培优04 反比例函数章末15题型归类（专项训练）数学人教版九年级下册

培优04 反比例函数章末15题型归类 题型1 反比例函数的定义 在反比例函数中，与自变量x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可. [易错点]忽视这个条件，而得到错误结论. 1．（2025·云南临沧·一模）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 3．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 题型2 待定系数法求反比例函数解析式 由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 5．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）已知反比例函数的图像经过中的两点，则反比例函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·浙江·期末）若反比例函数的图像经过点，则图像必经过的点是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． 8．（2025·河南·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于另一点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，． (1)求反比例函数的解析式； (2)请判断四边形的形状，并说明理由． 题型3 反比例函数的性质 9．（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（   ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值随的增大而增大 10．（2025·江苏苏州·二模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·陕西·模拟预测）若反比例函数，，当时，函数的最小值是，函数的最大值是，则 ． 13．（24-25九年级下·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点． (1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (2)点是否在这个函数的图象上？ 14．（2025·湖北·二模）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为、，与相交于点． (1)由图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证； (2)若四边形的面积为2，求的值． 题型4 根据反比例的性质求参数 15．（2025·天津·二模）已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 16．（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 17．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·江苏南京·二模）已知反比例函数（为常数，），当时，的最大值与最小值的差为2，则 ． 19．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为 ． 20．（2025·贵州毕节·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 21．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知反比例函数． (1)当函数图象位于第一、三象限，求m的取值范围； (2)在每一象限内，y随x的增大而增大，求m的取值范围． 题型5 函数图像的综合判断 这类型的题型特点就是在题目提供的一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图像. 22．（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）已知抛物线开口向上，对称轴为直线，且与x轴的一个交点在0到1之间，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 23．（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 24．（2025·湖南邵阳·三模）如图，一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中，，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·山东青岛·二模）二次函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 题型6 探究新函数的图像与性质 26．（2024·山西·模拟预测）下面是小明同学的数学学习笔记，请按要求完成相应的任务． 我们今天学习了反比例函数的图象和性质，我仿照反比例函数的研究方法，对函数的图象和性质进行了深入研究，我的思考如下： 反比例函数的研究思路：在知道反比例函数的定义及一般形式的基础上，先通过描点法画出某些具体函数的图象，然后观察函数图象并结合函数表达式总结规律，从而得到反比例函数的性质． 模仿这样的研究思路，我决定对函数的性质进行研究． 首先用描点法去分别画出函数和的图象． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … — 6 3 2 1 … … — a 3 2 b … 通过描点、连线得到如下图像 然后，观察图像得到函数的性质有： 性质一：函数的图象由两条曲线组成，故可以称作双曲线； 性质二：函数的图象是由函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度得到的； …… 任务：(1)填空：__________，__________． (2)在上述研究过程中，涉及到的数学思想有__________．（多选） A．分类讨论思想    B．统计思想    C．数形结合思想    D．类比思想 (3)①根据所画图象再写一条函数的性质； ②如图3所示为函数的图象，请仿照函数的性质二写出一条函数的性质． (4)已知函数与函数的图象交于A，B两点，点A在点B的左侧，请在图2中画出函数的图象，连接OA，OB，并直接写出的面积以及不等式的解集． 27．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中 ； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像请你把图像补充完整． 1 2 3 1 2 4 4 2 (2)通过观察图象，写出该函数的两条性质： ① ；      ② ． (3)若点在函数的图象上，在函数的 图象的第一象限内是否存在点Q，使得的面积为， 若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由． 28．（2023·山东临沂·一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：(1)绘制函数图像，如图． 列表： x … … y … … 描点，连线得到函数图像： (2)观察图像并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x增大而__________；（填“增大”或“减小”） ②函数的图像是由函数的图像向__________平移_____个单位长度而得到； ③函数的图像关于点__________成中心对称；（填点的坐标） (3)设、是函数的图像上的两点，且，试求的值． 29．（22-23九年级上·河南郑州·期末）小吕在学习了反比例函数知识后，结合探究反比例函数图像与性质的方法，对新函数及其图像进行如下探究． (1)自变量x的取值范围是______，x与y的几组对应值如表： x … 1 2 3 4 5 … y … 1 0 m … 其中m＝______．（结果保留根号） (2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质：______． (3)当时，x的取值范围为______． 题型7 反比例系数k的几何意义 过反比例函数图像上的任意一点P作x轴、y轴的垂线，则可得: 1）两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积等于. 2）所作垂线、x轴(或y轴)与线段OP围成的三角形的面积等于. 反之亦成立，常应用该几何意义来确定反比例函数的解析式或进行相应面积的计算、比较等. 30．（2025·江西赣州·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 31．（2025·甘肃武威·一模）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 32．（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数 图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为 ． 33．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 34．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中．反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，连接，，，则的面积为 ． 35．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点，若，则 36．（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接． （1） （填“>”“<”或“=”）． （2）若，则 ．    37．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 38．（2025·贵州铜仁·三模）如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 39．（2025·江西宜春·模拟预测）如图，点A，B是双曲线（k为正整数）与直线的交点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程的两根． (1)填表： k 1 2 3 … n（n为正整数） 点A的横坐标 点B的横坐标 (2)当（n为正整数）时，试求直线的解析式（用含n的式子表示）； (3)当时，的面积依次记为，…，当时，求双曲线的解析式． 题型8 反比例函数对称问题 40．（浙江杭州萧山区高桥初中教育集团2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试卷）如图，矩形对角线交于坐标原点，且顶点均在反比例函数的图象上，设，则矩形的面积为 ． 41．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知对于双曲线，在其上始终存在两点，使得关于直线对称，则下列关于双曲线说法正确的是（   ） A．双曲线E是不具有对称轴的中心对称图形 B．双曲线E是中心对称图形且有一条对称轴 C．双曲线E是具有两条对称轴的轴对称图形 D．双曲线E的自变量能够保证连续性 42．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，过原点的直线交双曲线于点和点，点的坐标为，点是双曲线上异于点的动点，且点在第一象限，作直线交双曲线于点．连结，，，． (1)以下是小明同学探究四边形是平行四边形的过程，请你补充完整： 双曲线关于原点成中心对称，且过原点的直线与双曲线交于点和点， ___________． 同理． 四边形是平行四边形．___________ (2)问题探究： ①是否可能为矩形？请说明理由． ②是否可能为菱形？请说明理由． (3)当的面积为18时，求点的坐标． 题型9 反比例函数与一次函数交点问题 当直线与坐标轴既不重合也不平行时，将反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数. 43．（2025·广东韶关·二模）已知点是反比例函数和一次函数上的一点，则点到原点的距离为 ． 44．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是 ． 45．（2024·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ． 46．（2023·内蒙古·一模）如图，直线与双曲线相交于A、B两点，与x轴相交于点C， ．若将直线沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线有且只有一个交点，则n的值为 ． 题型10 反比例函数与一次函数面积问题 ①坐标系中求几何图形面积的问题，一般要寻找图形中和坐标轴平行、垂直或重合的线段.如果没有这样的线段，就要对这样的图形进行割或补，简称“割补法求面积”.②已知图形面积等 于知道固定值求动点坐标，一般有多种情况. 47．（2025九年级下·四川甘孜·专题练习）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 48．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）直线与反比例函数的图像分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的函数表达式； (2)观察图像，当时，直接写出的解集， (3)若点是轴上一动点，当的面积是8时，求出点的坐标． 49．（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 50．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式． (2)当时，x的取值范围是_________． (3)点是线段上一点，过点作轴于点，交反比例函数于点，设点的横坐标为．设当为何值时，的面积最大？并求出最大值．． 题型11 反比例函数与实际问题 51．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 52．（24-25九年级上·重庆·期末）【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡的亮度，实验电路图如图所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（）（串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据表： 电阻 电流 (1)根据实验结果，填空：______，______，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：______（）； (2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：______； (3)【深入探究】 已知一次函数，结合（）中函数图象分析，请直接写出当时的取值范围：______． 53．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ． 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像． （1） 根据光路图①可知， 当时， ； （2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图； 任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式； 任务三：根据任务二的关系式得出表： 物距x/ cm 8 10 12 14 16 像高y/ cm 12 6 4 m 2.4 （1） ； （2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象； 54．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 题型12 反比例函数中的平行与相等 55．（河南省洛阳市汝阳县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 56．（江苏省盐城市射阳县盐城中学新洋分校2021-2022学年八年级下学期5月月考数学试题）【感知】 如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交x轴于点E，轴交y轴于点F，则______；_______；与的位置关系：_______． 【探究】数学社团的同学们对上述问题又时行了思考，如图2，当A，B是双曲线同一支上任意两点，过A，B分别向y轴，x轴作垂线，交y轴于点E，交x轴于点F，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由． ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】如图3，已知点A、B在反比例函数的图像上，且，B是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点A作轴，过点B作轴，垂足分别分为E，F，若四边形的面积为20，求点B的坐标．（提示，可直接运用上述所发现的结论，答案见公众号：绿爱生活） 【拓展】如图4，函数的图像与过原点O的直线相交于B、D两点，点A是第一象限内图像上的动点（点A在点B的左侧），直线分别交于y轴、x轴于点C、E，连接分别交y轴、x轴于点M、N．若，则______． 57．（四川省达州市渠县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________． 【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由； ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标； 【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？ 58．（江苏宿迁市省沭阳县如东实验中学2023—2024学年下学期期末八年级数学试卷　）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 题型13 反比例函数与三角形存在性问题 59．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，若． (1)求和的值； (2)点是轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出符合题意的点的坐标． 60．（2022·四川德阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（且）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与x轴的正半轴交于点F，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)若点M为一次函数图象上的动点（不与F，C重合），问：是否存在点M，使是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 61．（2025·湖北·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 62．（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 63．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 题型14 反比例函数与四边形存在性问题 64．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接． (1)m，k，b；(2)求的面积； (3)若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 65．（2025·四川达州·三模）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求点的坐标； (2)线段在轴上运动，且点在点右侧，求四边形周长的最小值； (3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 66．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． (1)求k的值； (2)连接，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型15 反比例函数与几何综合 把反比例函数与平面几何综合在一起，即在平面直角坐标系中，研究直线、双曲线与三角形、四边形、圆之间的关系，从而沟通了代数、几何之间的内在联系.这类题综合性强，需要灵活运用所学知识来解决. 67．（四川省泸州市龙马高中2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)过点作直线，交该反比例函数图象于另一点，交轴于点，连接，若 ，求的长． (3)是轴上一点，满足最大，直接写出点的坐标． 68．（2025·江苏泰州·三模）已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点， (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长； (3)点是反比例函数图象上、间的一个动点（不与，重合），过作 轴，交图形于，求的最大值． 69．（2025·甘肃武威·模拟预测）（1）如图1，已知与的面积相等， 试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图2，点M，N在反比例函数（）在第一象限的图象上，过点M作轴，过点N作轴，垂足分别为E，F． ①证明：． ②当点M、N的坐标符合什么条件时，四边形是等腰梯形？ 70．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上． (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优04 反比例函数章末15题型归类 题型1 反比例函数的定义 在反比例函数中，与自变量x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可. [易错点]忽视这个条件，而得到错误结论. 1．（2025·云南临沧·一模）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，根据反比例函数的定义逐一分析各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，为一次函数，形如（），不符合反比例函数的形式； B：，可变形为，符合反比例函数的形式，其中； C：，直接符合的形式，其中； D：，可改写为，符合反比例函数的形式，其中； 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海·期中）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【答案】C 【分析】本题考查了反比例．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系． 【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系,故A错误； B、等边三角形的面积与它的边长不成反比例关系；故B错误； C、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故C正确； D、长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b不成反比例关系；故D错误. 故选：C 3．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)时，． 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 题型2 待定系数法求反比例函数解析式 由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 5．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）已知反比例函数的图像经过中的两点，则反比例函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质（为反比例函数的比例系数，图象上点的坐标满足该等式 ）．解题关键是利用 “反比例函数图象上点的横、纵坐标之积等于k” 这一性质，通过计算不同点对应的k值，找出符合条件的k，进而确定函数解析式，核心是对反比例函数k的几何意义（）的理解与运用．对于反比例函数的性质是图象上任意一点都满足，据此回答即可． 【详解】解：计算各点对应k值： 对于，将代入，得 ； 对于，将代入，得 ； 对于，将代入，得 。 由于反比例函数图象只能经过两点，而两点对应的k值一致，说明函数经过两点，所以， 反比例函数解析式为 故选：B． 6．（24-25八年级下·浙江·期末）若反比例函数的图像经过点，则图像必经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标特征，先求出比例系数k，再验证各选项是否满足函数解析式． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式 ，得：， ∴。 因此，函数解析式为 ， A、代入 ，得 ，与点的纵坐标一致，符合条件； B、代入 ，得 ，与点的纵坐标不一致，不符合； C、代入 ，得 ，与点的纵坐标不一致，不符合； D、代入 ，得 ，与点的纵坐标6不一致，不符合． 故选：A． 7．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解. 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵点，在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. 8．（2025·河南·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于另一点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，． (1)求反比例函数的解析式； (2)请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图像和性质，反比例函数图像是关于原点中心对称的，平行四边形的判定； （1）将代入解析式即可求出k； （2）由反比例函数图象的对称性可知点B的坐标，再利用对边平行且相等的四边形是平行四边形来判断四边形的形状. 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， 代入得，解得， ∴反比例函数的解析式为. （2）解：四边形ACBD是平行四边形，理由： ∵轴，轴， ∴， ∵点A的坐标为，延长交反比例函数的图象于另一点B， ∴由反比例函数图象的对称性可知，点B的坐标为， ， ∴四边形ACBD是平行四边形． 题型3 反比例函数的性质 9．（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（   ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项． 【详解】解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意； B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意； C、当时，，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 10．（2025·江苏苏州·二模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的增减性，对应反比例函数，时，在同一个象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 由反比例函数的性质可知，在同一个象限内，y随x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴在同一个象限内，y随x的增大而增大， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴点，在第四象限， ∴． 故选：A． 11．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据函数所在象限判断出，，，再利用取特殊值的方法得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，，，， 结合图象可得，当时，有， 故， 故选：D． 12．（2025·陕西·模拟预测）若反比例函数，，当时，函数的最小值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质求出m，n的值是解题的关键，根据反比例函数的性质，可得函数的最值，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】解：∵反比例函数，，且 ∴把分别代入， 得 ∴的最小值是， ∴把分别代入， 得 ∴的最大值是， ∴， ∴， 故答案为：1． 13．（24-25九年级下·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点． (1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (2)点是否在这个函数的图象上？ 【答案】(1)这个函数的图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小 (2)点在函数图象上，点不在函数图象上 【分析】本题考查反比例函数点性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是解题关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质解答，即可求解； （2）分别把点B，C，D三点的横坐标代入函数解析式，然后比较即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把点代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴这个函数的图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴点在函数图象上，点不在函数图象上． 14．（2025·湖北·二模）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为、，与相交于点． (1)由图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证； (2)若四边形的面积为2，求的值． 【答案】(1)，验证见详解 (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可得，再将点、代入反比例函数的解析式，分别求出、的值，由此即可加以验证； （2）根据矩形的判定与性质可得，再根据点A、B的坐标可得，从而可得，因此，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：， 验证如下： 由反比例函数的图象可知， 当时，；当时，， ，， ， 即； （2） 轴，轴，， 四边形是矩形， ， 、， ， ， 解得， ， 将点代入得：． 题型4 根据反比例的性质求参数 15．（2025·天津·二模）已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由于反比例函数可知图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解， 熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数可知，图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵点、均在函数的图象上，且， ∴点、不在同一象限，则点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． 16．（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． 17．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象增减性与的关系是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质，当反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，得到，解得，从而得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大， ，解得． 故选：D． 18．（2025·江苏南京·二模）已知反比例函数（为常数，），当时，的最大值与最小值的差为2，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．分两种情况讨论，利用反比例函数的增减性分别列方程求解即可． 【详解】解：①若，则反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 当时，的最大值与最小值的差为2， ， 解得：； ②若，则反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， 当时，的最大值与最小值的差为2， ， 解得：； 综上可知，， 故答案为：． 19．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象及其性质，完全平方公式．根据多项式是一个完全平方式得，再根据反比例函数的图象位于第二、四象限得，由此解得，据此可得出的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ， 故答案为：． 20．（2025·贵州毕节·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义． 21．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知反比例函数． (1)当函数图象位于第一、三象限，求m的取值范围； (2)在每一象限内，y随x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． （1）根据反比例函数的图象在第一、三象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）根据反比例函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）解：∵在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 题型5 函数图像的综合判断 这类型的题型特点就是在题目提供的一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图像. 22．（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）已知抛物线开口向上，对称轴为直线，且与x轴的一个交点在0到1之间，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质判断出，，，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵其对称轴为直线， 即， ∴， ∴， ∴，， ∵与x轴的一个交点在0到1之间， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数的图象过一、二，三象限，且与y轴的交点为， 反比例函数的图象过二，四象限， 故选：A 23．（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，根据反比例函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系进行解答即可，熟练掌握相关函数图象与其系数的关系是关键． 【详解】解：一次函数图象经过第一、二、四象限， ，即， 反比例函数的图象在第二四象限， ， ，，， 函数图象开口向下，对称轴为直线，在轴左侧，与轴交点在负半轴，选项A符合． 故选：A． 24．（2025·湖南邵阳·三模）如图，一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中，，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，根据点的坐标可得，进而根据二次函数和反比例函数图象可判断的符号，再逐项判断即可求解，解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息． 【详解】解：∵， ∴一次函数与二次函数的交点的坐标为， ， ， ∵抛物线开口向上， ∴， ， ∵反比例函数图象经过第一、三象限， ， A、∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故A选项正确； B、， ， 又∵， ∴， 不成立， 故B选项错误； C、，， ， 故C选项错误； D、由二次函数和反比例函数图象知，当时，，即， ，， ， 故D选项错误； 故选：A． 25．（2025·山东青岛·二模）二次函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质等知识点，熟知函数的系数对函数图象是解题的关键． 先根据二次函数图象确定，，再分别函数与在同一直角坐标系内的大致图象即可解答． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一，二，四象限，即选项B符合题意． 故选：B． 题型6 探究新函数的图像与性质 26．（2024·山西·模拟预测）下面是小明同学的数学学习笔记，请按要求完成相应的任务． 我们今天学习了反比例函数的图象和性质，我仿照反比例函数的研究方法，对函数的图象和性质进行了深入研究，我的思考如下： 反比例函数的研究思路：在知道反比例函数的定义及一般形式的基础上，先通过描点法画出某些具体函数的图象，然后观察函数图象并结合函数表达式总结规律，从而得到反比例函数的性质． 模仿这样的研究思路，我决定对函数的性质进行研究． 首先用描点法去分别画出函数和的图象． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … — 6 3 2 1 … … — a 3 2 b … 通过描点、连线得到如下图像 然后，观察图像得到函数的性质有： 性质一：函数的图象由两条曲线组成，故可以称作双曲线； 性质二：函数的图象是由函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度得到的； …… 任务： (1)填空：__________，__________． (2)在上述研究过程中，涉及到的数学思想有__________．（多选） A．分类讨论思想    B．统计思想    C．数形结合思想    D．类比思想 (3)①根据所画图象再写一条函数的性质； ②如图3所示为函数的图象，请仿照函数的性质二写出一条函数的性质． (4)已知函数与函数的图象交于A，B两点，点A在点B的左侧，请在图2中画出函数的图象，连接OA，OB，并直接写出的面积以及不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3)函数的图象与轴交点为；函数的图象与轴无限靠近，但不相交（答案不唯一）；函数是由图象沿向右平移个单位； (4)；不等式的解集为或． 【分析】本题考查了新定义函数，反比例函数，掌握函数图象与性质是解题的关键． （）把和，分别代入即可求解； （）即可数学思想方法即可求解； （）根据函数图象即可求解； 根据函数图象平移即可求解； （）设直线与轴交于点，由题意联立方程，解得，，则，，根据函数图象即可求出不等式的解集，由得当 ，则，然后通过的面积为，再代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，； 故答案为：，； （2）解：在上述研究过程中，涉及到的数学思想有：数形结合思想和类比思想， 故选：； （3）解：函数的图象与轴交点为；函数的图象与轴无限靠近，但不相交； 函数是由图象沿向右平移个单位； （4）解：如图，设直线与轴交于点， 由题意联立方程：，解得：，， ∴，， ∴根据图象可得不等式的解集为或， 由得当 ， ∴， ∴， ∴的面积为 ． 27．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中 ； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像请你把图像补充完整． 1 2 3 1 2 4 4 2 (2)通过观察图象，写出该函数的两条性质： ① ；      ② ． (3)若点在函数的图象上，在函数的 图象的第一象限内是否存在点Q，使得的面积为， 若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)1，画图见解析 (2)函数图象关于轴对称，函数值（答案不唯一） (3)或． 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）将代入求解，根据表格所给点作图． （2）观察图象即可得出函数的性质． （3）把代入得，，求得，设，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入得， ， 把图象补充完整如图所示； 故答案为：1； （2）解：①函数图象关于轴对称， ②函数值， 故答案为：函数图象关于轴对称，函数值（答案不唯一）； （3）解：把代入得，， ， 设， 的面积为， ， 解得或，（舍去）或（舍去）， 或． 28．（2023·山东临沂·一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图像，如图． 列表： x … … y … … 描点，连线得到函数图像： (2)观察图像并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x增大而__________；（填“增大”或“减小”） ②函数的图像是由函数的图像向__________平移_____个单位长度而得到； ③函数的图像关于点__________成中心对称；（填点的坐标） (3)设、是函数的图像上的两点，且，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①减小；②下，1；③ ； (3)． 【分析】（1）列表、描点，用平滑的曲线进行连接即可； （2）根据图像进行解答即可； （3）将点代入解析式，结合进行计算即可． 【详解】（1）解：列表： x … 1 2 3 4 … y … 3 1 0 … 描点、连线，如图： （2）解：由图像知， ①当时，y随x增大而减小； ②， ∴函数的图像是由函数的图像向下平移1个单位长度而得到； ③∵的图像关于原点对称， ∴的图像关于对称． 故答案为：减小；下，1；； （3）解：把、代入函数得： ，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的图像的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图像，根据图像得到函数的性质是解题的关键． 29．（22-23九年级上·河南郑州·期末）小吕在学习了反比例函数知识后，结合探究反比例函数图像与性质的方法，对新函数及其图像进行如下探究． (1)自变量x的取值范围是______，x与y的几组对应值如表： x … 1 2 3 4 5 … y … 1 0 m … 其中m＝______．（结果保留根号） (2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质：______． (3)当时，x的取值范围为______． 【答案】(1)，， (2)图像见详解，y随x增大而减小； (3)． 【分析】（1）根据根式及分式有意义的条件即可得到答案，将代入函数即可得到m的值； （2）根据题目中的表描点即可画出图像，根据图像即可得到性质； （3）根据图表的得到与交点的交点，根据函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 时有意义， ∴自变量x的取值范围是， 当时，； （2）解： 由图像可得，y随x增大而减小； （3）解：由图表可得过点， 当时，， 由（2）得中 y随x增大而减小， ∵， ∴中y随x增大而增大， ∴的解集为：． 【点睛】本题考查函数自变量取值范围，函数图像上点的问题及函数图像解不等式，解题的关键是联立找到交点． 题型7 反比例系数k的几何意义 过反比例函数图像上的任意一点P作x轴、y轴的垂线，则可得: 1）两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积等于. 2）所作垂线、x轴(或y轴)与线段OP围成的三角形的面积等于. 反之亦成立，常应用该几何意义来确定反比例函数的解析式或进行相应面积的计算、比较等. 30．（2025·江西赣州·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义．理解反比例函数中的几何意义是解题的关键． 根据中的几何意义来求解即可． 【详解】解：由图可知，点对应的垂线段围成的矩形面积为， 点对应的垂线段围成的矩形面积也为， ． 故答案为：． 31．（2025·甘肃武威·一模）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义．连接，得到轴，则，由此即可得到答案． 【详解】解：连接， 轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 32．（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数 图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．先根据正比例函数与反比例函数的性质得出A，B两点关于原点对称，得到，继而，可得k值． 【详解】解：正比例函数图象与反比例函数 图象交于A，B两点， ，， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ， 故答案为： 33．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．先得出，根据反比例函数k值的几何意义得出，故，进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，，记交y轴于点C， ∵轴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴ 故答案为： 34．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中．反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，连接，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，矩形性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键． 先分别求得，，从而可求得，，进而求得，再求得，然后利用求出结果． 【详解】解：在反比例函数中， 当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵点D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ． 故答案为：． 35．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点，若，则 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，由得 ． 【详解】解：反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点， ， ， ， 故答案为：6． 36．（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接． （1） （填“>”“<”或“=”）． （2）若，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，矩形的性质，平行四边形的判断及性质，几何图形的面积公式等知识点，利用代数式求出各点坐标是解题的关键． 设点的坐标为，利用矩形的性质可得到和的坐标，代入反比例中可表示出和的坐标，再求出所在直线的解析式，进而求出的坐标，进而判断，用、、表示线段长，再利用三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为 ∵四边形为矩形 ∴， ∵点，在反比例函数上 ∴， ∴直线的解析式为 令，则， ∴，，，， ∴，， ∴ 令，则 ∴，∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：，(舍去)， 故答案为：=，8 37．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 38．（2025·贵州铜仁·三模）如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）先求得点的坐标，由轴，可求得点的坐标，由轴，得到点的纵坐标为，据此求解即可； （2）由（1）得，，同理点的坐标为，求得，，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 当时，，， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）得，，同理点的坐标为， ∴，， ∴． 39．（2025·江西宜春·模拟预测）如图，点A，B是双曲线（k为正整数）与直线的交点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程的两根． (1)填表： k 1 2 3 … n（n为正整数） 点A的横坐标 点B的横坐标 (2)当（n为正整数）时，试求直线的解析式（用含n的式子表示）； (3)当时，的面积依次记为，…，当时，求双曲线的解析式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合题． （1）根据k的值，即可得到一元二次方程的解，进而得到A点的横坐标，B点的横坐标； （2）根据当（n为正整数）时，A点的横坐标为1，B点的横坐标为，可得，运用待定系数法即可得出直线的解析式； （3）由（2）可知，直线与轴的交点，再根据当，即可得到，据此可得双曲线的解析式为． 【详解】（1）当时，方程的解为， 当时，方程的解为； 当时，方程的解为； 当时，方程的解为 点在第一象限，点在第三象限， 点的横坐标依次为； 点的横坐标依次为． 填表如下： k 1 2 3 … n（n为正整数） 点A的横坐标 1 1 1 … 1 点B的横坐标 … （2）设直线的解析式为， 由于，点都在双曲线上，可得， 解得 直线的解析式为； （3）由（2）可知，直线与轴的交点， 则， 解得，（不合题意，舍去），， ∵ ∴ ． 题型8 反比例函数对称问题 40．（浙江杭州萧山区高桥初中教育集团2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试卷）如图，矩形对角线交于坐标原点，且顶点均在反比例函数的图象上，设，则矩形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是反比例函数的性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数性质是解题关键，先求出点A、C坐标，设，由对称性得，根据求出点C坐标，作轴于点E，作轴于点F，证明，进而求出结论． 【详解】解：在反比例函数的图象上， 由对称性得 设，由对称性得， 在矩形中，， ， （此时为A点，舍去）， ， 作轴于点E，作轴于点F， ， 矩形对角线交于坐标原点， ， 故答案为：24． 41．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知对于双曲线，在其上始终存在两点，使得关于直线对称，则下列关于双曲线说法正确的是（   ） A．双曲线E是不具有对称轴的中心对称图形 B．双曲线E是中心对称图形且有一条对称轴 C．双曲线E是具有两条对称轴的轴对称图形 D．双曲线E的自变量能够保证连续性 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，反比例函数的对称性，反比例函数图象上的点的坐标特点，过点A作轴，交直线于G，连接，设，，可证明，得到，则可证明，，则，则关于直线对称的点A和点B一定在一个反比例函数图象上，据此可得答案． 【详解】解；过点A作轴，交直线于G，连接， 设，， ∵直线与x轴的夹角为， ∴由平行线的性质可得， ∵关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴关于直线对称的点A和点B一定在一个反比例函数图象上， ∴双曲线一定关于直线对称，且关于直线对称， ∵在中，， ∴四个选项中只有C选项正确，符合题意， 故选：C． 42．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，过原点的直线交双曲线于点和点，点的坐标为，点是双曲线上异于点的动点，且点在第一象限，作直线交双曲线于点．连结，，，． (1)以下是小明同学探究四边形是平行四边形的过程，请你补充完整： 双曲线关于原点成中心对称，且过原点的直线与双曲线交于点和点， ___________． 同理． 四边形是平行四边形．___________ (2)问题探究： ①是否可能为矩形？请说明理由． ②是否可能为菱形？请说明理由． (3)当的面积为18时，求点的坐标． 【答案】(1)；对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2)①是矩形，见解析；②不是，见解析 (3)或 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定．反比例函数系数的几何意义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据中心对称的性质得到．同理．根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； （2）①根据中心对称的性质得到，，于是得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； ②根据菱形的判定定理即可得到结论； （3）根据在双曲线上，求得．设，过点，分别作轴的垂线，交轴于点，．根据反比例函数系数的几何意义得到，同理可得，，根据平行四边形的性质得到，过点，分别作轴的垂线，交轴于点，．①当点在下方时，如图2．根据题意列方程即可得到结论；②当点落在上方时，如图3，根据题意得到方程即可得到或（舍去），于是得到结论． 【详解】（1）解：双曲线关于原点成中心对称，且过原点的直线与双曲线交于点和点， ． 同理． 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； 故答案为：；对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）①四边形可能是矩形． 点与点，点与点均关于原点对称， ，， 四边形是平行四边形， 当时四边形是矩形； ②平行四边形不可能为菱形， 因为点，都在第一象限，则， 即与不可能互相垂直， 则平行四边形不可能为菱形； （3）在双曲线上， ． 设， 过点，分别作轴的垂线，交轴于点，． 轴，点在反比例函数的图象上， ， 同理可得，， 平行四边形的面积为18， ， （3）在双曲线上， ． 设， 过点，分别作轴的垂线，交轴于点，． 轴，点在反比例函数的图象上， ， 同理可得，， 平行四边形的面积为18， ， ①当点在下方时，如图2． 四边形的面积， ， 解得或（舍去）， ； ②当点落在上方时，如图3， 四边形的面积的面积，四边形的面积四边形的面积的面积， 四边形的面积， ， 解得或（舍去）， ． 综上所述，点的坐标为或． 题型9 反比例函数与一次函数交点问题 当直线与坐标轴既不重合也不平行时，将反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数. 43．（2025·广东韶关·二模）已知点是反比例函数和一次函数上的一点，则点到原点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，联立函数解析式是解题的关键． 联立，整理得，结合题意可知，，利用勾股定理表示出，整体代入即可求解． 【详解】解：联立， 整理得：， ∵点是反比例函数和一次函数上的一点， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∴点到原点的距离为． 故答案为：． 44．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，联立两函数解析式得到对应的一元二次方程，根据函数无交点即对应的一元二次方程无解进行求解即可． 【详解】解：联立得， ∵函数的图象与直线没有交点， ∴方程没有解， ∴， ∴， 故答案为：． 45．（2024·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ． 【答案】12 【分析】该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点，解题的关键是理解题意． 联立一次函数与反比例函数解析式，根据题意得出，即可求解； 【详解】解：将代入得， 整理得， ∵反比例函数与一次函数的图象有且只有一个交点， ， 或0（舍去）， 故答案是：12． 46．（2023·内蒙古·一模）如图，直线与双曲线相交于A、B两点，与x轴相交于点C， ．若将直线沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线有且只有一个交点，则n的值为 ． 【答案】1 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征以及即可得出点B的纵坐标，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式，然后联立方程组，整理得，由题意，即，解方程即可求得． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入，得， ∴， ∴， 代入，得， ∴， ∵直线沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线有且只有一个交点， ∴有唯一的解， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，（不符合题意，舍去） 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式找出点B的坐标是解题的关键． 题型10 反比例函数与一次函数面积问题 ①坐标系中求几何图形面积的问题，一般要寻找图形中和坐标轴平行、垂直或重合的线段.如果没有这样的线段，就要对这样的图形进行割或补，简称“割补法求面积”.②已知图形面积等 于知道固定值求动点坐标，一般有多种情况. 47．（2025九年级下·四川甘孜·专题练习）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象的性质： （1）根据反比例函数的解析式求出A和B的坐标，代入一次函数的解析式求出k和b即可； （2）根据即可求解； （3）数形结合即可求解． 【详解】（1）解：点的横坐标是，点A在上， ∴点A的纵坐标为，即， ∵点的纵坐标都是，点B在上， ∴，解得B的横坐标为4，即， 将代入，得， 解得， 一次函数的解析式为：； （2）解：对于， 令，则， ∴ ，， ； （3）解：由图可知，使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的范围是：或． 48．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）直线与反比例函数的图像分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的函数表达式； (2)观察图像，当时，直接写出的解集， (3)若点是轴上一动点，当的面积是8时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数结合，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与坐标轴围成的面积问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数上的点的特点求得的值进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式即可； （2）根据反比例函数和直线在第一象限的图象直接求得直线在双曲线上方时，的取值范围即可； （3）根据（1）的解析式求得点的坐标，设P点坐标为，则，根据三角形面积公式求解即可，进而解绝对值方程求得的值，即可求得点的坐标． 【详解】（1）点和点在图象上， ，， 即， 把，两点代入中得 ， 解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵由（1）得点，点， ∴由图象可得当时，的解集为 （3）解：由（1）得直线的解析式为， 当时，， 点坐标为 设P点坐标为，则 的面积是8 ， ， ， 解得或， P的坐标为或， ∴点P的坐标为或时，的面积是8． 49．（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 50．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式． (2)当时，x的取值范围是_________． (3)点是线段上一点，过点作轴于点，交反比例函数于点，设点的横坐标为．设当为何值时，的面积最大？并求出最大值．． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)当时，的面积最大，最大值为 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数图象的性质，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象求最值的计算方法是解题的关键． （1）将点代入得出，进而求得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据的横坐标，结合函数图象，即可求解； （3）由题可知，，则进而表示出的面积，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， ． 当时，， ， 一次函数过，两点， ，解得． ， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）由图象可知： 当时，的取值范围是或． （3）由题可知，， ， ，， 当时，的面积最大，最大值为． 题型11 反比例函数与实际问题 51．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 52．（24-25九年级上·重庆·期末）【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡的亮度，实验电路图如图所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（）（串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据表： 电阻 电流 (1)根据实验结果，填空：______，______，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：______（）； (2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：______； (3)【深入探究】 已知一次函数，结合（）中函数图象分析，请直接写出当时的取值范围：______． 【答案】(1)，， (2)画图见解析，性质：当时，随着的增大而减小 (3) 【分析】（）根据即可求解； （）根据（）中表格数据及所得函数解析式可画出函数图象，再根据图象写出函数的性质即可； （）画出一次函数的图象，根据图象解答即可； 本题考查了反比例函数的应用，反比例函数与一次函数的交点问题，由题意得到反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：画函数图象如下： 由图象可得，当时，随着的增大而减小， 故答案为：当时，随着的增大而减小； （3）解：当时，；当时，， 画一次函数图象如下 由函数图象可得，当时的取值范围为， 故答案为：． 53．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ． 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像． （1） 根据光路图①可知， 当时， ； （2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图； 任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式； 任务三：根据任务二的关系式得出表： 物距x/ cm 8 10 12 14 16 像高y/ cm 12 6 4 m 2.4 （1） ； （2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象； 【答案】任务一：（1）；（2）图见详解；任务二：与的关系式是：；任务三：（1）3；（2）图见详解 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； 任务一：（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）根据题意可直接进行作图； 任务二：由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与的关系式； 任务三：（1）根据任务二可代值进行求解即可； （2）根据（1）及表格，结合描点、连线可作出函数图象． 【详解】解：任务一：（1）∵光轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由题意可得如图所示： 任务二：依题意得：四边形为矩形，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由任务一可知：，设， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴， 即与的关系式是：； 任务三：（1）由任务二可知：， 当时，， ； 故答案为：3． （2）由题意及（1）得：， 解得：， ∴， 将表格中的对应数据在直角坐标系中描点，再按照横坐标由小到大的顺序连线可得该函数的图象，如图所示： 54．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）； (2)y＝（x≥3）； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析． 【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可； （3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可． 【详解】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ， 解得：k=﹣2.5，b=12 ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12； （2）解：当x≥3时，设y=， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=， 解得k=13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ； （3）解：能，理由如下： 当x=15时，y==0.9， 因为0.9＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键． 题型12 反比例函数中的平行与相等 55．（河南省洛阳市汝阳县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)7.5 (3)见解析 【分析】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题的关键． （1）由的面积求出m的值，由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值； （2）先求出，再根据待定系数法求出直线的解析式为，进而确定，即可求解； （3）推出，，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：点代入得， 设直线的解析式为， 由得， ∴， 令得， ∴， ∴． （3）证明：∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 56．（江苏省盐城市射阳县盐城中学新洋分校2021-2022学年八年级下学期5月月考数学试题）【感知】 如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交x轴于点E，轴交y轴于点F，则______；_______；与的位置关系：_______． 【探究】 数学社团的同学们对上述问题又时行了思考，如图2，当A，B是双曲线同一支上任意两点，过A，B分别向y轴，x轴作垂线，交y轴于点E，交x轴于点F，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由． ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】 如图3，已知点A、B在反比例函数的图像上，且，B是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点A作轴，过点B作轴，垂足分别分为E，F，若四边形的面积为20，求点B的坐标．（提示，可直接运用上述所发现的结论，答案见公众号：绿爱生活） 【拓展】 如图4，函数的图像与过原点O的直线相交于B、D两点，点A是第一象限内图像上的动点（点A在点B的左侧），直线分别交于y轴、x轴于点C、E，连接分别交y轴、x轴于点M、N．若，则______． 【答案】【感知】1，1，；【探究】①，理由见解析；②；理由见解析；【运用】 【拓展】 【感知】反比例函数上有两点，，轴交x轴于点E，轴交y轴于点F，分别求出，，再分别过点A、B作EF的延长线的垂线，即、，垂足为M、N得到，利用三角形面积相等得到，即可得到四边形AMNB为平行四边形，最后利用平行四边形的性质求解；【探究】①设点A的坐标为，点B的坐标为，进而得到，，利用三角形面积求解；②分别过点A、B作EF的垂线，即、，得到，结合三角形面积相等求得，进而得到四边形AMNB为平行四边形，再根据平行四边形的面积求解；【运用】连接AF、BE，易求出点A的坐标，根据点是反比例函数的图象上，求出，结合面积求解；【拓展】过点A作轴，利用全等三角形的性质来求解． 【详解】解：∵反比例函数上有两点，，轴交x轴于点E，轴交y轴于点F， ∴，， ∴． 分别过点A、B作EF的延长线的垂线，即、，垂足为M、N， 则， ∴． ∵， ∴， ∴四边形AMNB为平行四边形， ∴； 故答案为：1，1，； 【探究】解：①． 理由如下： 设点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴，， ∵轴交y轴于点E，轴交x轴于点F， ∴，， ∴， ， ∴； ②． 理由如下： 分别过点A、B作EF的垂线，即、，垂足为M、N， 则， ∴． ∵， ∴， ∴四边形AMNB为平行四边形， ∴； 【运用】解：连接AF、BE． ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴． 设点， ∵点B是反比例函数的图象上， ∴． ∵轴， 轴， ∴，． ∵四边形的面积为20， ∴， ∴， ∴； 【拓展】解：过点A作轴，如下图． 则，，，， ，． ∵， ∴， ∴． ∵反比例函数的图像与过原点O的直线相交于B、D两点， ∴点D，B关于点O对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判断和性质．理解相关知识，作出辅助线是解答关键． ． 57．（四川省达州市渠县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________． 【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由； ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标； 【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？ 【答案】【感知】16，16，平行；【探究】①相等，②平行；【运用】；【拓展】． 【分析】【感知】如图，延长，交延长线于，根据点，坐标得出，，利用三角形面积公式求出、的值，得出和都是等腰直角三角形，可得，即可证明，可得答案； 【探究】①根据反比例函数的几何意义即可得出； ②根据得出对应高相等，可得四边形是矩形，即可证明； 【运用】连接，设，根据，可得，根据点在反比例函数图像上可求出的长，进而求出的值，即可得答案； 【拓展】作交于，作于，作于，根据平行线分线段成比例得出，根据反比例函数图像中心对称的性质得出，利用平行线分线段成比例即可得答案． 【详解】解：【感知】如图，延长，交延长线于， ∵轴，轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴与的位置关系为：平行． 故答案为：16，16，平行 【探究】①如图，连接、， ∵轴，轴， ∴，， ∴． ②过点作于，过点作于，则， ∵， ∴边上的高相等，即， ∴四边形是矩形， ∴． 【运用】如图，连接，设， ∵，， ∴， ∵点，在反比例函数的图像上，且， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【拓展】如图，作交于， ∵，， ∴， ∵是过原点的直线，点，在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质、反比例函数的几何意义、平行线的判定、等腰直角三角形的判定及矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 58．（江苏宿迁市省沭阳县如东实验中学2023—2024学年下学期期末八年级数学试卷　）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了平行线性质、平行四边形判定和等腰三角形判定，关键是利用题目中【性质认识】来得到判定平行四边形的条件，其次，是利用平行线性质，得到角度相等来得出等腰三角形边相等， （1）猜想关键是利用题目中【性质认识】，并结合平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （2）在四边形和四边形中，结合题目中【性质认识】，并利用平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （3）求解关键是作辅助线，过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，，利用题目中【性质认识】，在中得到，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∵， ∴； （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题求解的关键是借助题目中【性质认识】，合理作辅助线，结合平行四边形的判定条件与等腰三角形判定条件，来证明线段和角度相等，即可得出证明． 题型13 反比例函数与三角形存在性问题 59．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，若． (1)求和的值； (2)点是轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出符合题意的点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出，然后分；两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， ∵轴，， ∴点P的纵坐标为9， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得． （2）解：对于，当时，， ∴， ∴， 当时， ∴D的坐标为或，即或； 当时， 设， 则， 解得或（不符合题意，舍去） ∴D的坐标为， 综上，D的坐标为或或． 60．（2022·四川德阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（且）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与x轴的正半轴交于点F，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)若点M为一次函数图象上的动点（不与F，C重合），问：是否存在点M，使是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值为4或， (2)存在点M使是等腰三角形．这样的点有3个，它的坐标分别是； 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用相似三角形的判定和性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，求出直线与坐标轴的交点坐标，设，利用勾股定理求出等腰三角形的三边的平方，然后根据等腰三角形的性质分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得，， ∴m的值为4或； 反比例函数解析式为：； （2）解：存在点M，使是等腰三角形， 理由：∵轴，轴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入得， 解得，， ∴直线的解析式是：， ∵一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与x轴的正半轴交于点F， 当时；当时； ∴， ∵点M在一次函数上，设， ∴， ， ， 要使是等腰三角形，则应分三种情况， ①当时， ， 解得：， ∴， 此时，点M的坐标为； ②当时， ， 解得：， ∴， 此时，点M的坐标为； ③当时， ， 解得：， ∴， 此时，点M的坐标分别与点重合，与点M不与F，C重合相矛盾，故应舍去． 综合所述，存在点M使是等腰三角形．这样的点有3个，它的坐标分别是：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用等腰三角形的性质得出点的坐标，解一元二次方程，解题的关键是掌握反比例函数和一次函数的性质及分类讨论的数学思想． 61．（2025·湖北·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了待定系数法、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键． （1）先把代入，求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求解；（3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当点P在y轴上， 时，④，逐一分析，即可解答． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）∵点也在反比例函数的图象上， ∴． ∵点，都在一次函数的图象上， ∴， 解得． ∴一次函数的解析式为． 如图，设直线与x轴交于点C， ∴， ∴． ∵，， ∴ ． （3）当点P在x轴上时，设． ①如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ②如图，若，则，． ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为． ③当点P在y轴上时，设． 如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ④如图，若，，则 ，． ∵是直角三角形， ∴， 即， 解得， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或或或． 62．（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 63．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 题型14 反比例函数与四边形存在性问题 64．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接． (1)m，k，b； (2)求的面积； (3)若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合、函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、平行四边形性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）把代入一次函数可求得b的值；把代入可求得k的值，把代入可求得m的值； （2）先确定一次函数与y轴交点C的坐标，得长度，再根据三角形面积公式并结合A、B的坐标列式计算即可； （3）分依据、为邻边，、为邻边和、为邻边三种情况，分别利用平行四边形的对角线相互平分即可解答． 【详解】（1）解：把代入一次函数，得，解得：； 把代入，得，解得：， 把代入，得：，解得． （2）解：∵，当时， ∴ ， 又∵、， ∴． （3）解：如图：设， 当、为邻边时， 则，解得： ∴； 当、为邻边时，、， 则，解得：， ∴； 当、为邻边时，．、， 则，解得：， ∴． 综上，点坐标可为或或． 65．（2025·四川达州·三模）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求点的坐标； (2)线段在轴上运动，且点在点右侧，求四边形周长的最小值； (3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入直线与双曲线即可得出，，则点，再根据对称性可得点的坐标； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明得，进而得点，则，由此得当为最小时，四边形的周长为最小，作点关于轴对称点，过点作轴，且（点在点的右侧），连接，，，证明四边形是平行四边形得，则，根据“两点之间线段最短”得，则点，，在同一条直线上时，为最小，即为最小，根据对称性质可得，继而得到，然后利用勾股定理即可求出的长，可得四边形周长的最小值； （3）①当点在轴上上时，过点作轴于点，先求出，证明得，可得点的坐标；②当点在轴上时，过点作轴于点，证明得，可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于，两点，点的坐标为， ∴， 解得：， ∴，反比例函数的表达式为： ∵直线与双曲线都关于原点对称， ∴点，关于原点对称， ∴； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴点的纵坐标为， 对于，当时，， ∴， ∴， 当线段在轴上运动时，四边形的周长为：， ∴当为最小时，四边形的周长为最小， 作点关于轴对称点，过点作轴，且（点在点的右侧），连接，，，如图所示， ∴， ∵线段在上移动，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点，，在同一条直线上时，为最小，即为最小，如图所示， ∵，点与点关于轴对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形周长的最小值为； （3）存在，理由如下： ①当点在轴上上时，过点作轴于点，如图所示， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在轴上时，过点作轴于点，如图所示， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与正比例函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，反比例函数与正比例函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，两点间的距离，两点之间线段最短等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 66．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． (1)求k的值； (2)连接，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，四边形为菱形时，或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，两点之间距离公式，菱形的性质等知识点，难度较大． （1）先根据正比例函数解析式求出点A的坐标为，再将其代入，即可求解； （2）先求出直线，则，联立反比例函数解析式得到，过点分别作轴的垂线，垂足为，，则，再代入数据求解即可； （3）设，则，，，由于四边形为菱形，则为等腰三角形，再分三种情况讨论，列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得将代入，则， 解得， ∴点A的坐标为， 再将代入，则； （2）解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，， ∴ 设直线， 则， ∴， ∴直线， 则当时， ∴， ∴， 联立 整理得：， ， 解得：， ∴， 过点分别作轴的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ∵四边形为菱形， ∴为等腰三角形， ∴当时，则 解得：（舍）； 当时， 解得：或 ∴或； 当时，， 该方程无解， 综上：存在，四边形为菱形时，或． 题型15 反比例函数与几何综合 把反比例函数与平面几何综合在一起，即在平面直角坐标系中，研究直线、双曲线与三角形、四边形、圆之间的关系，从而沟通了代数、几何之间的内在联系.这类题综合性强，需要灵活运用所学知识来解决. 67．（四川省泸州市龙马高中2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)过点作直线，交该反比例函数图象于另一点，交轴于点，连接，若 ，求的长． (3)是轴上一点，满足最大，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点的坐标，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，可证 ，求出点的坐标，在中，根据勾股定理即可求解； （3）由题意作点关于轴的对称点，作直线交轴于，此时的值最大． 【详解】（1）解：点在直线上， ，则， 点， 点在双曲线上， ， 该反比例函数的表达式为； （2）解：由，得， 或， 当时，；时，， 点， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， 平行于， ， ， ， ． 点在双曲线上， ，且， 在中，，， ； （3）解：作点关于轴的对称点，作直线交轴于， 则， 此时最大， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得， 的坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数，相似三角的判定和性质，勾股定理，轴对称最短，掌握相关知识并能灵活综合应用是解题的关键． 68．（2025·江苏泰州·三模）已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点， (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长； (3)点是反比例函数图象上、间的一个动点（不与，重合），过作 轴，交图形于，求的最大值． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为． (2)． (3)1 【分析】（1）先将点代入反比例函数求出，再代入点求出，最后将、代入一次函数求解表达式． （2）先求出一次函数与坐标轴交点、，再根据对称性质求出、坐标，进而求的长． （3）设出点坐标，结合对称性质表示相关点坐标，得出的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴ ， ∴ ， ∴反比例函数表达式为． ∵点在上， ∴ ，即． ∵一次函数过、， ∴ ，解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：对于一次函数， 令，则， ∴； 令，则，解得， ∴． ∴， 如图，过点作交于点，过点作交于点，交于，则四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴与关于直线对称，与关于直线对称， ∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形， ∴与关于直线对称，与关于直线对称， ∴，， 对于，当时，，解得，当时，， ∴ ， ， ． （3）解：设（），令交直线于点，过作轴，交反比例函数于点R， ∵，，轴， ∴， ∵ 轴，轴， ∴， ∴ ∴， ∴和关于对称， ∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形， ∴点和点关于直线对称，即， ∵设（）， ∴，， ， ， 当时有最小值，即取最大值， 此时最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，包括函数表达式的求解、图形的对称以及最值问题，熟练掌握函数的性质、对称的性质以及利用二次函数求最值是解题的关键． 69．（2025·甘肃武威·模拟预测）（1）如图1，已知与的面积相等， 试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图2，点M，N在反比例函数（）在第一象限的图象上，过点M作轴，过点N作轴，垂足分别为E，F． ①证明：． ②当点M、N的坐标符合什么条件时，四边形是等腰梯形？ 【答案】（1），理由见解析；（2）①证明见解析；②当点M的横坐标与点N的纵坐标相等时，四边形是等腰梯形 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，利用平行四边形性质和判定证明，等腰梯形的性质定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先证明，再根据与的面积相等，可得，从而有四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得． （2）①设点M的坐标为，点N的坐标为，根据点M，N在反比例函数的图象上，可得到，，再利用三角形面积公式分别得到，，从而可得，于是就有． ②设，，先说明，，从而可得，，根据四边形是等腰梯形可得出，从而可得出结论． 【详解】（1）证明：分别过点C、D作、，垂足为G、H， ∵，， ， ， ． ∵与的面积相等， ， 四边形为平行四边形， ． （2）①连接，， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点M，N在反比例函数的图象上， ，， ∵轴，轴， ，， ，， ， 由（1）的结论可知：． ②设，， ∵轴，轴， ，， ，， ∵， 当四边形是等腰梯形时，， ， 当点M的横坐标与点N的纵坐标相等时，四边形是等腰梯形． 70．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上． (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】(1)的长度为3 (2)①；②当点坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质，推出，再利用勾股定理求的长； （2）①设，则，利用勾股定理列方程，求出，可得，将点代入反比例函数解析式求解即可； ②先求出直线的解析式，再求反比例函数图象与直线的交点的坐标，延长至点G，使得，利用垂直平分线的性质说明，进一步说明当点P为与的交点时，最小，此时的周长最小，再求出直线，的解析式，联立解方程可得点P的坐标． 【详解】（1）解： ，， ，， 四边形是矩形， ，，， 由翻折得到， ，，， 由勾股定理得，． 的长度为3． （2）解：①设，则， 又，， 由勾股定理得，， 即，解得， ，即， 将点代入反比例函数，可得， 反比例函数解析式为． ②设直线的解析式为， 代入点，，得， 解得， 直线的解析式为． 解方程得，，， 经检验，，是方程的解， 当时，，故． 如图，延长至点G，使得，连接，， 又， 垂直平分， ， ， 当点P为与的交点时，有最小值时． 的周长等于，的长为定值， 当有最小值时，的周长最小， ， E为的中点， 设，又，， ，解得， ， 设直线的解析式为， 代入点，可得， 解得， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为：， 联立，解得， 直线与的交点坐标为， 当点坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，勾股定理，折叠问题，求线段和的最小值问题等相关知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $