． 【变式10-3】小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，频率分布折线图，以及利用频率估计概率，正确理解折线统计图是解题的关键．由折线统计图可知，小球落在不规则图案内的概率约为，求出长方形的面积，再乘概率求解即可． 【详解】解：由折线统计图可知，小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 不规则图案的面积约为， 故答案为：． 题型十一 用频率估计概率的综合应用 【例11】工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】(1)； (2)估计其中不合格品有件 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率可得任抽一件该产品是合格品的概率，用总件数乘合格的频率即可得出m的值； （2）总件数乘以不合格的概率即可． 【详解】（1）解：估计任抽一件该产品是合格品的概率是， ， 故答案为：，； （2）解：抽取件数为时，合格的频率趋近于， 估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； ∴（件）， 答：估计其中不合格品有件． 【变式11-1】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【答案】(1)0.58，118； (2) (3)个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率频数样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.58，118； （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是0.6． 故答案为：0.6； （3）解：(个)， 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 【变式11-2】下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的_______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)，； (2)； (3)需要准备10000粒种子进行发芽培育． 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据频率等于频数除以总数，进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率计算数量即可． 【详解】（1）解： ， ． 答案为：，； （2）∵随着实验种子数的增加，频率稳定在， ∴任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是． 故答案为：； （3） 答：需要准备10000粒种子进行发芽培育． 【变式11-3】在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中________；________； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到）； (3)估计袋子中有白球________个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球________个． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，分式方程的应用，解题的关键是正确理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （）根据，即可求解； （）根据表格分析即可求解； （）由摸到黑球的频率将会接近，则有摸到黑球的概率为，故摸到黑球的概率为，则袋子中有白球， （）设增加相同的白球个，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当很大时，摸到黑球的频率将会接近， 故答案为：； （3）解：∵摸到黑球的频率将会接近， ∴摸到黑球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋子中有白球（个）， 故答案为：； （4）解：设增加相同的白球个， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合实际， 故答案为：． 基础巩固通关测 一、单选题 1．“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”这个事件是（   ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件 【答案】B 【分析】本题主要考查事件的分类，必然事件是在一定条件下，事件必然发生，不可能事件是在一定条件下，事件必然不会发生，随机事件是在一定条件下，事件可能发生也可能不发生，确定事件包括必然事件和不可能事件，因为它们的发生或不发生是确定的，据此可得答案． 【详解】解：“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”这个事件是不确定的， ∴属于随机事件； 故选：B． 2．下列说法错误的是（　　） A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 B．不可能事件发生机会为0 C．买一张彩票会中奖是可能事件 D．一件事发生机会为，这件事就有可能发生 【答案】A 【分析】本题考查了概率是反映事件发生机会的大小的概念，解题的关键是掌握概率只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1；不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0；不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率并且． 【详解】解：A、同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率，第一个出现4的机会是，第二个出现4的机会也是，因而点数都是4的概率为，该选项错误，符合题意； B、不可能事件发生机会为0，该选项正确，不符合题意； C、买一张彩票会中奖是随机事件，该选项正确，不符合题意； D、一件事发生机会为，这件事就有可能发生，该选项正确，不符合题意． 故选A． 3．不透明袋中装有形状、大小相同的红球、黄球和蓝球共100个，小强通过多次摸球试验后，发现摸到三种球的频率如图所示，则估计袋中红球的数目为（    ） A．25 B．35 C．40 D．75 【答案】A 【分析】本题主要考查了通过频率求频数，解题的关键是掌握频数和频率的关系． 利用频数和频率的关系进行求解即可． 【详解】解：估计袋中红球的数目为（个）， 故选：A． 4．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，概率公式，解一元一次不等式，难度较大，正确运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意可知，则．①当时，；②当时， ，；③当时，，分别求解计算即可． 【详解】解：由题意可知． ∵，m，n均为正整数， ∴． ①当时，， ∴， ∴， ∴n的值可以是1，2，3，4，对应的m的值分别为3，4，5，6， 此时的值可以是8，12，16，20． ②当时， ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． ③当时，， ∴， ∴，不符合题意． 综上可知，不超过20的智慧数有5个，分别为8，12，15，16，20，其中是奇数的有1个，故所求概率为． 故选：D． 5．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ）    A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上 B．任意写一个整数，它能被2整除 C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 D．从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃” 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据统计图可知，实验结果在附近波动，即其概率，再计算四个选项的概率，约为的即符合题意． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上的概率为，不符合题意； B、任意写一个整数，它能2被整除的概率为，不符合题意； C、不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率，符合题意； D、从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃”的概率是，不符合题意． 故选C． 二、填空题 6．从，，这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表或画树状图法求概率，直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识．先列表得出所有点的坐标情况以及第四象限点的坐标情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 共有种情况，在第四象限的情况有种， 该点在第四象限的概率是． 故答案为：． 7．盒子里有红球6个、白球5个、蓝球4个、黄球3个、绿球2个、黑球1个，每个球的大小、质量都相同．现在从盒子里任意摸出1个球，摸出的是黑球的可能性 ，摸出的是红球的可能性 ．（填“大”或“小”） 【答案】 小 大 【分析】本题考查事件发生的可能性，掌握相关知识是解决问题的关键．因为红球数量最多，黑球数量最少，所以摸出的是红球的可能性大，摸出的是黑球的可能性小． 【详解】解：∵ ∴摸出的是黑球的可能性小，摸出的是红球的可能性大． 故答案为：小，大． 8．某生物实验室为研究果蝇的基因遗传特性，对培养皿内的果蝇群体进行抽样统计．培养皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇，实验通过多次随机抽样（每次抓取后放回并摇匀），统计携带显性基因标记果蝇的频率，实验数据记录如下： 实验次数 100 300 500 700 900 1000 1100 携带显性基因标记果蝇 43 138 226 319 408 451 495 频率 0.43 0.46 0.452 0.456 0.453 0.451 0.45 通过实验，估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为 ． 【答案】90 【分析】本题考查了用频率估计概率，用稳定的频率来估计携带显性基因标记果蝇在总体中的概率是解决本题的关键． 先根据实验数据可得携带显性基因标记果蝇的频率稳定在0.45，根据用频率估计概率可知，携带显性基因标记果蝇的概率为0.45，由此计算即可． 【详解】解：由实验数据可得携带显性基因标记果蝇的频率稳定在0.45， ∴携带显性基因标记果蝇的概率为0.45， ∵培养皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇， ∴估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为(只)． 故答案为：90 ． 9．如图，这是由16个边长为1的小正方形组成的图形，已经有3个小正方形被涂色，再涂一个小正方形，能使它和已知阴影部分组成的图形为中心对称图形的概率是 ，能使它和已知阴影部分组成的图形为轴对称图形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单随机事件概率的计算，轴对称图形，熟记概率公式和轴对称图形的概念是解题的关键． 由题意得和已知阴影部分组成的图形为中心对称图形的结果有2种，和已知阴影部分组成一个轴对称图形的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：如图所示： 在剩余的13个小正方形中，有2种涂法能使它和已知阴影部分组成中心对称图形，概率是， 如图所示: 有4种涂法能使它和已知阴影部分组成轴对称图形， 概率为：， 故答案为：，． 10．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后指针指在分界线时重转，指针指向的数字之和为奇数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，列出表格展示所有6种等可能的结果，再找出两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 5 4 5 6 5 6 7 由表知，共有6种等可能结果，其中指针指向的数字之和为奇数的有3种结果， 所以指针指向的数字之和为奇数的概率为， 故答案为： 三、解答题 11．端午节期间，小军和小新准备到沈阳的张氏帅府（记为）、故宫（记为）、北陵公园（记为）中的一个景点去游玩，他们各自在这三个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同． (1)小军选择去故宫（）旅游的概率是 ； (2)试用画树状图或列表的方法求小军和小新都选择去北陵公园（）旅游的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率： （1）共三种选择，每种选择可能性相同，因此选择故宫的概率为总选择数的倒数； （2）通过列表分析小军和小新同去北陵公园的概率即可． 【详解】（1）三个景点中任选一个 ∴小军选择去故宫（）旅游的概率是； （2）列表如下： 小新 小军    由表格可知，共有种结果，每种结果出现的可能性相同，其中小军和小新都选择去北陵公园（）旅游的有种结果 ∴小军和小新都选择去北陵公园旅游的概率：． 12．为弘扬中华民族传统文化，某中学举办了“国学经典大赛”，比赛项目为：唐诗、宋词、论语、道德经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)李明参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“唐诗”的概率P为______； (2)刘伟平和唐红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则他们都没有抽到“道德经”的概率是多少？利用列表法或树状图加以说明 【答案】(1) (2)，树状图见详解 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和刘伟平和唐红都没有抽到“道德经”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵共有4个比赛项目， ∴恰好抽中“唐诗”的概率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刘伟平和唐红都没有抽到“道德经”的结果有6种， ∴刘伟平和唐红都没有抽到“道德经”的概率为． 13．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 【答案】不公平，设计一个公平的规则见解析，理由见解析 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则不公平． 设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜． 这样的规则是公平的，理由如下： 由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则公平． 14．从一副52张（没有大小王）的扑克中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据： 实验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100 出现方块的频率 (1)填空：______，______； (2)从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是______； (3)将这副扑克中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张，其中A表示1，表示11，表示12，表示13）取出，将这13张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由． 【答案】(1)30， (2) (3)这个游戏对双方不公平，理由见详解 【分析】本题主要考查了概率与游戏的公平，理解题意是正确解答此题的关键． （1）根据表格中的数据计算即可； （2）从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率； （3）分别求得概率再比较可得结论不公平． 【详解】（1）解：，， 故答案为：30，； （2）解：从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率为， 故答案为：； （3）解：不公平， 理由：∵在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个， ∴甲方赢的概率为，乙方赢的概率为， 由于， 所以这个游戏对双方不公平． 15．第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某高校为了了解学生对亚运会的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图； (2)求A所在扇形的圆心角度数； (3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，直接写出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】(1)500，图见解析； (2)； (3)甲、乙同时被选中的概率为． 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，列表法或画树状图法求概率等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用选项的人数除以所占的百分比即可求出，求出选项的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以选项的人数所占的百分比即可； （3）列出表格，得出共有种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有种，即可求解． 【详解】（1）解：本次调查共抽取学生人数为：（人）， 故答案为：， 选项的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：， ∴A所在扇形的圆心角度数为； （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁 丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁 丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 由表格可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有种， ∴甲、乙同时被选中的概率为． 能力提升进阶练 一、单选题 1．“若、异号，则”这一事件是（   ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定事件 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件以及确定事件的概念，正确把握相关定义是解题关键． 根据事件发生的可能性大小判断事件的类型即可． 【详解】解：若、异号，可能出现，，， ∴若、异号，是随机事件． 故选：A ． 2．下列说法正确的是（    ） A．打开电视机，正在播放“中央新闻”，是必然事件 B．某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票一定有1张中奖 C．从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A. 打开电视机，正在播放“中央新闻”，是随机事件，故选项错误，不符合题意； B. 某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票不一定有1张中奖，故选项错误，不符合题意； C. 从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件，故选项正确，符合题意； D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故选项错误，不符合题意； 故选：C 3．寒假期间，伶伶和俐俐结伴去郑州旅游，两人从“只有河南”“二七纪念塔”“河南省科技馆”“郑州绿博园”四个景点中随机抽取个进行游玩，现将四个景点的照片背面向上放置（背面完全相同），伶伶先从中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，俐俐再从剩余的照片中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，则两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握列表法与树状图法求概率是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“只有河南”“二七纪念塔”“河南省科技馆”“郑州绿博园”四个景点分别记为，，，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的结果有种， 两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的概率为． 故选：C． 4．七巧板是我国古代的一项发明，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，关键是设小正方形板的边长，来求解出空白地板和整体正方形地板面积，由于小球不是落在空白区域就是阴影区域，利用减去小球落在空白区域的概率，即可得出结论． 【详解】解：如下图所示，可设小正方形④的边长为， 等腰直角三角形③和⑤相同，且直角边长为， ③与⑤面积和为， 等腰直角三角形⑦面积等于③与⑤的和， ⑦面积为， 等腰直角三角形①和②，直角边长为， ①与②的面积和为， 铺成的正方形地板面积为①面积的倍，即为． 得到空白图形①、②、③、⑤和⑦的面积和为与整体面积的比为， 小球停留在阴影部分的概率为． 故选：． 5．小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率逐项判断即可解答． 【详解】解：A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意； B．若抛掷图钉100次，则可能有64次“钉尖不着地”，错误，不符合题意； C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”可能性不相等，错误，不符合题意； D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，次数较少，不能用来估计“钉尖不着地”概率，错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 6．一个不透明的袋子里有4个黄球和若干个白球，它们除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，若摸到黄球的概率为，则袋子中一共有 个球． 【答案】20 【分析】此题考查了概率的求法，根据摸到黄球的概率是，可直接求出袋子中球的总个数，正确的运算是解题的关键． 【详解】解：∵摸到黄球的概率是， ∴袋子中一共有：（个）， 故答案为：． 7．从 ，1，2，3这四个数中任取两个不同的数作为一次函数的系数k、b，所得一次函数的图象不经过第四象限的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法求概率是解题的关键． 由题意知，当时，一次函数的图象不经过第四象限，然后列表格，最后求概率即可． 【详解】解：由题意知，当时，一次函数的图象不经过第四象限，列表如下； 1 2 3 1 2 3 共有12种等可能的结果，其中一次函数的图象不经过第四象限共有6种等可能的结果， ∴一次函数的图象不经过第四象限的概率是， 故答案为：． 8．河南的美食不仅味道鲜美，而且承载着丰富的历史文化内涵，其中汴京烤鸭、红烧黄河鲤鱼、炸紫酥肉、牡丹燕菜是河南的几道优质名菜．某数学小组现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有汴京烤鸭、红烧黄河鲤鱼、炸紫酥肉、牡丹燕菜，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片不放回若第一和第二小组依次从中抽取一张，则这两组抽取的两张卡片正面写的是汴京烤鸭和红烧黄河鲤鱼的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求得这两组抽取的两张卡片正面写的是汴京烤鸭和红烧黄河鲤鱼的概率． 【详解】解：设汴京烤鸭、红烧黄河鲤鱼、炸紫酥肉、牡丹燕菜分别用A、B、C、D表示， 树状图如下所示： 由上可得，一共有12种等可能性，其中这两组抽取的两张卡片正面写的是汴京烤鸭和红烧黄河鲤鱼的可能性有2种， 这两组抽取的两张卡片正面写的是汴京烤鸭和红烧黄河鲤鱼的概率为， 故答案为： 9．小明将转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注偶数数字（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查几何概率，解题的关键是根据题意得出大于8的数字的个数及概率公式．用大于8的数字的个数除以总个数对应概率列出关于n的方程，解之可得． 【详解】解：∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是， ∴， 解得：， 故答案为：24． 10．一个不透明盒子中装有6个黑球和a个白球，这些球除颜色外都相同，经过若干次试验，发现“若从盒子中任意摸出一个球，恰是黑球”的概率为，则这个盒子中大约有白球 个． 【答案】9 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．根据黑球的个数和抽到黑球的概率可以求得球的总数，然后减去黑球个数即可得到白球个数． 【详解】解：由题意可得， 这个盒子中大约有白球：（个）， 故答案为：9． 三、解答题 11．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余都相同），其中黄球2个，蓝球1个，红球1个． (1)随机摸取一个球，摸到黄球的概率是___________； (2)第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率： （1）直接根据概率公式解答即可； （2）根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的有4种，再根据概率公式解答即可． 【详解】（1）解：随机摸取一个球，摸到黄球的概率是； 故答案为： （2）解：根据题意，列出表格，如下： 黄 黄 蓝 红 黄 （黄，黄） （蓝，黄） （红，黄） 黄 （黄，黄） （蓝，黄） （红，黄） 蓝 （黄，蓝） （黄，蓝） （红，蓝） 红 （黄，红） （黄，红） （蓝，红） 一共有12种等可能结果，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的有4种， 所以两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率． 12．一张长方形桌旁设有6个座位，甲、乙到达时，发现丙和丁已经先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人只能等可能性地坐到①②③④中的2个座位上． (1)甲坐在①号座位的概率是______； (2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．（如丙和丁，丙和①均称相邻而坐）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率的计算，包括单个事件的概率和复合事件的概率．概率计算公式为：概率＝所求情况数÷总情况数． （1）甲有4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在①号座位上，据此即可求解； （2）画出树状图，求得所有可能出现的结果数，以及甲与乙恰好相邻而坐的结果数，然后利用概率计算公式求解即可． 【详解】（1）甲有4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在①号座位上， 因此，甲坐在①号座位的概率是； 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，甲与乙恰好相邻而坐的结果有6种， ∴甲与乙相邻而坐的概率为． 13．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】(1) (2)小明后来放进了25个黑球 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）利用频率估计概率，再根据概率公式求出黑球的个数即可； （2）根据频率估计概率，设后来放进了个黑球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，估计摸一次球能摸到黑球的概率是， 故袋中黑球的个数约为（只）； 故答案为：； （2）由题意，放入一些黑球后，摸出黑球的概率为， 设后来放进了个黑球，则， 解得：； 答：小明后来放进了25个黑球． 14．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是___________．（精确到），由此估出红球有___________个． (2)现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】本题考查了求频率，求概率． （1）根据表格作答即可； （2）列出树状图求概率即可． 【详解】（1）解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，由此估出红球有2个． 故答案为：，2； （2）解：将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种， 则P（1个白球，1个红球）； 所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为． 15．学校举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后将参赛学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． (1)参加比赛的学生人数共有 名； (2)在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； (3)补全条形统计图； (4)组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)20 (2)72；40 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，画条形统计图，求扇形统计图的圆心角，列举法求概率等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用A等级的人数及百分比求出总人数； （2）根据D等级的人数除以总人数再乘以得到表示D等级的扇形的圆心角度数；根据C等级的人数除以总人数得到C等级所占百分比，从而求得的值； （3）用总人数减去其他几个等级的人数求出B等级的人数，补全统计图即可； （4）先利用列表法求出总数，再利用概率公式求概率． 【详解】（1）由表可知，A等级的人数为3人，占比， 参加比赛的学生人数共有名． 故答案为：20． （2）． 在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为． C等级占比，所以． 故答案为：72；40． （3）B等级人数为人． 补全条形统计图如图所示： （4）由题知，A等级中男生有1名，女生有2名，根据题意，列出表格如下： 共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，所以恰好是一男一女的概率为． 16．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格；（结果全部精确到0.1） (2)请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1)472；0.6 (2)0.6，0.6 (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数． （2）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是0.6． （3）可根据获得“洗衣粉”的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角． 【详解】（1）解：； ． （2）解：估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是0.6； 故答案为：0.6；0.6． （3）解：， 所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是． 17．为培养学生的兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶情操，展示学生才华，某中学结合学生兴趣与身心的发展特点，立足学校实际，开设了篮球、排球、足球、游泳等社团活动，要求每个学生只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_____人；请将条形统计图补充完整； (2)若该校共有2100名学生加入了社团，请估计这2100名学生中参加篮球社团的人数； (3)通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加市级新一轮比赛，请用画树状图或列表法求参加市级比赛的两人恰为一男一女的概率． 【答案】(1)450，图见解析 (2)估计这2100名学生中参加篮球社团的人数为560人 (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． （1）先根据参加游泳社团的人数为150人，占总调查人数的，求出抽样调查的总人数，再求出参加“足球”社团的学生的人数，即可求解； （2）用总人数乘以参加“篮球”社团的人数所占的百分比，即可求解； （3）根据题意，画出树状图，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：这次被调查的学生共有（人）． 故答案为450． 参加足球社团的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示： （2）解：（人）． 答：估计这2100名学生中参加篮球社团的人数为560人． （3）解：将两名男生分别记为，，将两名女生分别记为，， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中参加市级比赛的两人恰为一男一女的结果有： ，，，，，，，，共8种， 参加市级比赛的两人恰为一男一女的概率为． 18．数学文化有利于激发学生的数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史，从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级学生有800人，九年级学生有1000人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ (4)甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校了解其数学文化发展史，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】(1)88，87，40 (2)九年级学生数学文化知识较好，理由见解析 (3)640人 (4) 【分析】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b,用“1”分别减去其它组所占百分比可得m的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论； （3）用八、九年级人数分别乘八、九年级数学文化知识为“优秀”的人数所占百分比即可； （4）画出树状图，共有9种等可能的结果，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种，再由概率公式即可得出答案． 本题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）由题意可知，九年级C组有（人）， 把被抽取九年级10名学生的数学文化知识竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为88、88， ∴中位数， ∵在被抽取的八年级10名学生的数学文化知识竞赛成绩中，87分出现的次数最多， ∴众数，， ∴， 故答案为：88，87，40； （2）九年级学生数学文化知识较好，理由如下： 因为九年级学生成绩的中位数和众数比八年级的高，所以九年级学生数学文化知识较好； （3）（人）， 答：估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有人； （4）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种， ∴两人恰好选取同一所大学的概率为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十二章 概率初步（复习讲义） 1. 了解必然事件、不可能事件、随机事件的意义，体会事件类型与发生可能性、概率之间的整体联系。 2. 能用直接列举法、列表法、画树状图法列举等可能结果，用概率公式 P(A)= 计算概率。 3. 理解利用频率估计概率的方法，能利用频率估计概率解决实际问题。 知识点01 随机事件与概率 1. 事件的类型：必然事件是在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 2. 事件发生的可能性：必然事件发生的可能性为1；不可能事件发生的可能性为0；随机事件发生的可能性介于0和1之间。 3. 概率：对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 4. 概率的计算：如果在一次试验中，有n种可能的结果，且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=m/n，0≤P(A)≤1。 5. 事件发生的可能性与概率的关系：事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。 知识点02 用列举法求概率 1. 直接列举法：当事件涉及的对象比较单一且等可能结果数目较少时，可直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式P(A)=m/n求概率。 2. 列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的等可能结果数目较多时，常采用列表法。选其中一次操作或一个条件为横行，另一次操作或另一个条件为竖行，列出表格，再用概率公式计算。 3. 画树状图法：当一次试验涉及三个或更多个因素时，为不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法。 知识点03 利用频率估计概率 1. 在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A)=p。 2. 用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增加，频率会越来越接近概率。 题型一 事件的分类 【例1】下列事件中，是随机事件的是（　　） A．任意画一个三角形，其内角和是 B．是不等式的解 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D．从装满红球的袋子中取出白球 【变式1-1】下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（        ） A．一岁一枯荣 B．黄河入海流 C．手可摘星辰 D．处处闻啼鸟 【变式1-2】下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．买彩票中10万大奖 B．同位角相等 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．圆的直径平分任意一条弦 【变式1-3】下列事件是随机事件的是（ ） A．地球绕着太阳转 B．正八边形的每个外角的度数等于 C．明年清明节会下雨 D．在只装了黄球的盒子中，摸出红球 题型二 列举法求概率 【例2】有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ． 【变式2-1】如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 【变式2-2】从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ． 【变式2-3】在，，这三个数中任选两个数分别作为点的横坐标和纵坐标，过点画双曲线（为常数，），则该双曲线位于第一、三象限的概率是 ． 题型三 几何面积法求概率 【例3】如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留） 【变式3-1】某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 【变式3-2】如图，将一个微型机器人放置在封闭的圆形装置内部，圆形装置内部划分为三个区域，其中A、B两个区域为圆环，C区域为小圆．若微型机器人随机在装置内停止，则微型机器人停止在B区域的概率为 ． 【变式3-3】如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为 ． 题型四 列表法或树状图法求概率 【例4】某班体育爱好者小川和小红对于足球和篮球赛事比较热心，但小川更喜欢足球，小红更喜欢篮球，某日约定一起在家中观看球赛，家中只有一部电视，如果此刻有两个台同时播放篮球赛，另一个台播放足球赛，二人商定利用抽签的方式确定观看比赛． (1)如果将三个不同的台做成签，小川先抽，则他从三个签抽一个，抽到的是播放足球这个台的概率为 ； (2)若小红先抽，则小川抽到的是播放足球赛的这个台的概率． 【变式4-1】南昌某实验学校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了四大类社团活动（艺术社团、体育社团、文学社团、科技社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动． (1)“小华恰好选中文学社团”是______（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； (2)现从艺术社团里表现优秀的，，三名同学中随机选取两名同学参加比赛，请用列表法或画树状图法求出恰好选中和两名同学的概率． 【变式4-2】春节前夕，某商场举行“抽奖返现”促销活动，凡购物每满元，即可抽奖一次抽奖规则如下：在一个不透明的箱子中装有个红球、个黄球、个白球仅颜色不同，每次抽奖前将其摇匀后，抽奖者从中随机摸出个球，记下颜色后，放回若是红球，则获得奖金元；若是黄球，则得奖金元；若是白球，则为感谢参与无奖金． (1)若抽奖者从该箱子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是______； (2)王丹当天在该商场消费元，抽了两次奖，请用列表或画树状图的方法求她两次抽奖的和等于元的概率． 红 黄 白 白 红 （红，红） （红，黄） （红，白） （红，白） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 【变式4-3】春，是茶的盛事；茶，是景迈山给世人的馈赠．千年茶山年年春，世界遗产普洱景迈山2025年春茶季系列活动自3月下旬启幕，将持续至5月！其中，“醒春山”系列活动分为：A澜沧古茶“回家之旅”，B柏联寻茶之旅，C九泽茶窖春茶季大型活动．甲、乙两名同学准备前往一睹盛况，各自随机选择A、B、C三个活动中的一个，二人选择哪个活动不受任何因素影响，每一个活动被选到的可能性相同．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙选到不同活动的概率． 题型五 根据概率判断游戏的公平性 【例5】“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 【变式5-1】嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 后拿先拿 白 白 （白，白） （白，） （白，） （，白） （，） （，） （，白） （，） （，） 【变式5-2】小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【变式5-3】围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 题型六 概率在转盘抽奖中的应用 【例6】某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【变式6-1】某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【变式6-2】如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【变式6-3】九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 题型七 统计与概率综合应用问题 【例7】我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是   ( 填“全面调查”或“抽样调查”)； (2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数； (3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率． 【变式7-1】北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选项），制作了如下统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人； (2)补全条形统计图； (3)把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为单板滑雪的概率． 【变式7-2】某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如下所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． (1)本次抽取调查学生共有______人，其中组的学生人数为______． (2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数． (3)小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 【变式7-3】新学期伊始，某校运用今年流行的“：龙行龘龘（da），：前程朤朤（lāng），：德行垚垚（yáo），：身体骉骉（biāo）”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取__________人； (2)将条形统计图补充完整； (3)学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 题型八 求某事件的频率 【例8】今天的日期是20250113，在这串数字中，“0”出现的频率是 ． 【变式8-1】已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【变式8-2】每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.948 0.951 0.950 【变式8-3】某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 题型九 用频率估计概率 【例9】通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为 ． 【变式9-1】某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）． 【变式9-2】如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001） 题型十 用频率求数量/面积 【例10】一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共20张．随机从箱子里摸出1张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，由此估计箱子中蓝色卡片有 张． 【变式10-1】在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有 个白球． 【变式10-2】七年级某班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有9个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个． 【变式10-3】小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为 ． 题型十一 用频率估计概率的综合应用 【例11】工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【变式11-1】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【变式11-2】下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的_______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【变式11-3】在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中________；________； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到）； (3)估计袋子中有白球________个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球________个． 基础巩固通关测 一、单选题 1．“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”这个事件是（   ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件 2．下列说法错误的是（　　） A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 B．不可能事件发生机会为0 C．买一张彩票会中奖是可能事件 D．一件事发生机会为，这件事就有可能发生 3．不透明袋中装有形状、大小相同的红球、黄球和蓝球共100个，小强通过多次摸球试验后，发现摸到三种球的频率如图所示，则估计袋中红球的数目为（    ） A．25 B．35 C．40 D．75 4．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 5．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ）    A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上 B．任意写一个整数，它能被2整除 C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 D．从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃” 二、填空题 6．从，，这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 ． 7．盒子里有红球6个、白球5个、蓝球4个、黄球3个、绿球2个、黑球1个，每个球的大小、质量都相同．现在从盒子里任意摸出1个球，摸出的是黑球的可能性 ，摸出的是红球的可能性 ．（填“大”或“小”） 8．某生物实验室为研究果蝇的基因遗传特性，对培养皿内的果蝇群体进行抽样统计．培养皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇，实验通过多次随机抽样（每次抓取后放回并摇匀），统计携带显性基因标记果蝇的频率，实验数据记录如下： 实验次数 100 300 500 700 900 1000 1100 携带显性基因标记果蝇 43 138 226 319 408 451 495 频率 0.43 0.46 0.452 0.456 0.453 0.451 0.45 通过实验，估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为 ． 9．如图，这是由16个边长为1的小正方形组成的图形，已经有3个小正方形被涂色，再涂一个小正方形，能使它和已知阴影部分组成的图形为中心对称图形的概率是 ，能使它和已知阴影部分组成的图形为轴对称图形的概率是 ． 10．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后指针指在分界线时重转，指针指向的数字之和为奇数的概率是 ． 1 2 3 4 5 4 5 6 5 6 7 三、解答题 11．端午节期间，小军和小新准备到沈阳的张氏帅府（记为）、故宫（记为）、北陵公园（记为）中的一个景点去游玩，他们各自在这三个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同． (1)小军选择去故宫（）旅游的概率是 ； (2)试用画树状图或列表的方法求小军和小新都选择去北陵公园（）旅游的概率． 小新 小军    12．为弘扬中华民族传统文化，某中学举办了“国学经典大赛”，比赛项目为：唐诗、宋词、论语、道德经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)李明参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“唐诗”的概率P为______； (2)刘伟平和唐红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则他们都没有抽到“道德经”的概率是多少？利用列表法或树状图加以说明 13．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 14．从一副52张（没有大小王）的扑克中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据： 实验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100 出现方块的频率 (1)填空：______，______； (2)从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是______； (3)将这副扑克中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张，其中A表示1，表示11，表示12，表示13）取出，将这13张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由． 15．第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某高校为了了解学生对亚运会的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图； (2)求A所在扇形的圆心角度数； (3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，直接写出甲、乙同时被选中的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁 丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁 丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 能力提升进阶练 一、单选题 1．“若、异号，则”这一事件是（   ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定事件 2．下列说法正确的是（    ） A．打开电视机，正在播放“中央新闻”，是必然事件 B．某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票一定有1张中奖 C．从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件 3．寒假期间，伶伶和俐俐结伴去郑州旅游，两人从“只有河南”“二七纪念塔”“河南省科技馆”“郑州绿博园”四个景点中随机抽取个进行游玩，现将四个景点的照片背面向上放置（背面完全相同），伶伶先从中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，俐俐再从剩余的照片中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，则两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的概率为（   ） A． B． C． D． 4．七巧板是我国古代的一项发明，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ）． A． B． C． D． 5．小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 二、填空题 6．一个不透明的袋子里有4个黄球和若干个白球，它们除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，若摸到黄球的概率为，则袋子中一共有 个球． 7．从 ，1，2，3这四个数中任取两个不同的数作为一次函数的系数k、b，所得一次函数的图象不经过第四象限的概率是 ． 1 2 3 1 2 3 8．河南的美食不仅味道鲜美，而且承载着丰富的历史文化内涵，其中汴京烤鸭、红烧黄河鲤鱼、炸紫酥肉、牡丹燕菜是河南的几道优质名菜．某数学小组现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有汴京烤鸭、红烧黄河鲤鱼、炸紫酥肉、牡丹燕菜，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片不放回若第一和第二小组依次从中抽取一张，则这两组抽取的两张卡片正面写的是汴京烤鸭和红烧黄河鲤鱼的概率为 ． 9．小明将转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注偶数数字（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为 ． 10．一个不透明盒子中装有6个黑球和a个白球，这些球除颜色外都相同，经过若干次试验，发现“若从盒子中任意摸出一个球，恰是黑球”的概率为，则这个盒子中大约有白球 个． 三、解答题 11．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余都相同），其中黄球2个，蓝球1个，红球1个． (1)随机摸取一个球，摸到黄球的概率是___________； (2)第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率． 黄 黄 蓝 红 黄 （黄，黄） （蓝，黄） （红，黄） 黄 （黄，黄） （蓝，黄） （红，黄） 蓝 （黄，蓝） （黄，蓝） （红，蓝） 红 （黄，红） （黄，红） （蓝，红） 12．一张长方形桌旁设有6个座位，甲、乙到达时，发现丙和丁已经先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人只能等可能性地坐到①②③④中的2个座位上． (1)甲坐在①号座位的概率是______； (2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．（如丙和丁，丙和①均称相邻而坐）． 13．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 14．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是___________．（精确到），由此估出红球有___________个． (2)现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 15．学校举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后将参赛学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． (1)参加比赛的学生人数共有 名； (2)在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； (3)补全条形统计图； (4)组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率． 16．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格；（结果全部精确到0.1） (2)请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 17．为培养学生的兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶情操，展示学生才华，某中学结合学生兴趣与身心的发展特点，立足学校实际，开设了篮球、排球、足球、游泳等社团活动，要求每个学生只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_____人；请将条形统计图补充完整； (2)若该校共有2100名学生加入了社团，请估计这2100名学生中参加篮球社团的人数； (3)通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加市级新一轮比赛，请用画树状图或列表法求参加市级比赛的两人恰为一男一女的概率． 18．数学文化有利于激发学生的数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史，从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级学生有800人，九年级学生有1000人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ (4)甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校了解其数学文化发展史，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $