培优02 反比例函数与实际问题（5种题型）（专项训练）数学人教版九年级下册

培优02 反比例函数与实际问题 题型1 反比例函数与实际问题 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 1．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)当时，求I的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入解析式，求出I的值即可． 【详解】（1）设，由图象可知，当时， ； （2）当时，． 2．（24-25九年级上·山东·期末）如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图． (1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； (2)当“木海马”底面面积为时，压强是多少； (3)如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可； （3）求出时的自变量的值即可． 【详解】（1）解：设， 由图象，把代入得：， ∴； （2）当时，； 答：当“木海马”底面面积为时，压强是； （3）当时，； ∴当时，， 答：压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要． 3．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式． (2)若汽车从上午8：00从A市出发， ①如果汽车在当天12：48到14：00之间到达B市，求汽车行驶速度的范围． ②汽车能否在当天11：30到达B市？为什么？ 【答案】(1) (2)①汽车行驶速度的范围为：；②到不了，见解析 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入关于的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围； ②8点至11点30分时间长为小时，将其代入关于的函数表达式，可得速度大于120千米时，从而得答案． 【详解】（1）解：，且全程速度限定为不超过120千米小时， 关于的函数表达式为：； （2）解：①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时， 将代入得； 将代入得． 汽车行驶速度的范围为：； ②汽车不能在当天11点30分前到达地．理由如下： 8点至11点30分时间长为小时， 将代入得千米小时，超速了． 故汽车不能在当天11点30分前到达地． 4．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图，在一段长为的高速公路上，规定汽车行驶速度最低为，最高为． (1)直接填空： ①当行驶速度为，需要 h走完这段路； ②行驶完这段路恰好用了，行驶速度是 ． (2)请你根据以上背景，设定变量建立一个合理的函数关系，这个函数关系式中要把数据“”用上，并写出自变量的取值范围． (3)请你先提出一个问题，然后再回答它．要求：这个问题的解决要把“（2）中的函数关系式”、“”和“”都用上． 【答案】(1)①；②； (2)与的关系式为 (3)问题及解答见解析 【分析】（1）①利用路程除以速度即可得到答案；②利用路程除以时间即可得到答案； （2）利用速度与时间的关系提问题，再列函数关系式即可； （3）根据（2）中的函数关系式题问题，再解决问题即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）设汽车行驶所需的时间为，汽车行驶的速度为， ∴与的关系式为； （3）问题：若汽车行驶完这段路程用了，判断汽车的行驶速度是否符合要求？ 当， ∴， ∵， ∴汽车的速度符合要求； 5．（24-25九年级上·河北·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口点到的距离为4米，求： (1)段所在的反比例函数关系式是什么？ (2)点到轴的距离长是多少？ (3)若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于3米，则到的距离至少多少米？ 【答案】(1) (2)米 (3)至少1米 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出点的坐标，得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）设段所在的反比例函数关系式为，根据、的长，得出点坐标，代入关系式可求出，根据可求出的取值范围； （2）把的长代入关系式即可； （3）根据距水面的高度不高于米得出，即可得出的取值范围，进而可得出到的最小距离，可得答案． 【详解】（1）解：设段所在的反比例函数关系式为， ∵， ∴， 解得：， ∵出口点到的距离为米， ∴， ∴段所在的反比例函数关系式为； （2）解：∵， 当时，， ∴点到轴的距离长为米； （3）解：∵距水面的高度不高于米， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴到的距离至少米． 题型2 新情景问题 6．（2024·辽宁·模拟预测）2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占有率超过，汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆．为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清．y与x满足某函数关系，其部分对应值如下表，请回答下列问题． x/月 … 2 4 7 10 … y/万元 … 7 2 … (1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款； (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元； (3)如果张先生打算每月付款万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？ 【答案】(1)（的整数），首付款为6万元 (2)平均每月应付万元 (3)他能在规定不计算利息的期限内结算 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数的解析式，解答本题的关键是找出等量关系，列出函数解析式． （1）利用待定系数法，即可求出解析式； （2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值； （3）知道了y的值，利用解析式即可求出自变量的值． 【详解】（1）解：由表格猜想y与x成反比例函数关系， 设y与x的函数表达式为， 当，，代入表达式得， ， 与x的函数表达式为（的整数）， 经检验表中其他各组对应值均满足此表达式， 当时，， （万元）． 首付款为6万元； （2）当时，（万元）， 答：平均每月应付0.35万元； （3）当时，， 解得， ， 答：他能在规定不计算利息的期限内结算． 7．（2024·河南漯河·一模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻（）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量（）变化的关系图象如图2所示，（）为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)请根据图2，判断气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成________函数，它的函数解析式为________； (2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准； (3)该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至，此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？ 【答案】(1)反比例； (2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量是不达到标准 (3)此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高，升高 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）观察函数图象可知是反比例函数，然后利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，，即可得到结论； （3）求出当时，，即可得到结论． 【详解】（1）解：由函数图象可知，气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成反比例函数， 设， 把代入中得， ∴， 故答案为：反比例；； （2）解：在中，当时，，解得， ∵， ∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是不达到标准； （3）解：在中，当时，， ∴， ∴此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高，升高． 8．（2024·广东广州·一模）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； (2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由； (3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 【答案】(1) (2)李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由见解析 (3)千克 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据得到从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为； （2）李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由： 从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度一般不超过30千米/小时， 李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫； （3）∵， ∴从东涌骑行到天后宫的距离为24千米， ∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为（千克）． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入得，， ； 答：与的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为． 10．（2025·广东佛山·三模）随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕．运动需要有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全．某综合实践小组准备研究心率与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系．在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率 40 60 70 76 82 … (1)判断初中所学函数是否能很好地表示随变化的规律，说明理由； (2)经探究是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式； (3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过．结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要休息？ 【答案】(1)不能，理由见解答 (2) (3)300秒 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征和待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）分别根据一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征判断即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据题意列关于的不等式并求其解集即可． 【详解】（1）解：初中所学函数不能很好地表示随变化的规律． 理由如下： ∵当自变量的增加值相同时，的增加值不同， ∴不是的一次函数， ∵与的积不是一个定值， ∴不是的反比例函数， ∵当自变量的增加值相同时，相邻值的增加值的差不相同， ∴不是的二次函数， ∴初中所学函数不能很好地表示随变化的规律． （2）解：设，即（为常数，且）， 将和分别代入， 得， 解得， ∴ y与之间的函数表达式为， （3）解：根据题意，得， 解得：， ∴跳绳运动持续时间300秒需要休息． 11．（24-25九年级下·湖北·阶段练习）图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段表示距离水平面（轴）高度为的平台（点A在轴上），滑道可以看作是反比例函数图像的一部分，点B到轴的距离是，点C到水平面的距离为，滑道可以看作是二次函数图像的一部分，最高点到轴的距离是，到水平面的距离是． (1)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (2)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (3)在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面时，所滑过的水平距离为 （直接写出所有可能的结果）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的应用； （1）根据题意得出点B坐标，利用待定系数法求出滑道的函数解析式，再求出点C坐标，可得自变量的取值范围； （2）根据题意得出顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法求出滑道的函数解析式，然后再求出点D坐标，可得自变量的取值范围； （3）分两种情况：①在滑道上时，②在滑道上时，分别求出时对应的x的值，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：设滑道的函数解析式为， ∵点B到轴的距离是，距离水平面（轴）高度为， ∴， 代入得， ∴， ∴滑道的函数解析式为． 当时，即， 解得：， ∴， ∴自变量的取值范围是； （2）∵最高点到轴的距离是，到水平面的距离是 ∴顶点坐标为， ∴设滑道的函数解析式为， 把代入得：， 解得： ∴滑道的函数解析式为， 令，即， 解得：，， ∴， ∴自变量的取值范围是； （3）分两种情况： ①在滑道上时， 令，即， 解得：， ∴滑过的水平距离为； ②在滑道上时， 令，即， 解得：，，均满足， 此时滑过的水平距离为或， 综上，滑过的水平距离为或或， 故答案为：或或． 12．（24-25八年级下·浙江温州·期末）综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 【答案】任务1：是的反比例函数，函数表达式为；任务2：198秒 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 任务1：利用待定系数法求出反比例函数解析式； 任务2：将和60分别代入解析式计算求解即可． 【详解】解：任务1：由图象知是的反比例函数， 设，把代入，得 该函数表达式为； 任务2：当时，；而当时，， （秒）． 机器狗完成任务所用的最短时间为198秒． 13．（2023·广西南宁·二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【答案】(1)①；②50天 (2)7500 m 【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）之间的函数关系即可函数关系；②令求得x即可； （2）该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米，再根据“工期比原计划减少了10天”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“运送土方总量=平均的运送速度×完成运送任务所需的时间”可得： ，即； ②令时，则（天）． 答：该公司完成全部运输任务需要50天． （2）解：该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 检验：当时， 所以，是原分式方程的解． 答：该公司原计划每天运送土石方为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，根据题意列出反比例函数解析式和分式方程是关键． 14．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从D点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点K（与相距）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． (1)求线段的函数表达式（写出x的取值范围）． (2)当时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想a关于的函数类型，并用一个比较接近的函数关系式来表达它们的函数． ②当v为多少时，运动员的成绩恰能达标？ 【答案】(1) (2)的横坐标为22.5，成绩未达标 (3)①a与成反比例函数关系，；②当时，运动员的成绩恰能达标 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题． （1）根据图像得出点的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式； （2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果； （3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标，代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值． 【详解】（1）解：由图2可知：， 设的解析式为：， 将代入，得： ，解得， ∴线段的函数表达式为． （2）当时，，由题意得， 解得（舍去），                             ∴的横坐标为22.5． ∵， ∴成绩未达标． （3）①猜想a与成反比例函数关系． ∴设 将代入得解得， ∴． 将代入，验证：， ∴； ②由K在线段上，得，代入得，得， 由得， 又∵， ∴， ∴当时，运动员的成绩恰能达标． 15．（2024·广东·模拟预测）【综合与实践】生活中的函数． (1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． (2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事． 北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量(毫米） 销售单价（元） 47 45 44 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： ①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． ②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ ③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？ 【答案】(1)；或； (2)①；②降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元；③60元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质，读懂题意得到等量关系是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可解答； （2）①经观察可以发现，销售单价与降雪量成一次函数关系，然后利用待定系数法即可求解； ②设销售利润为，根据利润（销售单价成本）日销售量，结合y与k关系和p与k的关系，得到w与k的关系式，然后根据反比例函数的性质即可求解； ③设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则依题意得，解方程即可． 【详解】（1）解：反比例函数 ，， 函数图象在第一、三象限，且在每一象限内y随着x的增大而减小， 当时，， 当时，y的取值范围是； 当时，， 当时，x的取值范围是或； 故答案为：；或； （2）解：①设 将，代入， 得， 解得， ∴； ②设销售利润为，则 依题意得，， ∵， ∴在时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元． ③∵降雪量为毫米， ∴原售价为44元， ∵进行“买三送一”活动，小敏阿姨此时趁机入手20袋， ∴小敏阿姨购买了15袋，赠送了5袋； 设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则 依题意得，， 解得， 答：此时店铺的一袋茉莉香茶为60元． 题型3 新考法问题 16．（2023·河南安阳·二模）寓言故事：青年用木柴烧水时，由于木柴不足，水没有烧开，重新找木柴的时间水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新烧开，很是气馁．路过的智者提醒他，木柴不够，可以将水倒掉一部分．青年听后，茅塞顿开，把水烧开了． 智者的话蕴含一定道理，根据物理学公式（Q表示寓言故事中水吸收的总热量，c表示水的比热容为常数，m表示水的质量，表示水的温差），得．智者的话可解释为：当木柴质量确定时，提供给水吸收的总热量Q随之确定，为定值，水上升的温度（单位：）与水的质量m（单位：kg）成反比例． (1)若现有木柴可以将3kg温度为25℃的水加热到75℃，请求出这种情形下的值及关于m的反比例函数的表达式； (2)在（1）的情形下，现有的木柴可将多少千克温度为25℃的水加热到100℃． 【答案】(1)150， (2)2千克 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 即关于m的反比例函数的表达式为：． （2）解：把代入，得 ， ∴(千克)， 答：现有的木柴可将2千克温度为25℃的水加热到100℃． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 17．（2024·福建福州·模拟预测）为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等． 【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“E”形图边长，在平面直角坐标系中描点． 【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 【素材3】如图3，当确定时，在处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 【探究活动】 (1)当检测距离为5米时， ①猜想与满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）； ②直接写出与的函数关系式为______； ③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． (2)当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围． (3)在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为，设置的检测距离为3.5米．请问，设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配，请说明理由；若不匹配，小何同学该如何调整自己的位置？ 【答案】(1)①反比例；② ；③ (2) (3)不匹配，检测距离应调整为 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据图象上的点猜测为反比例函数关系，②求出比例系数，再验证即可，③代入函数解析式，即可得到答案； （2）根据的增减性进行解答即可； （3）根据题意解得检测距离应为，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象中点的坐标规律得到n与b成反比例关系， 设，将其中的点代入，得到， ∴， 将其余点一一代入，都符合关系式， 故答案为：①反比例；② ； ③将代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为； （2）， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， 又； （3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的， 由相似三角形性质得， 由（1）知， 解得检测距离应为 答：不匹配，检测距离应调整为．（或者小何同学应当向视力表方向前进） 18．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）某科学兴趣小组成员为研究物体质量对物体弹射高度的影响，利用一款弹射器进行试验研究，弹射器将不同质量的小球从地面弹出，利用无人机技术测量每次试验小球弹射的最大高度，小组成员收集了小球弹射的最大高度（单位：m）与小球质量（单位：）之间的关系，并绘制在平面直角坐标系中，如图所示． (1)由图象可知与之间满足反比例函数关系，若有一个点的纵坐标记录错误，则这个点是点__________（填字母），正确的值应为___________． (2)求反比例函数的表达式． (3)请通过计算判断质量为的小球能够弹射到的高度吗？ 【答案】(1)；40 (2) (3)质量为的小球不能弹射到的高度 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、求反比例函数解析式、反比例函数的性质等知识点，掌握反比例函数的性质即可解答． （1）观察各点点A、C、D的横坐标与纵坐标的积为120，但点B的横坐标与纵坐标的积为150，即可发现点B记录错误，然后确定点B的正确纵坐标即可； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）将代入中，得，然后与比较即可解答． 【详解】（1）解：通过观察发现：点A、C、D的横坐标与纵坐标的积为120，但点B的横坐标与纵坐标的积为150，即点B记录错误；点B的纵坐标应为：． 故答案为：B，40． （2）解：设关于的函数表达式为， 将点代入上式，得，解得， （3）解：将代入中，得， ， 质量为的小球不能弹射到的高度． 19．（22-23九年级上·河南郑州·期末）某设计师结合数学知识设计一款沙发，沙发三视图如图一所示，将沙发侧面展示图简化后，得到图二所示图形．为了解沙发相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系，其中曲线AB是反比例函数的一段图像，线段BD是一次函数：的一段图像，点，沙发腿轴．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数表达式和一次函数表达式（不要求写x的取值范围）； (2)过点A向x轴作垂线，交x轴于点F．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子长、宽、高至少分别是多少？ 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)长方体箱子的长、宽、高至少应该是60、52、80 【分析】（1）将B点坐标代入反比例函数表达式求出k的值，进而求出反比例函数表达式，将B点坐标代入一次函数表达式求出b的值，进而求出一次函数表达式； （2）作轴于M，先根据三角函数求出的值，进而求出高的值，将代入一次函数表达式即可求出长和宽． 【详解】（1）将B点坐标代入反比例函数表达式： ∴反比例函数表达式为 代入一次函数表达式得：，解得， ∴一次函数表达式为 （2）如图，作轴于M， ∵， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ 当时， ∴ ∴ ∵ ∴把代入一次函数表达式得 ∴，即长为60 ∴ 根据三视图可得：长方体箱子的长、宽、高至少应该是60、52、80． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式和求反比例函数解析式，用三角函数解决实际问题，熟练掌握函数表达式的求法是解题的关键． 20．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，图象及性质见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据得出，根据相似三角形的性质即可求解． （2）由(1)得，，进而求得解析式，画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）由，，解不等式即可求解． 【详解】（1）解∵， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）由(1)得，， ∴， ∴或， 画出图象如下：    性质：当时，随的增大而减小； （3）由，， 则， 解得， ∴的取值范围为：． 21．（25-26九年级上·广东深圳·期中）实验数据显示：一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中的酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画．如图所示，并且通过测试发现酒后半小时和1.5小时的酒精含量均为150毫克/百毫升，酒后5小时为45毫克/百毫升． (1)求二次函数和反比例函数解析式； (2)喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (3)按国家规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾驶上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2)当时，血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升） (3)第二天早上能驾车去上班，理由见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键． （1）根据题意时，，时，，时，，利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质即可解答； （3）求出时，y的值，进而得出能否驾车去上班． 【详解】（1）解：根据题意：酒后半小时和1.5小时的酒精含量均为150毫克/百毫升， 即当时，，时，， ∵1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数刻画， 即当时，， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； ∵酒后5小时为45毫克/百毫升． 1.5小时以后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画， 即当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵二次函数解析式为， ∴， ∴当时，血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）； （3）解：第二天早上能驾车去上班，理由如下： ∵晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上，一共12个小时， ∴将代入， 则， 答：第二天早上能驾车去上班． 22．（22-23九年级下·广东东莞·开学考试）某位患有疾病的甲病人第一次使用药物后药物效能（单位：）与服用时间（时间：）的变化关系为（如图）． 已知时效能最高到达，且自第次服药后效能最多提高，且当药效下降至时需再次服药，使得与的正比例关系呈现同样的图象形状． (1)求，，； (2)第三次服药时离第二次服药间隔为多久？ 【答案】(1)，，； (2)第三次服药时离第二次服药间隔为． 【分析】（1）结合函数图象，利用待定系数法即可求出，，的值； （2）设第二次服药后药效最大为时，药效达到时，，分别表示出第二次服药效能逐渐增强和减弱的函数，再根据函数上的点的特征求出第三次服药、第二次服药的具体时间即可得解． 【详解】（1）解：当时，过， ，                    当时，过， ，                             过， ． 故，，． （2）解：设第二次服药后药效最大为时，药效达到时，， 当时，设，                                                      由于过，故有，则，又过， 故，                                                      当时，设，由于过，故，则， 又过，故，                                            第三次服药时离第二次服药间隔为． 【点睛】本题考查的知识点是从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、反比例函数的实际应用，解题关键是正确理解题意，分段讨论． 23．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为 【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； 故答案为：高． （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线． 根据表格可知 ∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为 ． 函数图象，如图所示 （3）由题可得，低音区的音频率为 代入 ∴ 答：低音区的对应吸管长度为 24．（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”． 抽象建模 如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分． 数据与定义 已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离． 问题解决 (1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）； (2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）； (3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分． 【答案】(1)② (2)小 (3)曲线更可能是段曲线所在函数图像的一部分 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据题意结合反比例函数的性质即可求解； （2）根据抛物线的性质，曲度的定义，为使滑梯更安全，“曲度”应该调小， （3）待定系数法求得反比例函数解析式，进而可得，再将，代入，再待定系数法求解析式，分别求得纵坐标，和的纵坐标比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵段的函数值越来接近，符合反比例函数的特征， ∴降速部分是反比例函数图像的一部分， 故答案为：②． （2）曲线所在的函数图像为二次函数，根据曲度的定义，为使滑梯更安全，抛物线开口要增大，即“曲度”应该调小， 故答案为：小． （3）解：∵在上， 代入得，， ∴ ∵“曲度相等” ∴ ∵二次函数经过，， ∴ 解得： ∴ 当代入得，， ∴ 当代入得，， ∴ ∴ ∴段更可能是段曲线所在函数图像的一部分． 25．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【答案】(1)； (2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大 (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题； （1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，根据二次函数的性质，即可求解； （3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解． 【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱 ∴，， 根据信息③可得与售价的乘积相等，设， 代入得，， ∴，， （2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下， 依题意，， ∴ ∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大； （3）解：依题意， 当该矿泉水需求量与供给量相等时， 解得：（舍去） 当时，， ，解得：， 总利润为（元） 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 26．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图1所示．在面积为6的四边形中，对角线．设，请按要求作答． (1)求与之间的函数解析式，及对应的的取值范围； (2)图2为单位长度为1的的平面直角网格坐标系，其中每个小正方形的顶点称为格点，在图2中描绘出与的函数图象； (3)若函数图象上最上方的格点为，最下方的格点为，直接写出点到线段的距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查反比例函数的应用，画函数图象，勾股定理解三角形等，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意结合图形表示出，即可求解； （2）利用描点、连线方法画出图象即可； （3）由图象得：点的坐标为，点的坐标为，得出两点关于直线对称，确定，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即． ， 与的函数解析式为． （2）当时，；当时，；当时，； 描点，然后用光滑的曲线连接，的函数图象如图所示． （3）由图象得：点的坐标为，点的坐标为， 两点关于直线对称， 故直线与线段的交点即为的中点，且AB． ∴， ∴由勾股定理可得，． 题型4 跨学科问题 跨学科的反比例函数应用问题一般要利用其他学科相关量之间的等量关系构建反比例函数模型，再利用反比例函数的相关知识解决问题. 27．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全？ 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机器人，机器人质量为． 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等． 素材2 重力（G）＝质量（m）×重力系数（g）； 压强（P）； 重力系数． 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为． 解决问题 任务1 直接写出极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变），A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、．利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区． 【答案】任务1：；任务2：极地机器人应更换C型号的履带方可安全通过该冰面；任务3：科考队员最好爬在冰面上，慢慢爬过冰面（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意得出函数解析式． 任务1：根据题干提供的信息，根据压强公式求出机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2：根据反比例函数的性质进行解答即可； 任务3：根据科考人员在行走过程中，对冰面的压力一定，可以通过增大受力面积的方法，来减小压强，从而可以安全通过该危险区域． 【详解】解：任务1：∵机器人质量为， ∴机器人对冰面的压力为：， ∴极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式为： ； 任务2：∵A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、， ∴， ， ， ∴， ， ， ∵， ∴极地机器人应更换C型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3：因为科考人员在行走过程中，对冰面的压力一定，根据压强公式可知，当受力面积越大时，科考人员对冰面的压强越小，因此当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，科考队员最好爬在冰面上，慢慢爬过冰面，可以安全离开危险区． 28．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ． 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像． （1） 根据光路图①可知， 当时， ； （2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图； 任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式； 任务三：根据任务二的关系式得出表： 物距x/ cm 8 10 12 14 16 像高y/ cm 12 6 4 m 2.4 （1） ； （2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象； 【答案】任务一：（1）；（2）图见详解；任务二：与的关系式是：；任务三：（1）3；（2）图见详解 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； 任务一：（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）根据题意可直接进行作图； 任务二：由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与的关系式； 任务三：（1）根据任务二可代值进行求解即可； （2）根据（1）及表格，结合描点、连线可作出函数图象． 【详解】解：任务一：（1）∵光轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由题意可得如图所示： 任务二：依题意得：四边形为矩形，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由任务一可知：，设， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴， 即与的关系式是：； 任务三：（1）由任务二可知：， 当时，， ； 故答案为：3． （2）由题意及（1）得：， 解得：， ∴， 将表格中的对应数据在直角坐标系中描点，再按照横坐标由小到大的顺序连线可得该函数的图象，如图所示： 29．（24-25八年级下·福建泉州·期末）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂=动力×动力臂，如图1，即），受桔槔汲水的启发，小明同学组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．      10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B对绳子的拉力为______N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小明同学准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的拉力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是____________． ②完成表格：______；______． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）中所求函数的图象上存在点C，当阻力臂移动到某个位置时，点C到原点O的距离最小，请确定点C的坐标，并说明理由． 【答案】(1) (2)①②4，（或1.6）③见解析 (3)点C坐标为或，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． （1）根据题意，直接根据求解即可； （2）①由公式可得关于的函数解析式；②将和代入①中解析式中求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； （3）由题意，设点C的坐标为，可得点C到原点的距离：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴重物B所受拉力为， （2）解：①由得，则， ∴y关于x的函数解析式为， 故答案为：； ②当时，； 当时，，故答案为：4，（或1.6）； ③列表如下． … 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … 描点：3．连线，可得该函数的图象，如下图即为所求： （3）解：∵点C在函数的图像上； ∴设点C的坐标为； 则点C到原点的距离： 当且仅当，时，d取最小值为（或）； ∴（或）； ∴点C坐标为或； 30．（22-23八年级下·浙江温州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 制作检测酒精的漂浮吸管 素材1 如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．    素材2 小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数与液体密度ρ（）之间的几组数据如下表： h（cm） … … ρ（） … … 素材3 浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为 ， ）： 问题解决 任务1 求ρ关于h的函数表达式． 任务2 由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到）    【答案】任务1：；任务2：见解析； 【分析】（1）设，把，代入求解即可得到答案； （2）根据关系式代入求解即可得到答案； 【详解】任务1： 解：由题意，得ρ是关于h的反比例函数，设，把，代入，得， ∴， ∴． 任务2： 解：由题意可得， ， ∴，标注如图，   ； 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据题意设出解析式，找到相关数据代入求解． 31．（23-24八年级下·江苏常州·期末）古希腊数学家、物理学家阿基米德曾说过一句豪言壮语：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话夸赞的其实是“杠杆原理”．如图1，“杠杆原理”可通俗地理解为：动力×动力臂=阻力×阻力臂．生活中，筷子、剪刀、羊角锤、钓鱼竿、跷跷板……，“杠杆原理”的应用无处不在． (1)最简单的“杠杆原理”应用：天平． 如图2，天平两端的托盘底部中心与支点的距离分别是、，且，设左侧托盘所放物体的质量是，右侧托盘所放砝码的质量是．当游码归零时，天平恰好保持平衡，由“杠杆原理”得与的数量关系为__________； (2)现代人的杠杆智慧：手机自拍杆． 如图3，一只手的握点O为支点，另一只手在点A处竖直向上用力，手机放置在自拍杆的点B处，且自拍杆与水平方向的夹角始终保持不变，手机的重力是，由“杠杆原理”得： ①当点A固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）； ②当点B固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）； (3)古代人的杠杆智慧：杆秤． 如图4，将质量为的待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动质量为的秤砣，，，秤杆总长度是． ①当秤杆保持水平时，m与l的函数表达式为__________，m的最大值是___________； ②将待测物与秤砣互换位置，在秤杆上移动待测物．当秤杆保持水平时，求m与l的函数表达式．此时，m是否有最大值？请说明理由． 【答案】(1) (2)①增大；②减小 (3)①，19；②，没有最大值，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数，反比例函数的应用，正确理解题意，弄清楚各量间的数量关系是解题的关键． （1）由“杠杆原理”得，再根据即得答案； （2）由“杠杆原理”得，所以，①根据正比例函数的性质，即可得到答案；②根据反比例函数的性质，即可得到答案； （3）①根据“杠杆原理”得，再根据正比例函数的性质，即可解答；②根据“杠杆原理”得，再根据反比例函数的性质，即可解答． 【详解】（1）由“杠杆原理”得，而， 所以； 故答案为：． （2）由“杠杆原理”得， 所以 ①当点A固定，增大时，和G不变，所以F是关于正比例函数，所以当增大时，所用的力F也随之增大； ②当点B固定，增大时，和G不变，所以F是关于反比例函数，所以当增大时，所用的力F反而减小； 故答案为：①增大；②减小． （3）①根据“杠杆原理”得， ， ， ， ， ， 随着l的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为19； 故答案为：，19． ②由“杠杆原理”得， 与l的函数表达式为， 根据反比例函数的性质， m随l的增大而减小， ， 没有最大值． 32．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）综合实践：自制密度秤测量液体密度． 问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，） 问题解决： (1)设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围． (2)若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，根据杠杆平衡条件列出等式． （1）根据杠杆平衡条件，列出函数解析式，根据，求出的取值范围即可； （2）设点处的读数为，则点N处的读数为，根据杠杆平衡条件得出，根据，求出． 【详解】（1）解：根据杠杆平衡原理可得：， 即， ∴， ∵， ∴； （2）解：设点处的读数为，则点N处的读数为， 即，， 根据杠杆平衡条件得：， ， ∴， 即， ∵， ∴． 33．（2024·宁夏银川·一模）如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示(压强的计算公式是：)： 桌面所受压强 250 400 500 800 受力面积 0.8 0.5 a 0.25 (1)求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值； (2)如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？若安全，请说明理由，若不安全，请通过计算说明如何摆放更安全．（长方体完全置于玻璃桌面上） 【答案】(1)；； (2)见解析． 【分析】本题考查反比例函数解应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、反比例函数图像与性质等知识，读懂题意，找出反比例函数表达式是解决问题的关键． （1）根据题中数据，可知压强关于受力面积的满足反比例函数关系，待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由（1）中关系式，求出接触面积，代值求解与玻璃桌面承受的最大压强为比较即可得到答案． 【详解】（1）解：， 压强关于受力面积的满足反比例函数关系， 设压强关于受力面积的函数表达式为，则， 压强关于受力面积的函数表达式为； 把代入，得， 解得； （2）这种摆放方式不安全． 理由：由已知， 此时， ∴这种摆放方式不安全． 当将长为60cm，宽为10cm这一面置于玻璃桌面时， 此时，则 ∴这种摆放方式不安全． 当将长为60cm，宽为40cm这一面置于玻璃桌面时， 此时，则 ∴这种摆放方式是安全的． 题型5 反比例函数与其他函数综合 利用反比例函数与一次函数或二次函数相结合解决实际问题是近年中考的热点题型.两种函数图像的交点的实际意义往往是分析问题的切点，要注意自变量的取值范围，特别要考虑实际情况. 34．（24-25八年级下·山东·期末）小丽家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出反比例函数解析，然后求出时t的值，然后求出结果即可； （3）根据每50分钟循环一次，然后把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 此函数解析式为：； （2）解：当，设水温与开机时间（分）的函数关系式为：， 依据题意，得：， 即， 故， 当时，， 解得：； （3）解：， 当时，， 答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 35．（24-25九年级上·广东江门·期末）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，设y与x的函数关系式为， ， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 综上所述，y与x的函数关系式为； （2）解：设利润为w元， 当时，， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， 当时，， ∴当时，w取得最大值，此时， ∵， ∴当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元， 答：当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元． 36．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）国家规定，如果驾驶人员血液中每毫升的酒精含量大于或等于毫克且小于毫克，则被认定为饮酒后驾车，如果每毫升的血液中酒精含量大于或等于毫克，则被认定为醉酒后驾车，且此时肝部正被严重损伤，一般成人饮用低度白酒后，血液中酒精含量（单位：毫克/百毫升）与时间（单位：时）的关系可近似的用如图所示的图象表示． (1)求所在直线及部分双曲线的函数表达式（不用写的取值范围）； (2)饮用低度白酒后，肝部被严重损伤会持续多少时间？ (3)假设某驾驶员晚上在家喝完低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请判断并说明理由． 【答案】(1)所在直线的解析式为，双曲线的函数表达式为 (2)小时 (3)不能驾车去上班，理由见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出时两函数对应的的值，相减即可求解； （）求出晚上到第二天早上经过的时间，再代入到双曲线的函数表达式中求出的值，跟进行比较即可判断求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴所在直线的解析式为， 设双曲线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴双曲线的函数表达式为； （2）解：把代入得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∵， ∴肝部被严重损伤会持续小时； （3）解：不能驾车去上班，理由如下： 晚上到第二天早上经过了小时， 把代入，得， ∴不能驾车去上班． 37．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【背景素材】 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量（）与释放时间（）成一次函数；释放后，与成反比例如图所示，且时，室内每立方米空气中的含药量（）达到最大值． 某兴趣小组记录部分（）与（）的测量数据如表．满足的自变量（）的取值范围为有效消毒时间段． 【解决问题】 （1）求关于的函数表达式． （2）求“药熏消毒”的有效消毒时间． （3）若在实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 【答案】（1）；；（2）有效消毒时间段为；（3）实际生活中有效消毒的时间段为 或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得时，对应的x的值，根据图象即可求解； （3）分当和、时，三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：设当药物释放阶段（即）时， 设， 把，代入， 得，解得， ∴； 设当药物释放后（即）时，设， 把代入， 得， 解得， ∴； （2）把分别代入，得， 解得， 由图象，得； （3）当时， 把代入，得， 解得； 把代入，得，满足题意； ． （2）时，把代入， 得， 解得（舍去）； ∴无解； （3）时，（即） ①把代入，得， 解得； 把代入，解得，满足要求（）， ∴； ②把代入， 得， 解得； 把代入，解得，满足要求（）， ∴ 综上， 或 38．（20-21八年级下·江苏盐城·期末）为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 【答案】(1)； (2)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键． （1）当时，y与x为反比例函数关系式，，可得反比例函数解析式； （2）计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于的持续时间，然后与比较大小即可判断此次消毒是否有效． 【详解】（1）解：当时， 设，将代入， 则， ∴； （2）解：此次消毒有效．理由如下： 当时， 设，将代入， 则，解得：， ∴； 当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴此次消毒有效． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 反比例函数与实际问题 题型1 反比例函数与实际问题 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 1．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)当时，求I的值． 2．（24-25九年级上·山东·期末）如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图． (1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； (2)当“木海马”底面面积为时，压强是多少； (3)如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少． 3．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式． (2)若汽车从上午8：00从A市出发， ①如果汽车在当天12：48到14：00之间到达B市，求汽车行驶速度的范围． ②汽车能否在当天11：30到达B市？为什么？ 4．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图，在一段长为的高速公路上，规定汽车行驶速度最低为，最高为． (1)直接填空： ①当行驶速度为，需要 h走完这段路； ②行驶完这段路恰好用了，行驶速度是 ． (2)请你根据以上背景，设定变量建立一个合理的函数关系，这个函数关系式中要把数据“”用上，并写出自变量的取值范围． (3)请你先提出一个问题，然后再回答它．要求：这个问题的解决要把“（2）中的函数关系式”、“”和“”都用上． 5．（24-25九年级上·河北·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口点到的距离为4米，求： (1)段所在的反比例函数关系式是什么？ (2)点到轴的距离长是多少？ (3)若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于3米，则到的距离至少多少米？ 题型2 新情景问题 6．（2024·辽宁·模拟预测）2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占有率超过，汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆．为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清．y与x满足某函数关系，其部分对应值如下表，请回答下列问题． x/月 … 2 4 7 10 … y/万元 … 7 2 … (1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款； (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元； (3)如果张先生打算每月付款万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？ 7．（2024·河南漯河·一模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻（）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量（）变化的关系图象如图2所示，（）为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)请根据图2，判断气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成________函数，它的函数解析式为________； (2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准； (3)该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至，此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？ 8．（2024·广东广州·一模）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； (2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由； (3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 10．（2025·广东佛山·三模）随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕．运动需要有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全．某综合实践小组准备研究心率与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系．在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率 40 60 70 76 82 … (1)判断初中所学函数是否能很好地表示随变化的规律，说明理由； (2)经探究是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式； (3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过．结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要休息？ 11．（24-25九年级下·湖北·阶段练习）图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段表示距离水平面（轴）高度为的平台（点A在轴上），滑道可以看作是反比例函数图像的一部分，点B到轴的距离是，点C到水平面的距离为，滑道可以看作是二次函数图像的一部分，最高点到轴的距离是，到水平面的距离是． (1)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (2)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (3)在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面时，所滑过的水平距离为 （直接写出所有可能的结果）． 12．（24-25八年级下·浙江温州·期末）综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 13．（2023·广西南宁·二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 14．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从D点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点K（与相距）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． (1)求线段的函数表达式（写出x的取值范围）． (2)当时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想a关于的函数类型，并用一个比较接近的函数关系式来表达它们的函数． ②当v为多少时，运动员的成绩恰能达标？ 15．（2024·广东·模拟预测）【综合与实践】生活中的函数． (1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． (2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事． 北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量(毫米） 销售单价（元） 47 45 44 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： ①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． ②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ ③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？ 题型3 新考法问题 16．（2023·河南安阳·二模）寓言故事：青年用木柴烧水时，由于木柴不足，水没有烧开，重新找木柴的时间水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新烧开，很是气馁．路过的智者提醒他，木柴不够，可以将水倒掉一部分．青年听后，茅塞顿开，把水烧开了． 智者的话蕴含一定道理，根据物理学公式（Q表示寓言故事中水吸收的总热量，c表示水的比热容为常数，m表示水的质量，表示水的温差），得．智者的话可解释为：当木柴质量确定时，提供给水吸收的总热量Q随之确定，为定值，水上升的温度（单位：）与水的质量m（单位：kg）成反比例． (1)若现有木柴可以将3kg温度为25℃的水加热到75℃，请求出这种情形下的值及关于m的反比例函数的表达式； (2)在（1）的情形下，现有的木柴可将多少千克温度为25℃的水加热到100℃． 17．（2024·福建福州·模拟预测）为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等． 【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“E”形图边长，在平面直角坐标系中描点． 【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 【素材3】如图3，当确定时，在处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 【探究活动】(1)当检测距离为5米时， ①猜想与满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）； ②直接写出与的函数关系式为______； ③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． (2)当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围． (3)在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为，设置的检测距离为3.5米．请问，设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配，请说明理由；若不匹配，小何同学该如何调整自己的位置？ 18．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）某科学兴趣小组成员为研究物体质量对物体弹射高度的影响，利用一款弹射器进行试验研究，弹射器将不同质量的小球从地面弹出，利用无人机技术测量每次试验小球弹射的最大高度，小组成员收集了小球弹射的最大高度（单位：m）与小球质量（单位：）之间的关系，并绘制在平面直角坐标系中，如图所示． (1)由图象可知与之间满足反比例函数关系，若有一个点的纵坐标记录错误，则这个点是点__________（填字母），正确的值应为___________． (2)求反比例函数的表达式． (3)请通过计算判断质量为的小球能够弹射到的高度吗？ 19．（22-23九年级上·河南郑州·期末）某设计师结合数学知识设计一款沙发，沙发三视图如图一所示，将沙发侧面展示图简化后，得到图二所示图形．为了解沙发相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系，其中曲线AB是反比例函数的一段图像，线段BD是一次函数：的一段图像，点，沙发腿轴．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数表达式和一次函数表达式（不要求写x的取值范围）； (2)过点A向x轴作垂线，交x轴于点F．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子长、宽、高至少分别是多少？ 20．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 21．（25-26九年级上·广东深圳·期中）实验数据显示：一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中的酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画．如图所示，并且通过测试发现酒后半小时和1.5小时的酒精含量均为150毫克/百毫升，酒后5小时为45毫克/百毫升． (1)求二次函数和反比例函数解析式； (2)喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (3)按国家规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾驶上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 22．（22-23九年级下·广东东莞·开学考试）某位患有疾病的甲病人第一次使用药物后药物效能（单位：）与服用时间（时间：）的变化关系为（如图）． 已知时效能最高到达，且自第次服药后效能最多提高，且当药效下降至时需再次服药，使得与的正比例关系呈现同样的图象形状． (1)求，，； (2)第三次服药时离第二次服药间隔为多久？ 23．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践 【问题情境】排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 24．（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”． 抽象建模 如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分． 数据与定义 已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离． 问题解决 (1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）； (2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）； (3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分． 25．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 26．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图1所示．在面积为6的四边形中，对角线．设，请按要求作答． (1)求与之间的函数解析式，及对应的的取值范围； (2)图2为单位长度为1的的平面直角网格坐标系，其中每个小正方形的顶点称为格点，在图2中描绘出与的函数图象； (3)若函数图象上最上方的格点为，最下方的格点为，直接写出点到线段的距离． 题型4 跨学科问题 跨学科的反比例函数应用问题一般要利用其他学科相关量之间的等量关系构建反比例函数模型，再利用反比例函数的相关知识解决问题. 27．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全？ 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机器人，机器人质量为． 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等． 素材2 重力（G）＝质量（m）×重力系数（g）； 压强（P）； 重力系数． 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为． 解决问题 任务1 直接写出极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变），A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、．利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区． 28．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材：素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ． 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像． （1） 根据光路图①可知， 当时， ； （2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图； 任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式； 任务三：根据任务二的关系式得出表： 物距x/ cm 8 10 12 14 16 像高y/ cm 12 6 4 m 2.4 （1） ； （2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象； 29．（24-25八年级下·福建泉州·期末）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂=动力×动力臂，如图1，即），受桔槔汲水的启发，小明同学组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．      10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B对绳子的拉力为______N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小明同学准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的拉力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是____________． ②完成表格：______；______． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）中所求函数的图象上存在点C，当阻力臂移动到某个位置时，点C到原点O的距离最小，请确定点C的坐标，并说明理由． 30．（22-23八年级下·浙江温州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 制作检测酒精的漂浮吸管 素材1 如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．    素材2 小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数与液体密度ρ（）之间的几组数据如下表： h（cm） … … ρ（） … … 素材3 浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为 ， ）： 问题解决 任务1 求ρ关于h的函数表达式． 任务2 由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到）    31．（23-24八年级下·江苏常州·期末）古希腊数学家、物理学家阿基米德曾说过一句豪言壮语：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话夸赞的其实是“杠杆原理”．如图1，“杠杆原理”可通俗地理解为：动力×动力臂=阻力×阻力臂．生活中，筷子、剪刀、羊角锤、钓鱼竿、跷跷板……，“杠杆原理”的应用无处不在． (1)最简单的“杠杆原理”应用：天平． 如图2，天平两端的托盘底部中心与支点的距离分别是、，且，设左侧托盘所放物体的质量是，右侧托盘所放砝码的质量是．当游码归零时，天平恰好保持平衡，由“杠杆原理”得与的数量关系为__________； (2)现代人的杠杆智慧：手机自拍杆． 如图3，一只手的握点O为支点，另一只手在点A处竖直向上用力，手机放置在自拍杆的点B处，且自拍杆与水平方向的夹角始终保持不变，手机的重力是，由“杠杆原理”得： ①当点A固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）； ②当点B固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）； (3)古代人的杠杆智慧：杆秤． 如图4，将质量为的待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动质量为的秤砣，，，秤杆总长度是． ①当秤杆保持水平时，m与l的函数表达式为__________，m的最大值是___________； ②将待测物与秤砣互换位置，在秤杆上移动待测物．当秤杆保持水平时，求m与l的函数表达式．此时，m是否有最大值？请说明理由． 32．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）综合实践：自制密度秤测量液体密度． 问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，） 问题解决： (1)设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围． (2)若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度． 33．（2024·宁夏银川·一模）如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示(压强的计算公式是：)： 桌面所受压强 250 400 500 800 受力面积 0.8 0.5 a 0.25 (1)求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值； (2)如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？若安全，请说明理由，若不安全，请通过计算说明如何摆放更安全．（长方体完全置于玻璃桌面上） 题型5 反比例函数与其他函数综合 利用反比例函数与一次函数或二次函数相结合解决实际问题是近年中考的热点题型.两种函数图像的交点的实际意义往往是分析问题的切点，要注意自变量的取值范围，特别要考虑实际情况. 34．（24-25八年级下·山东·期末）小丽家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 35．（24-25九年级上·广东江门·期末）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？ 36．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）国家规定，如果驾驶人员血液中每毫升的酒精含量大于或等于毫克且小于毫克，则被认定为饮酒后驾车，如果每毫升的血液中酒精含量大于或等于毫克，则被认定为醉酒后驾车，且此时肝部正被严重损伤，一般成人饮用低度白酒后，血液中酒精含量（单位：毫克/百毫升）与时间（单位：时）的关系可近似的用如图所示的图象表示． (1)求所在直线及部分双曲线的函数表达式（不用写的取值范围）； (2)饮用低度白酒后，肝部被严重损伤会持续多少时间？ (3)假设某驾驶员晚上在家喝完低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请判断并说明理由． 37．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【背景素材】 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量（）与释放时间（）成一次函数；释放后，与成反比例如图所示，且时，室内每立方米空气中的含药量（）达到最大值． 某兴趣小组记录部分（）与（）的测量数据如表．满足的自变量（）的取值范围为有效消毒时间段． 【解决问题】 （1）求关于的函数表达式． （2）求“药熏消毒”的有效消毒时间． （3）若在实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 38．（20-21八年级下·江苏盐城·期末）为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $