5.3 第1课时 形积问题（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步备课（北师大版2024）

3　一元一次方程的应用

第1课时　形积问题

1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.

2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用.

3.用实例对一些数学猜想做出检验，提高学生发现问题和解决问题的能力.

重点：通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.

难点：通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力.

　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

一、情境导入

一种牙膏出口处直径为5 mm，子昂每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次.该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，子昂还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这支牙膏能用多少次呢？

二、合作探究

探究点一：等长变形问题

用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2（π－2） m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.

解析：本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长.

解：设圆的半径为r m，

则正方形的边长为[r＋2（π－2）] m.

则有2πr＝4（r＋2π－4）.解得r＝4.

所以铁丝的长为2πr＝8π（m）.

所以圆的面积是π×42＝16π（m2），正方形的面积为[4＋2（π－2）]2＝4π2（m2）.

因为16π>4π2，所以圆的面积大.

答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大.

　　方法总结：形状、面积不同，而周长相同可根据题意列出关于周长的等量关系式.解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程.

探究点二：等体积变形问题

用直径为90 mm的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131 mm，高度是81 mm的长方体钢锭.问需要截取多长的一段圆钢？（结果保留π）

解析：圆钢由圆柱体变为长方体，形状变了，但体积不变.

解：设截取圆钢的长度为x mm.

根据题意，得π（）2x＝131×131×81，