培优01 反比例函数的图像与性质（9种题型）（专项训练）数学人教版九年级下册

培优01 反比例函数的图像与性质 题型1 反比例函数的定义 在反比例函数中，与自变量x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可. [易错点]忽视这个条件，而得到错误结论. 1．（2023·广东茂名·模拟预测）已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（   ） 3 6 A． B．4 C． D．9 2．（24-25九年级上·安徽·期中）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 3．（22-23七年级下·四川成都·期中）根据所学函数知识，解答下列问题： (1)已知函数，当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，函数是反比例函数，并求当时，的值为多少？ 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 题型2 画反比例函数图像 5．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）【问题】我们知道，反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的？其图象与函数的图象有关系吗？ 【探索】我们可以借鉴学过的研究函数的方法，探索函数的图象． （1）写出表格中m，n的值，并将函数图象补充完整． ①列表、取值（这里自变量x的取值范围是）． x …… 0 2 3 4 5 6 7 …… y …… m 6 3 2 n 1 …… 表格中________， ________． ②描点连线． （2）认真观察图表，联想函数的图象和性质，解答下列问题： ①函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度得到的，其对称中心的坐标是（________，________）； ②写出函数的增减性性质：当时，y随x的增大而________； 【应用】（3）在上面的坐标系中画出函数的图象，利用你所画的图象，直接写出不等式的解集：________． 6．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）是一种类似于反比例函数的对勾函数，形如其函数图像形状酷似双勾，故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”，，函数图像如下图所示，根据图像对函数的图像和性质进行了探究。 (1)绘制函数图像： 列表：下表是x与y的几组对应值 x … 1 2 3 … y … 2 2 … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你在平面直角坐标系中将．图像补充完整： (2)观察发现： ①写出函数的一条性质______ ②函数图像与直线有______个交点， 所以对应的方程有______个实数根． (3)分析思考： ①方程的的解为______ ②不等式，x的取值范围为______ 7．（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 8．（2024·山东菏泽·一模）探究任务：函数的图像与性质． 任务1：描点连线画出图像 … … … … 根据图像，回答问题 （1）该函数自变量的取值范围是 ． （2）写出该函数图像的两条性质 ． 任务2：由特殊走向一般 （3）根据函数的最值，可以发现，当时，与之间有什么关系？（直接写出结果）进一步地，对于任意正实数、，都有 ． 任务三：解决实际问题 （4）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比：若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元、这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 题型3 求反比例函数解析式 由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需给出一组x，y的对应值或图像上一个点的坐标，代入解析式求出k的值，即可确定反比例函数的解析式. 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值求矩形面积． x 1 8 y 4 2 (1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式； (2)根据函数关系式完成上表． 10．（2026·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． (1)点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) (2)求 k的值． 11．（24-25九年级下·广东汕头·开学考试）已知反比例函数的图象经过点． (1)函数的图象位于哪些象限内？ (2)点是否在这个函数图象上？ 题型4 函数图形综合判断 12．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）已知，则函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线（，，是常数且，，）的位置如图，则抛物线和双曲线在同一坐标系中的图象可能为（     ）． A．B．C． D． 14．（2025·安徽六安·二模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，则二次函数的图象可能为（ ） A．B．C． D． 15．（2025·河北邯郸·一模）定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 16．（2025·四川资阳·一模）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”由此可知方程的实数根的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型5 反比例函数的性质 17．（24-25八年级下·广东惠州·期末）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象过第一、三象限 C．若，则 D．点、是图象上的两点，，则 18．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 22．（2025·重庆·模拟预测）已知反比例函数 的图象，在每一个象限内，随增大而减小，则下列各点可能在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 23．（2025·福建莆田·三模）已知反比例函数（为常数，且），当时，的最大值是，则当时，的最小值为 ． 24．（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 题型6 根据反比例函数的性质求参数 25．（2025·江苏扬州·三模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（2025·浙江杭州·二模）已知一次函数过点，反比例函数，当时，恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·江苏无锡·二模）定义：若，满足，，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 28．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则 ． 29．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知反比例函数与，当时，的最大值为4，则的值是 ． 30．（2025·福建龙岩·一模）反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则符合条件的整数的值可以是 ．（写出一个符合要求的值即可） 31．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，若函数（）的图象经过点和，若，则的值是 ． 32．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为 ． 33．（24-25八年级下·浙江·期末）已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 题型7 反比例函数与一次函数交点问题 1）当直线与坐标轴重合时，直线与双曲线没有交点； 2）当直线与坐标轴平行时，直线与双曲线由一个交点； 3）当直线与坐标轴既不重合也不平行时，将反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数. 34．（2025·陕西汉中·二模）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 35．（24-25九年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，则m的取值范围是 ． 36．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）若反比例函数与正比例函数的图象没有交点，则的取值范围是 ． 37．（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求、的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 38．（24-25九年级上·山东·期中）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 39．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 40．（2024·广西·模拟预测）阅读与探究．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“绝对函数”．例如，函数y=x+1的“绝对函数”是，即；函数的“绝对函数”是，即；函数的图象如图1，则它的“绝对函数”的图象如图②所示． (1)的“绝对函数”是______； (2)在图3的平面直角坐标系中画出的绝对函数的图象； (3)在（1）的“绝对函数”图象上取一点A，点A关于y轴的对称点为，O是平面直角坐标系的原点，则的面积是______； (4)函数的“绝对函数”与直线有四个交点时，求m的取值范围． 41．（2024·四川泸州·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、且与x轴相交于点D，过A点作AC⊥x轴，垂足为C． (1)求出一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P是一次函数图象上的动点，若把分成面积比等于的两部分，求点P的坐标． 题型8 反比例函数存在性问题 反比例函数与四边形的存在性问题，一般是指与平行四边形、矩形、菱形、正方形等存在性问题，①考查平行四边形时，根据一固定线段按边和对角线进行分类讨论；②考查矩形时，可联想到直角三角形存在性问题进行探讨；③考查菱形时，可联想到等腰三角形存在性问题进行探讨；④考查正方形时，可联想到等腰直角三角形存在性问题进行探讨. 42．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 43．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，直线交x轴于点B，交y轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，． (1)求k的值； (2)求的面积． (3)根据图象直接写出时，x的取值范围． (4)点M是反比例函数上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标． 45．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 46．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型9 反比例函数整点问题 47．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的动点，沿折叠四边形，点，分别是点，的对应点，第一象限内的双曲线，分别经过点，． (1)______； (2)若，直线分别与双曲线，交于点，． ①求双曲线的函数表达式； ②用含的式子表示的长度，并判断随着的值逐渐增大，长度的变化情况； (3)若，且双曲线，之间（不包括边界）有个整点（横、纵坐标都是整数），直接写出的取值范围． 48．（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．    (1)求b的值，并在图中画出直线l； (2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接．若，求m的取值范围； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数． 49．（2024·湖北荆州·二模）如图，直线与y轴交于点B，与直线交于点A，双曲线过点A．    (1)求反比例函数的解析式； (2)①若将直线射线方向平移，当点A到点B时停止，则直线在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为_________； ②直接写出直线与双曲线围成的区域内（图中阴影部分，不含边界）整点（横坐标和纵坐标都是整数）的坐标．     50．（23-24九年级下·北京东城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数图象G与直线，点（，n为整数）在直线l上．    (1)对于任意的k直线必过一定点，直接写出这个点的坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域（不含边界）为W． ①当时，求k的值，并写出区域W内的整点个数； ②若区域W内整点个数m满足时，结合函数图象，求k的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01 反比例函数的图像与性质 题型1 反比例函数的定义 在反比例函数中，与自变量x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可. [易错点]忽视这个条件，而得到错误结论. 1．（2023·广东茂名·模拟预测）已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（   ） 3 6 A． B．4 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数值，求反比例函数解析式，解题关键是求得函数的解析式． 先根据，，求得反比例函数解析式，再求出时函数值． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 把，代入， 得， 即， 将代入， 得：， 所以空格中所表示的数是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽·期中）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不可能为反比例函数，理由见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义． （1）直接利用二次函数的定义分析得到且，解方程得出答案； （2）直接利用反比例函数的定义得到，且，解方程得出答案． 【详解】（1）解：∵函数， 且时，该函数为二次函数， 解得：， 时，该函数为二次函数； （2）该函数不可能为反比例函数．理由如下： 当该函数为反比例函数，则，且， 整理得， 此时，方程无实数根， 故该函数不可能为反比例函数． 3．（22-23七年级下·四川成都·期中）根据所学函数知识，解答下列问题： (1)已知函数，当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，函数是反比例函数，并求当时，的值为多少？ 【答案】(1)，为任意实数 (2)， 【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于的不等式组，求出的值即可； （2）根据反比例函数的定义列出关于的不等式组，求出的值，故可得出反比例函数的解析式，再把代入解析式即可得出的值． 【详解】（1）函数是一次函数， 且为任意实数， 解得， ，为任意实数； （2）函数是反比例函数， ， 解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ． 【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，反比例函数及一次函数的定义，熟知以上知识是解题的关键． 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查求函数表达式，设，待定系数法求出，即可．掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 【详解】解：设， 则：， 由题意，得：，解得：， ∴． 题型2 画反比例函数图像 5．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）【问题】我们知道，反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的？其图象与函数的图象有关系吗？ 【探索】我们可以借鉴学过的研究函数的方法，探索函数的图象． （1）写出表格中m，n的值，并将函数图象补充完整． ①列表、取值（这里自变量x的取值范围是）． x …… 0 2 3 4 5 6 7 …… y …… m 6 3 2 n 1 …… 表格中________， ________． ②描点连线． （2）认真观察图表，联想函数的图象和性质，解答下列问题： ①函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度得到的，其对称中心的坐标是（________，________）； ②写出函数的增减性性质：当时，y随x的增大而________； 【应用】（3）在上面的坐标系中画出函数的图象，利用你所画的图象，直接写出不等式的解集：________． 【答案】（1）①；；②见解析； （2）①右；1；1；0；②减小； （3）或 【分析】（1）①根据分式有意义的条件可求得自变量的取值范围，当时和当时，代入即可求得m，n的值； ②在坐标系内描点，再利用平滑的曲线连接即可． （2）①当时，将其代入和中求出x的值，再根据左右平移的规律即可求解； ②根据函数图象得出答案即可； （3）联立方程组，解得或，根据函数图象，进而可求得解集． 【详解】（1）解：①由题意得：， 解得：， 自变量x的取值范围是； 当时，， ； 当时，， ； 故答案为：；； ②连线如图： （2）①当时，代入得：，代入得：， ， 函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位长度得到的， 由于的对称中心的坐标是， 则的对称中心的坐标是； ②根据函数图象可知：当时，y随x的增大而减小； （3）联立， 整理得，， 解得：或， 根据函数图象可知：不等式的解集为： 或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质、用描点法画函数图象、自变量，熟练掌握反比例函数的图象及性质和作函数图象的基本步骤是解题的关键． 6．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）是一种类似于反比例函数的对勾函数，形如其函数图像形状酷似双勾，故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”，，函数图像如下图所示，根据图像对函数的图像和性质进行了探究。 (1)绘制函数图像： 列表：下表是x与y的几组对应值 x … 1 2 3 … y … 2 2 … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你在平面直角坐标系中将．图像补充完整： (2)观察发现： ①写出函数的一条性质______ ②函数图像与直线有______个交点， 所以对应的方程有______个实数根． (3)分析思考： ①方程的的解为______ ②不等式，x的取值范围为______ 【答案】(1)图象见解析 (2)①关于y轴对称， ②2,2 (3)① ②或 【分析】本题主要考查了画函数图象，函数图象的性质，函数与方程，函数与不等式， 对于（1），观察表格，描点，连线可得图象； 对于（2），①根据图象的对称性可得答案；②画出图象可得交点个数，再结合函数图象交点个数与该方程的解的关系解答； 对于（3），①求出方程的解，再根据方程的特点可得答案； ②先求出方程的解，再观察图象可得答案. 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：①通过观察图象可得的图象关于y轴对称； 故答案为：关于y轴对称； ②如图所示，函数图象与直线有两个交点，即方程有两个实数根， 故答案为：2，2； （3）解：①∵的解， ∴方程的解是方程的解向右平移1个单位， 即； 故答案为：； ②当时，结合表格，由下图象可得解， ∴不等式的解集是或. 故答案为：或. 7．（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）． (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②、③如图： （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 8．（2024·山东菏泽·一模）探究任务：函数的图像与性质． 任务1：描点连线画出图像 … … … … 根据图像，回答问题 （1）该函数自变量的取值范围是 ． （2）写出该函数图像的两条性质 ． 任务2：由特殊走向一般 （3）根据函数的最值，可以发现，当时，与之间有什么关系？（直接写出结果）进一步地，对于任意正实数、，都有 ． 任务三：解决实际问题 （4）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比：若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元、这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 【答案】任务一：（1）图见详解；；（2）函数关于原点对称、当时y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大 任务二：（3）； 任务三：（4）这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小 【分析】本题考查了反比函数—拓展，解题关键是熟练掌握反比函数的图像及性质． （1）根据分母不能为0即可求解； （2）列表、描点、连线，根据函数图像写性质即可； （3）由任务一可得当时，的最小值为1，由此即可求解； （4）设，，当时，，，分别求出，可得由任务三即可求解． 【详解】解：任务一：列表 … 1 2 … … … （1） （2）由函数图像可得：函数关于原点对称；当时y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大； 任务二：（3）当时，函数有最小值为：2， ， ， 故对任意正实数、，都有； 任务三：（4）设，， 当时，，， ， ，， 两项费用之和为， ， ， 这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小． 题型3 求反比例函数解析式 由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需给出一组x，y的对应值或图像上一个点的坐标，代入解析式求出k的值，即可确定反比例函数的解析式. 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值求矩形面积． x 1 8 y 4 2 (1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式； (2)根据函数关系式完成上表． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查求反比例函数解析式、求函数的自变量或函数值， （1）根据矩形的面积公式设出关系式，再把点代入求解析式即可； （2）利用函数解析式求自变量或函数值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得，， ∴； （2）解：把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 完成表格如下： 10．（2026·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． (1)点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) (2)求 k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，直角坐标系中坐标的平移，熟练掌握坐标的平移特征和反比例函数解析式的特征是解决本题的关键． （1）先利用向右平移2个单位长度，即横坐标加2，得出点B的坐标，再根据将点B向下平移，对应点为点C，得点C的横坐标和点B的横坐标相同，即可求解； （2）根据点A与点C均在反比例函数图象上，代入列式可求解，可得a的值，进而可知点A的坐标，代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵向右平移2个单位长度，得到点B， ∴点B的坐标为， ∵将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，点C的纵坐标为1， ∴点C的横坐标和点B的横坐标相同， ∴点C的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴． 11．（24-25九年级下·广东汕头·开学考试）已知反比例函数的图象经过点． (1)函数的图象位于哪些象限内？ (2)点是否在这个函数图象上？ 【答案】(1)反比例函数的图象位于第二、四象限内 (2)点不在这个函数的图象上 【分析】此题考查了求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质、求反比例函数值，准确求出反比例函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据反比例函数的图象和性质进行解答即可； （2）求出时的反比例函数值即可作出判断． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，把代入得到， 解得 ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限内； （2）当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 题型4 函数图形综合判断 12．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）已知，则函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，根据一次函数的性质和反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴的图象经过二、四象限， ∵， ∴的图象在一、三象限． 故选： D． 13．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线（，，是常数且，，）的位置如图，则抛物线和双曲线在同一坐标系中的图象可能为（     ）． A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象与系数的关系.先根据一次函数的图象判断a，b，c的范围，再判断反比例函数的图象，最后再利用抛物线的图象即可得到答案. 【详解】直线的函数图象经过二、三、四象限， ， ， ∴双曲线的图象经过第一、三象限，故A和C错误. ∵，所以抛物线的图象与y轴相交于其负半轴，B选项错误. 故选：D. 14．（2025·安徽六安·二模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，则二次函数的图象可能为（ ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质. 根据反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，可知，，然后即可判断二次函数的图象开口方向和对称轴所在的位置，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限， ，， 二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左侧， 故选：A 15．（2025·河北邯郸·一模）定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据新定义，得，根据函数图象的画法，确定解答即可． 本题考查了新定义问题，根据新定义确定函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据新定义，得， 画图如下： ， 故选：C． 16．（2025·四川资阳·一模）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”由此可知方程的实数根的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，数形结合是解题的关键．画出的图象与的图象，观察交点情况，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，那么设和， 对于，那么顶点坐标为， 当时，，，那么该抛物线过，， 当时，，那么该抛物线过， 对于，时，， 时，， 时， 那么该双曲线过，，，如图所示： 从图象可知，和的交点有3个，那么方程的实数根的个数有3个． 故选：D． 题型5 反比例函数的性质 17．（24-25八年级下·广东惠州·期末）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象过第一、三象限 C．若，则 D．点、是图象上的两点，，则 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数（为常数，）的图象与性质，包括图象经过的点、所在象限、函数的单调性等．根据反比例函数性质逐个选项分析即可． 【详解】A．当时，，所以图象必经过点，正确，故本选项不符合题意； B．，，所以图象过第一、三象限，正确，故本选项不符合题意； C．当时，，因为反比例函数图象在每一个象限内随的增大而减小，所以若，则，错误，故本选项符合题意； D．，，所以图象过第一、三象限，即、同号，所以，则，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 18．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的系数判断图象所在象限，以及在每一象限内的增减性． 先根据反比例函数判断函数所在象限，再分析各点所在象限的函数值正负，最后根据同一象限内的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点、、， ∴（∵）， ， ， ∴． 又∵在第二象限内，随的增大而增大，且， ∴当从增大到时，值增大，即， ∴， 故选：D． 19．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 20．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴、B两点在第四象限，C点在第二象限， ∴． 故选：D． 21．（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 22．（2025·重庆·模拟预测）已知反比例函数 的图象，在每一个象限内，随增大而减小，则下列各点可能在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．由题意可知，反比例函数在每一象限内随增大而减小，故，然后验证各选项是否满足即可． 【详解】解：当反比例函数在每一象限内随增大而减小时，， 、，符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 23．（2025·福建莆田·三模）已知反比例函数（为常数，且），当时，的最大值是，则当时，的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，由题意可得反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随着的增大而减小，再结合反比例函数的增减性求解即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵当时，的最大值是， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随着的增大而减小， ∴当时，，即， ， ∴反比例函数解析式为， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为； 故答案为：1． 24．（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)；第二、四象限 (2)点，在反比例函数的图像上，点不在反比例函数的图像上，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． （1）将代入反比例函数解析式即可求得m的值，再根据反比例函数的性质即可解答； （2）将各个点的横坐标代入反比例函数解析式，再对比纵坐标即可； （3）将代入反比例函数解析式，求得横坐标，即可解答． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 该反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限； （2）解：当时，，故点在反比例函数上； 当时，，故点不在反比例函数上； 当时，，故点在反比例函数上； （3）解：当时，； 当时，， 故当时，该反比例函数的函数值y的取值范围为． 题型6 根据反比例函数的性质求参数 25．（2025·江苏扬州·三模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围． 【详解】解：，且， ∴反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 26．（2025·浙江杭州·二模）已知一次函数过点，反比例函数，当时，恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的图象和性质；根据一次函数过点得到一次函数解析式，分别讨论当时，当时的函数图象，再结合题意列出不等式，计算求解即可． 【详解】解：将点代入，得， 解得，故一次函数为． 当时，代入，， 反比例函数过第一、三象限， 当时， 一次函数，过第二、三、四象限， 不满足当时，恒成立， 当时，如图， 当时，， ∵当时，恒成立， ∴， 解得：， 故选：D． 27．（2025·江苏无锡·二模）定义：若，满足，，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元二次方程根的判别式，先根据题意得出，联立得出，由一元二次方程根的判别式计算得出，结合反比例函数的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 联立可得：， ∴， ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：D． 28．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标特征，反比例函数的性质，由点的坐标特征以及题意得出在第三象限，由反比例函数的性质可得图象经过的两个点是，，再求出反比例函数的解析式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，点在第二象限，在第一象限，在第二或三象限， ∵点，，分别在三个不同象限， ∴在第三象限， 由反比例函数的性质可得：图象经过的两个点是，， 将代入反比例函数的解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式可得， 故答案为：． 29．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知反比例函数与，当时，的最大值为4，则的值是 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出关于k的方程是解题关键． 根据反比例函数在上的增减性，可得，，得出方程求解即可． 【详解】解：对于反比例函数，当时，当时，取得最大值， 当时，， 对于反比例函数，当时，当时，取得最小值， 当时，， ∵的最大值为4， ∴ 解得， 故答案为：6． 30．（2025·福建龙岩·一模）反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则符合条件的整数的值可以是 ．（写出一个符合要求的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质，根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知，进而问题可求解，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， ∴， ∴， ∴可取， 故答案为：（答案不唯一）． 31．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，若函数（）的图象经过点和，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由题得，继而得到，解得． 【详解】解：函数（）的图象经过点和， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 32．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象及其性质，完全平方公式．根据多项式是一个完全平方式得，再根据反比例函数的图象位于第二、四象限得，由此解得，据此可得出的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ， 故答案为：． 33．（24-25八年级下·浙江·期末）已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，中心对称的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把，代入，求出，再计算即可； （2）根据中心对称的点的坐标特征求解即可； （3）先确定，，进而确定点在第三象限，点在第一象限，最后根据象限内的点的坐标特征列不等式求解即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ； （2）∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上 ∴，，， ∴ （3）∵，， ∴， ∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点和点不在同一象限内， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，且， 解得：． 题型7 反比例函数与一次函数交点问题 1）当直线与坐标轴重合时，直线与双曲线没有交点； 2）当直线与坐标轴平行时，直线与双曲线由一个交点； 3）当直线与坐标轴既不重合也不平行时，将反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数. 34．（2025·陕西汉中·二模）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． 把点代入，可求出交点的坐标，再把交点的坐标代入，即可求解． 【详解】解：把点代入得： ， ∴交点的坐标为， 把点代入得： ． 故选：A 35．（24-25九年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，通过交点和象限求系数的取值范围等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质． 先求出临界交点的坐标，然后根据反比例函数图象的性质求解，通过反比例函数图象所在的象限得出另一种情况． 【详解】解：把代入，得， 把代入得，， ∵当时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值， ∴； 当时，反比例函数图象位于第二和第四象限，也满足要求； 故答案为：或． 36．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）若反比例函数与正比例函数的图象没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是联立方程，根据方程无实数解的条件确定的取值范围． 联立反比例函数与正比例函数的方程，得到关于的二次方程，根据方程无实数解的条件来确定的取值范围． 【详解】解：联立反比例函数和正比例函数，可得， 进一步变形为， 反比例函数与正比例函数的图象没有交点， 方程无实数解，且， ， 解得：． ∵，则， 综上所述：. 故答案为：． 37．（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求、的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据函数图象上点的坐标特征，将点，代入一次函数，求出、的值，再将点代入反比例函数，求出，即可得到反比例函数的表达式； （2）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，点，在一次函数的图象上， ，， ，， ，， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：直线向下平移个单位， 平移后的函数解析式为， 联立， 整理得：， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得：或， ， 不符合题意，舍去， ． 38．（24-25九年级上·山东·期中）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，轴对称最短路径问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）如图，过作轴于，过作轴于，设，证明，可得，可得，再解方程可得答案； 【详解】（1）解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数表达式为， ，得， ， 将点和点代入得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小， 设，代入得， 解得， 令，得 ； （3）解：如图，过作轴于，过作轴于，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵在的图象上， ∴，即， 解得：，， ∴或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，画出图形熟练的利用图形解答是关键. 39．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为：； (2)； (3)①；②存在， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）①设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可； ②按照①的解法求解即可． 【详解】（1）解：把代入线与反比例函数， 得， ∴， ∴一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 联立， 解得：， 经检验解成立， ∴， ∴； （3）解：①设，连接并延长交y轴于点N，如图： ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， 把点分别代入得：， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴ ②存在，理由如下， 作出同样辅助线， ∵点M在第一象限，且点M在点A右侧， ∴， 同理可求：直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴． 40．（2024·广西·模拟预测）阅读与探究．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“绝对函数”．例如，函数y=x+1的“绝对函数”是，即；函数的“绝对函数”是，即；函数的图象如图1，则它的“绝对函数”的图象如图②所示． (1)的“绝对函数”是______； (2)在图3的平面直角坐标系中画出的绝对函数的图象； (3)在（1）的“绝对函数”图象上取一点A，点A关于y轴的对称点为，O是平面直角坐标系的原点，则的面积是______； (4)函数的“绝对函数”与直线有四个交点时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)6 (4) 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的综合应用，一次函数的应用；理解并运用新定义“绝对函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． （1）根据定义直接写出函数即可； （2）根据定义画出函数图象即可； （3）根据函数对称的特点，求出对称的函数的点，再由两个函数与y轴的交点不变，三角形面积计算公式即可； （3）先根据解析式，求出函数图象与y轴的交点，再根据两个函数交点与方程关系，列出方程组求解即可． 【详解】（1）根据题意得： 的“绝对函数”是， 故答案为： （2）的绝对函数是即 如图所示的绝对函数的图象为 （3）如图所示： 的“绝对函数”是，点A关于y轴的对称点为， 设点，则 ， 到x轴距离为y， 的面积是， （4）如图所示： 令，得则函数图象与y轴的交点是； 当直线经过时，直线与图象有三个交点， 此时 当直线向下平移，若直线与函数只有一个交点时， 可得方程有两个相等的实数根， 则， 解得 ， 若函数的“绝对函数”与直线有四个交点时， m的取值范围是． 41．（2024·四川泸州·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、且与x轴相交于点D，过A点作AC⊥x轴，垂足为C． (1)求出一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P是一次函数图象上的动点，若把分成面积比等于的两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)不等式的解集为或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法得出，计算，两点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式； （2）根据图象即可求得； （3）根据把分成面积比等于的两部分，可分情况讨论，①当时；②当时；代入三角形面积公式可解答． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上 ， 反比例函数为， ∵反比例函数的图象经过点， ，， ，，把A、B的坐标代入， 得，解得， 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象，不等式的解集为：或． （3）解：作于M，轴于N，轴于F，则，设与y轴交于点E， ． ，，，， ． 把分成面积比等于2：3的两部分， 同理， 把分成面积比等于2：3的两部分， ∵直线交坐标轴于D、E， ，， ∵把分成面积比等于2：3的两部分， 或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 题型8 反比例函数存在性问题 反比例函数与四边形的存在性问题，一般是指与平行四边形、矩形、菱形、正方形等存在性问题，①考查平行四边形时，根据一固定线段按边和对角线进行分类讨论；②考查矩形时，可联想到直角三角形存在性问题进行探讨；③考查菱形时，可联想到等腰三角形存在性问题进行探讨；④考查正方形时，可联想到等腰直角三角形存在性问题进行探讨. 42．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或或或 【分析】（1）首先把点的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，然后把点坐标代入反比例函数解析式中求得点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围，就是反比例函数的图像在一次函数的图像的上方部分所对应的自变量的范围； （3）当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出点坐标即可． 【详解】（1）解：将代入，得： ， 反比例函数的解析式是， 将代入，得： ， 的坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：根据图像可知，使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围为： 或； （3）解：在轴上存在点，使是等腰三角形，点的坐标为或或或， 理由如下： 如图，过点作轴于点， ， ，， ， 当是等腰三角形时，分三种情况讨论: ①当时， 由，等腰三角形三线合一的性质可得： ， ， ； ②当时， 根据题意，可得：， 在中，由勾股定理可得：， , 解得：， ； ③当时， 当点在点左侧时，， 当点在点右侧时，； 综上所述，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，从函数的图象获取信息，三线合一，勾股定理，已知两点坐标求两点距离，解一元一次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式并运用分类讨论思想是解题的关键． 43．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，直线交x轴于点B，交y轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，． (1)求k的值； (2)求的面积． (3)根据图象直接写出时，x的取值范围． (4)点M是反比例函数上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)或 (4)点M的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把A的坐标代入求出b，即可得出一次函数的表达式，把，代入求出C、D的坐标，把C的坐标代入的，求出k即可； （2）求出，分别求出和的面积，相加即可； （3）根据C、D的坐标和图象得出即可； （4）设，分两种情况讨论并结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 即一次函数的表达式为， 把，代入得：，， 解得，， 即，， 把C的坐标代入得：， 解得：； （2）解：由可知：当时，，解得，即， ∴， ∴的面积为； （3）解：由图象可知：时，x的取值范围是或； （4）解：设， 则，，， ∵点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边， ∴当时，， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时； 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时， 综上，点M的坐标为或． 44．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数解析式为 (2)不等式的解集为或 (3)满足条件的点的坐标为或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）由函数图象即可得解； （3）先求出点的坐标，设点，再根据平行四边形的性质，分三种情况，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数解析式可得， ∴， 将，代入反比例函数解析式可得， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：由图象可得：不等式的解集为或； （3）解：∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， 设点， ∵以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； 当为对角线时，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 45．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标是 【分析】（）利用一次函数求出点坐标，再利用等腰三角形的性质得到点坐标，进而求出点坐标，最后代入反比例函数的表达式求出即可求解； （）当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，结合函数图象即可求解； （）存在点，使四边形为菱形．连接与交于点，由菱形的性质可得，即得点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数的表达式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点， ∵轴于点， ∴点的横坐标为, 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴由图象可得的取值范围为； （3）解：存在点，使四边形为菱形． 连接与交于点 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 把代入反比例函数得， ， ∴点的坐标是， ∴反比例函数图象上存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标是． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，等腰三角形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，菱形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 46．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)16； (3)点的坐标为或,或,． 【分析】（1）由题意直接运用用待定系数法即可求解； （2）证明△△，则，而，点坐标为，利用，即可求解； （3）根据题意分两种情况：为边和对角线时，根据两点的距离公式和中点坐标公式列方程可解答． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与坐标轴相交于点， ，解得， 一次函数为：， 一次函数的图象经过点． ， 点坐标为， 反比例函数经过点， ， 反比例函数为：； （2）作于，于， ， △△， ， ，点坐标为， ，， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入求得， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ； （3）由（1）知，， ， ， 设，， 分三种情况： ①当为边时，对角线，且与互相平分， 有， 解得， 点的坐标为,； ②当为对角线时，对角线，且，互相平分， 有， 解得或， 点的坐标为,或； ③当为边时，对角线，且，互相平分， 有， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或,或,． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数图象的交点，矩形的性质，两点的距离公式等知识，利用数形结合的思想和方程的思想是解答本题的关键． 题型9 反比例函数整点问题 47．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的动点，沿折叠四边形，点，分别是点，的对应点，第一象限内的双曲线，分别经过点，． (1)______； (2)若，直线分别与双曲线，交于点，． ①求双曲线的函数表达式； ②用含的式子表示的长度，并判断随着的值逐渐增大，长度的变化情况； (3)若，且双曲线，之间（不包括边界）有个整点（横、纵坐标都是整数），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①双曲线的函数表达式为；②长度的随着的增大而减小 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）①根据题意求出点坐标，代入求解即可； ②根据题意分别求得的坐标，进而求得的关系式，根据反比例函数的性质，即可求解； （3）观察图象，从图象从开始增大，从图象可得当超过点和，且不超过点时即可满足． 【详解】（1）∵正方形中边长为，点，点， ∴， ∵：经过点B， ∴， 故答案为：； （2）①∵点，， ∴，， 由翻折得：，， ∴， ∴ ∵：经过点F， ∴， ∴当时，， ∴双曲线的函数表达式为； ②∵直线分别与双曲线，交于点，， 联立，解得：， ∴， 解方程组得：， ∴， ∴， ∴长度的随着的增大而减小． （3）∵，且双曲线、之间有2个整数点， 利用对称性可知这两个整数点为和， 由（2）得， 当恰好过和时，得， 得， ∵恰好有两个整数点， ∴整数点不包括点， 当恰好经过点 时，得， 得， 结合图象可得时即可满足． 48．（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．    (1)求b的值，并在图中画出直线l； (2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接．若，求m的取值范围； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数． 【答案】(1)4，画图见解析 (2)①；② (3)3 【分析】（1）把代入，即可求出b，然后描点、连线画出直线l即可； （2）①先求出反比例函数解析式，然后联立方程组，解方程组，即可求出点C的坐标； ②根据点P在直线l上，可得出，结合条件得出，整理得，得出不等式组或，然后解不等式组即可； （3）分别画出，，，，的图象，观察图象找出区域W内整点的个数，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， 画图，如下：   ； （2）解：点B与点重合时， ∴， ∴， 由（1）知：直线l解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴点C的坐标为； ②∵点在第一象限内且在直线l上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 整理得，即 ∴或， ∴； （3）解：函数的图象G与直线所围成的封闭区域（含边界）为W，当区域W的边界上有5个整点时， 当时，图象如下： 区域的边界上有4个整点，即，不符合题意； 当时，图象如下： 区域的边界上有5个整点，即，符合题意； 当时，图象如下： 区域的边界上有5个整点，即，符合题意； 当时，图象如下： 区域W的边界上有5个整点，即，符合题意； 当时，图象如下： 区域W的边界上有4个整点，即，不符合题意； ∴时，区域W的边界上有5个整点， ∴符合条件的整数k只有3个． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，解一元二次方程，解不等式组等知识，待定系数法求一次函数（反比例函数）解析式，确定临界点是解题的关键． 49．（2024·湖北荆州·二模）如图，直线与y轴交于点B，与直线交于点A，双曲线过点A．    (1)求反比例函数的解析式； (2)①若将直线射线方向平移，当点A到点B时停止，则直线在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为_________； ②直接写出直线与双曲线围成的区域内（图中阴影部分，不含边界）整点（横坐标和纵坐标都是整数）的坐标． 【答案】(1) (2)①； ②， 【分析】本题考查函数图象的交点，待定系数法，函数图象的平移． （1）解由直线和组成的方程组，得到点A的坐标，代入反比例函数中，即可解答； （2）①先求出直线平移前与x轴的交点的横坐标．设直线平移后的解析式为，把点B的坐标代入，求出平移到点B时停止的直线解析式，即可求出此时与x轴的交点的横坐标，即可解答； ②根据数形结合，求出满足要求的整点横坐标，即可解答． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点A， ∴解方程组得， ∴， ∵双曲线过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）①对于直线，令，则， ∴直线与x轴的交点坐标为，即横坐标为0； 对于直线，令，则， ∴ 设直线平移后的解析式为， ∵平移后的直线过点， ∴， ∴平移到点B时停止的直线解析式为， 令，则，解得， 此时与x轴的交点为，即交点的横坐标为， ∴直线在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为； ②如图，      解方程组，得，， 经检验，，均是方程组的解， ∴直线与双曲线的交点为，， ∴在点C与点A之间的整数点的横坐标为2，3，4，5， 当时，直线：上的点为，双曲线上的点为， 此时可得整点为； 当时，直线：上的点为，双曲线上的点为， 此时不能得到整点； 当时，直线：上的点为，双曲线上的点为， 此时可得整点为， 当时，直线：上的点为，双曲线上的点为， 此时不能得到整点． 综上，直线与双曲线围成的区域内（图中阴影部分，不含边界）整点的坐标为，． 50．（23-24九年级下·北京东城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数图象G与直线，点（，n为整数）在直线l上．    (1)对于任意的k直线必过一定点，直接写出这个点的坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域（不含边界）为W． ①当时，求k的值，并写出区域W内的整点个数； ②若区域W内整点个数m满足时，结合函数图象，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)①2；② 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）解析式进行变形即可求得定点的坐标； （2）①当时，，将代入，求得k即可，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线过，直线过，画图根据区域W内恰有5个整点，结合①即可确定k的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线， ∴直线必过一定点； （2）解：①当时，，将代入， 得：， 解得， 如图所示，    区域W内的整点有，有2个； ②直线过时，区域W内没有整点， 直线过时，，区域W内有2个整点， 直线过时，，区域W内恰有4个整点， 直线过时，，区域W内恰有5个整点， 当时，区域内的整点的个数大于5， ∴区域W内整点个数m满足时，k的取值范围是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $