培优03 反比例系数k的几何意义（9种题型）（专项训练）数学人教版九年级下册

培优03 反比例系数k的几何意义 题型1 一点一垂直 1．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C在y轴上，连接，．若的面积为2，则（   ） A．4 B． C． D．2 2．（2025·广西南宁·二模）如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数 的图象上，交轴于点．若点是的中点，的面积为，则的值为(   ) A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·吉林四平·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，过函数 的图像上两点 做轴的垂线，垂足分别为，与相交与，若图中三角形的面积记为 ，图中梯形形的面积记为，则和的大小关系是（  ）（图中阴影的面积） A． B． C． D．不能确定 5．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、……、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ． 题型2 一点两垂直 6．（山东省泰安市肥城市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题）如图点P是反比例函数图象上一点，轴于点C，轴于点D，那么四边形的面积为（    ） A．2 B．1 C． D． 7．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线上的一个动点，轴于点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会（   ） A．逐渐增大 B．先减小后增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 8．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 9．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 题型3 两点一垂直 11．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积是（   ） A． B．2 C．3 D．6 13．（23-24八年级下·全国·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于C，连结交y轴于D，下列结论：①A，B关于原点对称；②的面积为定值；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 14．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，是双曲线上关于原点对称的任意两点， 轴， 轴，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数 图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为 ． 题型4 两点两垂线 16．（2025·安徽合肥·二模）如图，已知双曲线与直线交于、两点（点在点的左侧），过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，若的面积为8，则的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 17．（2025·山东东营·三模）如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为 ．       18．（24-25九年级上·广西·期中）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 题型5 两曲一平行（符号相同） 19．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连结，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 21．（2025·湖南·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且互为相反数，轴，若以为边作面积为24的矩形，点刚好落在的函数图象上，则点的坐标为（      ）     A． B． C． D． 22．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 23．（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A． B． C．4 D． 24．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为，，． (1)求的值； (2)当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果轴上有一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 25．（2025九年级上·全国·专题练习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 题型6 两曲一平行（符号不相同） 26．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 27．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，点A在双曲线上，过点A作轴交双曲线于点B，点C、D都在x轴上，连接、，若四边形是平行四边形，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 29．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 30．（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象分别 相交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若的面积为4， 则的值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 31．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（   ） A． B．9 C． D．12 32．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，连接，轴，作轴于点，连接，若，则的值是 ． 33．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 题型7 曲线与矩形 34．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点，在反比例函数（k是常数，）的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为12，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 35．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于，两点，连结，．若四边形的面积为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 36．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，双曲线 与矩形的边，分别交于点E，F，且，连接，则的面积是多少？ 37．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 38．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点，，．连接，，，，的面积分别为，． (1)直接写出的取值范围，并探究与之间的关系． (2)当时， ①求k的值及点，的坐标； ②试判断的形状，并求的面积． 39．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，动点在函数的图象，过点分别作轴和轴的平行线交反比例函数的图象于点、，作直线，设直线表达式为． (1)若点的坐标为， ①求直线的函数解析式； ②连接、，求的面积； (2)连接、，试探究点在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 题型8 曲线与一次函数 40．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C，．若的面积为4，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．4 41．（21-22八年级下·四川乐山·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为(   ) A．1 B． C．2 D．4 42．（2025·云南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 43．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，点在轴上，若，，则的值是 ． 44．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，当时，的取值范围为______； (3)如图，轴正半轴上有一点，当四边形的面积为5时，求点的坐标． 45．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）如图，直线轴于点H，且与反比例函数及反比例函数与的图像分别交于点A、B．    (1)若，，连接、． ①的面积为_______； ② 当时，求点B的坐标． (2)若点，过点A作x轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，点D在直线l的左侧，若和变化时，的值始终不变，求对应k的值． 题型9 曲线与几何综合 46．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 47．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 48．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． (1)如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； (2)若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； (3)如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 49．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，矩形的顶底、分别在轴和轴的正半轴上，反比例函数的图像分别交矩形的边、边点于、． (1)若且点的坐标为，求点的坐标； (2)若，四边形的的面积等于． 求的值； 若射线对应的函数表达式是，求线段的长； (3)如图，若反比例函数的图像分别交边、于点、，连接．试判断与的位置关系，并说明理由． 50．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知点E，F为反比例函数上的点． (1)如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式． (2)如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 反比例系数k的几何意义 题型1 一点一垂直 1．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C在y轴上，连接，．若的面积为2，则（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题综合考查了反比例函数系数k的几何意义，同底等高三角形的面积相等，重点掌握反比例函数系数k的几何意义． 连接，根据，可得，即可求解． 【详解】解∶如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴． 故选：A 2．（2025·广西南宁·二模）如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数 的图象上，交轴于点．若点是的中点，的面积为，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而由系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图，作轴，垂足为点， 在和中， ， ， 反比例函数图象在第二象限， 故选：D． 3．（24-25八年级下·吉林四平·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数和比例系数几何意义得到，，然后利用面积相减即可，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点， ∴，， ∴的面积为， 故选：． 4．（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，过函数 的图像上两点 做轴的垂线，垂足分别为，与相交与，若图中三角形的面积记为 ，图中梯形形的面积记为，则和的大小关系是（  ）（图中阴影的面积） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数中比例系数的几何意义，根据比例系数几何意义得，则，即有，从而求解，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵是函数的图象上两点， ∴根据比例系数几何意义得：， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、……、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ ， 故答案为：． 题型2 一点两垂直 6．（山东省泰安市肥城市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题）如图点P是反比例函数图象上一点，轴于点C，轴于点D，那么四边形的面积为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的判定，根据题意设，则，，判定出四边形为矩形，求出矩形面积即可． 【详解】解：点P是反比例函数图象上一点， 设，则，， 轴于点C，轴于点D， 四边形的面积为矩形， 故四边形的面积， 故选：C． 7．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线上的一个动点，轴于点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会（   ） A．逐渐增大 B．先减小后增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，得到四边形的面积是解题的关键．设点P的坐标为，得到四边形的面积 ，证明当时，随着的增大而减小即可得到答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵轴于点，点A是x轴正半轴上的一个定点， ∴四边形是个直角梯形， ∴四边形的面积 ∵是定值， ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，随着的增大而减小， 即随着点P的横坐标逐渐增大时四边形的面积逐渐减小． 故选：C． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 9．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 题型3 两点一垂直 11．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称，k的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据题意可得，则，进而根据k的几何意义，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线交于A，B两点， 两点关于原点对称， ， ， ， ∵双曲线在一、三象限， ， 故选：B． 12．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积是（   ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形， 点与点关于原点对称， ， 在和中， ， ， ， ∴， 轴， ， ， ∴， 是的中点， ∴， ， 故选：A． 13．（23-24八年级下·全国·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于C，连结交y轴于D，下列结论：①A，B关于原点对称；②的面积为定值；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，k的几何意义，反比例函数和一次函数的交点． 利用反比例函数图像关于原点对称的性质；时在每一象限内，y随x的增大而减小的性质；k的几何意义即可判断正误． 【详解】①反比例函数的图象与正比例函数的图象若有交点，一定是两个，且关于原点对称，①正确； ②根据A，B关于原点对称，易知即为A点横纵坐标的乘积，为定值1，②正确； ③，对于，在每一象限内，y随x的增大而减小，当P，Q在同一象限内时，如果，那么，当P，Q不在同一象限内时，如果，那么，故③错误； ④在中，和y轴并不垂直，所以面积不会等于，故④错误； 因此正确的是①②， 故选B． 14．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，是双曲线上关于原点对称的任意两点， 轴， 轴，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义，难易程度适中，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的三角形面积，结合图象解答是解题的关键． 根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积可知，，再根据反比例函数的对称性可知，为中点，则，，进而求出四边形的面积． 【详解】解：连接， 是双曲线上关于原点对称的任意两点， 经过原点， 轴，轴， ， 假设点坐标为， 则点坐标为， 则， ，， 四边形面积， 故选：B ． 15．（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数 图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．先根据正比例函数与反比例函数的性质得出A，B两点关于原点对称，得到，继而，可得k值． 【详解】解：正比例函数图象与反比例函数 图象交于A，B两点， ，， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ， 故答案为： 题型4 两点两垂线 16．（2025·安徽合肥·二模）如图，已知双曲线与直线交于、两点（点在点的左侧），过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，若的面积为8，则的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想是解题的关键． 设点A的坐标为，根据题意可得点B的坐标为，从而得到，然后根据的面积为8，即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵双曲线与直线交于、两点， ∴点A，B两点关于原点对称， ∴点B的坐标为， ∵过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴． 故选：B 17．（2025·山东东营·三模）如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为 ．       【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．如图，作于，由，可得，由的几何意义可得 ，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴， 由的几何意义可得 ，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 18．（24-25九年级上·广西·期中）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与不等式，理解反比例函数的图象和性质是解答关键． （1）将点代入中来求解； （2）根据反比例函数和正比例函数的性质求出点的坐标，再利用对称轴求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解； （3）根据反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 利用图象来求解不等式的解集． 【详解】（1）解：把点代入得： ， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ． （2）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴． ∴． （3）解：反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 所以根据图象得：不等式的解集为或． 题型5 两曲一平行（符号相同） 19．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连结，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， ∵直线轴， ∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数的图象上， ∴当，， 即A点坐标为， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴当，， 即B点坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 20．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义求出和，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴轴，， ∵点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 21．（2025·湖南·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且互为相反数，轴，若以为边作面积为24的矩形，点刚好落在的函数图象上，则点的坐标为（      ）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据题意可知，设，则，，由矩形的面积可知，求出，进而即可求出答案． 【详解】解： 互为相反数， ， 设，则，， ，， 矩形的面积为24， ， ， 点在反比例函数的图象上， 点的横坐标乘以纵坐标等于6， 故选：D． 22．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数 系数k的几何意义：从反比例函数 图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 23．（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解答本题的关键．根据k值的几何意义得出，，根据，得出，从而得出，最后求出k值即可． 【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 24．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为，，． (1)求的值； (2)当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果轴上有一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由 结合反比例函数k的几何意义可得，进一步即可求出结果； （2）由题意可得的纵坐标为，再利用待定系数法解答即可； （3）先求出的长，然后分三种情况：①若，可直接写出点N的坐标；②若，根据等腰三角形的性质解答；③若，根据两点间的距离解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ， ， ∴，解得， ∵， ∴； （2）∵，， ∴的纵坐标为 ∵在（）的图象上， ∴，解得： ∴ （3）∵， ∴ 是等腰三角形， ①当时，或 ②当时，则为对称轴，则， ③当时，设， ∴ 解得： ∴ 综上所述，或或或． 25．（2025九年级上·全国·专题练习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． （1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 题型6 两曲一平行（符号不相同） 26．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；点A、B分别在反比例函数和图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出，，由阴影部分的面积，由此解出k即可． 【详解】解：如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 27．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：延长交轴于点， 轴， 轴． 点在函数的图象上， ． 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 28．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，点A在双曲线上，过点A作轴交双曲线于点B，点C、D都在x轴上，连接、，若四边形是平行四边形，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，解决问题的关键是明确平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；由轴可知，A、B两点纵坐标相等，且都设为b，根据点A在双曲线，B在双曲线上，求得，而的边上高为b，根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵点A在双曲线上，B在双曲线上，且轴， ∴A、B两点纵坐标相等，且都设为b， 则，， ∴， 故的边上高为b， ∴． 故选：C． 29．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，平行四边形性质,熟练掌握该知识点是关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 平行四边形性质及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为G，轴，垂足为D，延长交y轴于点H， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 30．（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象分别 相交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若的面积为4， 则的值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．根据的面积，先设A、B两点坐标（其纵坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解． 【详解】解：设A、B两点的坐标分别是，， 则，， 的面积为4，即， ， ． 故选：D． 31．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，熟记反比例函数系数与图形面积之间的关系是解题的关键．延长交轴于点，则四边形和是矩形，由点B在双曲线上，可得矩形的面积是3，进而求出矩形的面积，再根据反比例函数系数的几何意义得到，再结合反比例函数经过的象限即可确定k的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 则四边形和是矩形， ∵点B在双曲线上， ∴矩形的面积， ∵矩形的面积是9， ∴矩形的面积， ∵点A在双曲线（）上， ∴， 解得：， 由图象得，双曲线经过第二象限， ∴， ∴， 故选：C． 32．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，连接，轴，作轴于点，连接，若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查反比例函数图像的性质，矩形和平行四边形的判定与性质，通过作垂直构造矩形，利用反比例函数比例系数的绝对值等于图像上任意一点向坐标轴作垂线形成的矩形面积进行求解． 【详解】解： 延长交轴于点，过点作轴 轴 轴， 四边形为矩形， ， 四边形为平行四边形 ，轴 轴， 轴 四边形为矩形 在上， 根据反比例函数性质，． 故答案为：6． 33．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．由题意得，，然后由即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 题型7 曲线与矩形 34．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点，在反比例函数（k是常数，）的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为12，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义（双曲线上点与坐标轴围矩形面积为 ），熟练掌握反比例函数坐标特征及图形面积的坐标表示是解题关键．通过设点坐标，结合表示出、坐标，再利用四边形面积与矩形、三角形面积的关系列方程，求解（，为反比例函数上点的坐标 ）． 【详解】解：设，在上， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 把代入，得， ∵， ∴ ， 延长交轴于， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：D． 35．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于，两点，连结，．若四边形的面积为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． 先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数系数的几何意义可得，然后根据计算即可得到答案． 【详解】解： ，轴于点，轴于点 ，四边形是矩形， 反比例函数的图象分别与，相交于，两点， ， 四边形的面积为4， ， ， 解得， 故选：C． 36．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，双曲线 与矩形的边，分别交于点E，F，且，连接，则的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的性质，直角坐标系中三角形面积的表示方法，注意双曲线上点的横坐标与纵坐标的积为常数．设，根据题意得，由点F在双曲线上，得，即，E、B两点纵坐标相等，且E点在双曲线上，则，再根据求解． 【详解】解：如图，设点B的坐标为，则点的坐标为． 点在双曲线上， ，解得 点在双曲线上，且纵坐标为， 点的坐标为． 则 ． 37．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 38．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点，，．连接，，，，的面积分别为，． (1)直接写出的取值范围，并探究与之间的关系． (2)当时， ①求k的值及点，的坐标； ②试判断的形状，并求的面积． 【答案】(1)， (2)①，，；②是直角三角形， 【分析】（）由反比例函数图象在第二象限可知；结合矩形边长及函数在第二象限的取值，确定的范围．依据反比例函 数的几何意义，分析与的关系． （）①利用及，结合三角形面积公式求出相关线段长度，进而确定的值和、的坐标． ②通过勾股定理求出、、，利用勾股定理逆定理判断三角形形状，再根据直角三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点， ∴ 当时，， 由图可知，即， 解得： ∴． ∵反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点， ∴，， ∴． （2）①当时， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴，． ②是直角三角形． 理由如下： ∵，，，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，以及反比例函数系数k的几何意义，图形与坐标，熟记反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 39．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，动点在函数的图象，过点分别作轴和轴的平行线交反比例函数的图象于点、，作直线，设直线表达式为． (1)若点的坐标为， ①求直线的函数解析式； ②连接、，求的面积； (2)连接、，试探究点在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)的面积是定值，定值为 【分析】本题考查点的坐标，一次函数和反比例函数的综合，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． （1）①根据点的坐标即可求出，． 再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；②延长交轴于点，延长交轴于点，易证四边形是矩形，根据反比例函数k的几何意义可得，由①可求，根据即可求解； （2）延长与轴交于点，设，则表示出，，，，，利用即可求出的面积是定值，定值为． 【详解】（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴， ∴，， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴． 把、的坐标都代入中，得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为：； ②延长交轴于点，延长交轴于点， ∵轴，轴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B，点C在反比例函数的图象上，点M在反比例函数的图象上， ∴， 由①知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的面积是定值． 延长与轴交于点， 设，则，，， ∴，，，，， ∴ ． ∴的面积是定值，定值为． 题型8 曲线与一次函数 40．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C，．若的面积为4，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数几何意义，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法．作轴，轴，结合，可得，，结合，可得，即：，根据的几何意义，即可求解， 【详解】解：过点、，分别作轴于，轴于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数上， ∴，即：，即， ∴，即：， ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， ∴， 故选：B． 41．（21-22八年级下·四川乐山·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为(   ) A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】作BG丄x轴于G点，设A(m，)，B(n，)，由反比例函数k的几何意义可知，S△AOE=S△BOG=|k|=2，由S△OAF+S四边形EFBC=4，得S△BGC=2S△OEF，又由△OEF∽△OGB列比例式把EF用含m、n的式子表示出来，再代入S△BGC=2S△OEF，化简后即可求出m的值． 【详解】 作BG丄x轴于G点， 设A(m，)，B(n，)， 由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45º， ∴∠BCG=45º ∴∠CBG=45º ∴GB=CB= ∵AE丄x轴， ∴OE=m， ∵A、B两点都在上， 由k的几何意义可知 S△AOE=S△BOG=， ∵S△OAF+S四边形EFBC=4， 即S△OAE-S△OEF+S△OBG-S△OEF+S△BCG=4， 2-2S△OEF+2+S△BCG=4， ∴S△BCG=2S△OEF， 由轴，BG丄x轴， 得AE∥BG， ∴△OEF∽△OGB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 得 ， ， ∵m＞0， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图像的交点，反比例函数k的几何意义，利用面积法求参数的值．熟练掌握设参数法解题是解答本题的关键． 42．（2025·云南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 【答案】D 【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，与一次函数的交点问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 根据反比例函数的意义，与一次函数的交点问题，矩形的性质等依次判断即可 【详解】解：A、∵点P在A和B之间的反比例函数图象上， ∴矩形和矩形的面积均为，故选项正确，不符合题意； B、∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴矩形的周长为：，故选项正确，不符合题意； C、延长交直线于点M，过点M作于点N，和交于点H， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形和矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长大于矩形的周长，选项正确，不符合题意； D、由A选项得：， ∴， ∴，选项错误，符合题意； 故选：D 43．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，点在轴上，若，，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质．作轴于点D，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵， ∴， ∵函数与反比例函数交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：5． 44．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，当时，的取值范围为______； (3)如图，轴正半轴上有一点，当四边形的面积为5时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标， （1）依据反比例函数的图象过、两点，即可得到、，代入一次函数，可得直线的解析式； （2）当时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即可得到当时，x的取值范围是； （3）过点B作轴于点E，过点A作轴于点F，设P点坐标为，根据四边形的面积为5，利用割补法列出面积表达式，再解方程即可． 【详解】（1）解：、两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴、， 把、代入一次函数，可得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：观察函数图象，发现： 当时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图，过点B作轴于点E，过点A作轴于点F， 设P点坐标为，则， ∵、， ∴，，，， ∴，， ∵四边形的面积为5， ∴四边形的面积， ∴， 即， 解得：， ∴点的坐标为． 45．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）如图，直线轴于点H，且与反比例函数及反比例函数与的图像分别交于点A、B．    (1)若，，连接、． ①的面积为_______； ② 当时，求点B的坐标． (2)若点，过点A作x轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，点D在直线l的左侧，若和变化时，的值始终不变，求对应k的值． 【答案】(1)①5；② (2) 【分析】（1）①根据，，直线轴于点H，得出，，然后求出结果即可； ②设，则，求出，，，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； （2）根据点，得出，，求出，得出，求出，得出，说明为定值，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵，，直线轴于点H， ∴， ， ∴；    ②设，则， ，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点， ∴，， ∴， ∵过点A作x轴的平行线，与一次函数的图像交于点D， ∴把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵和变化时，的值始终不变， ∴为定值， ∴为定值， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，两点间距离公式，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数解析式中k的几何意义． 题型9 曲线与几何综合 46．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质与相似三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解． （1）过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，构造直角三角形，证明，再结合反比例函数中三角形的面积与系数的关系，求出面积比，进而得到相似比即的值； （2）同样利用（1）中相似三角形的面积比与相似比的关系，结合已知的线段比例，求出的值． 【详解】（1）解：解：如图，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点， 点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， ， ， ， ， ； （2）解：点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， 由（1）知， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 47．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确的理解的几何意义是解题关键． 连接交于，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，将代入中即可求解； 利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据弧长公式求解； 先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：如下图所示，连接交于， 四边形是菱形， ，， ， ， 点的坐标是， 将代入到中， 得：， 解得：； （2）解：， 半径为； ， ， ， 由菱形的性质可知，， ， 的长； （3）解：如下图所示， ， ， ， 在菱形中，， ， ， ． 48．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． (1)如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； (2)若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； (3)如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 【答案】(1)见解析 (2)对角线所在直线经过原点，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求出点，，得出，,再求出直线的解析式为：，证明在直线上，即可得出结论； （2）设点，，同（1）即可求解； （3）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点，证明，设，则，得出，进而根据完全平方公式变形得出，再根据三角形的面积公式以及勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵A、C的横坐标分别是和3，且点A、C在反比例函数图像上， ∴点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （2）证明：∵点A、C在反比例函数图像上， 设点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （3）解：如图所示， 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵点A、C在反比例函数图像上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴ 49．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，矩形的顶底、分别在轴和轴的正半轴上，反比例函数的图像分别交矩形的边、边点于、． (1)若且点的坐标为，求点的坐标； (2)若，四边形的的面积等于． 求的值； 若射线对应的函数表达式是，求线段的长； (3)如图，若反比例函数的图像分别交边、于点、，连接．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； ； (3)． 【分析】根据点的坐标为，求出反比例函数的解析式是，根据得到点的坐标是，根据反比例函数与交于点，求出点的坐标； 根据反比例函数的图像分别交矩形的边、边点于、两点，可知，从而可得，根据四边形的的面积等于，可以求出； 射线对应的函数表达式是，求出点的坐标是，根据可以求出，所以点的纵坐标是，可得方程，解方程求出，即可得到点的坐标； 设点的坐标是，分别用含、、的代数式表示出线段、的长度，即可求出的正切值，分别用含、、的代数式表示出线段、的长度，即可求出的正切值，两个角的正切值相等，则这两个角相等，根据同位角相等，两直线平行，可证． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，连接， 反比例函数的图像分别交矩形的边、边点于、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形的的面积等于， ， 解得：； 由可知反比例函数的解析式是， 解方程， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时，， 点的坐标是， ， ， ， ， 点的坐标是， 当时，， 解得：， ， 四边形是矩形， ， ； （3）解：， 理由如下： 设点的坐标是， 当时，， 点的坐标是， ， 当时，， 解得：， 点的坐标是， ， ， 当时，， 点的坐标是， ， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合运用、矩形的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是根据反比例函数的解析式与矩形的性质求出交点的坐标． 50．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知点E，F为反比例函数上的点． (1)如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式． (2)如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)反比例函数为：； (3)或 【分析】（1）设，可得，结合，再建立方程求解即可； （2）如图，过作轴于，连接，求解，证明，可得，设，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． （3）如图，由四边形为矩形，证明，设直线为，可得直线为，求解，，结合在直线上，设，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点E，F为反比例函数上的点． 设， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴反比例函数为：； （2）解：如图，过作轴于，连接， 令，则，当时，则， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴反比例函数为：； （3）解：如图，∵四边形为矩形， ∴，， 设直线为，， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在直线上， ∴设， ∴， 整理得：， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $