精品解析：吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

长春外国语学校教育集团2025-2026学年第一学期期中考试 初二年级 数学试卷 本试卷包括两道大题，共24道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为90分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在实数，，，，，中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数．逐个判断即可． 【详解】解：有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 综上：无理数有、、，共3个， 故选：B． 2. 二次根式中x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，可得，进而即可求解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得： ， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘法和除法运算法则，是解题的关键．根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘法和除法运算法则，逐个进行判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．， 故D正确． 故选：D． 4. 式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．根据“把一个多项式写成几个整式乘积的过程叫因式分解”逐项分析判定即可． 【详解】解：A．等号右边不是积的形式，则本选项不符合题意； B．等号右边不是积的形式，则本选项不符合题意； C．它符合因式分解的定义，则本选项符合题意； D．它是整式乘法运算，则本选项不符合题意； 故选：C． 5. 已知(为常数)是一个完全平方式，则的值为(     ) A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式．根据完全平方式的定义，得，则，解得的值，即可作答． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴， ∴ ， 即， 故选：D． 6. 如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A. 2，3，2 B. 2，4，2 C. 2，5，2 D. 2，5，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的几何意义，是解决问题的关键． 利用长乘宽表示长方形面积，各类卡片组成此长方形，长方形面积等于各类卡片面积和，即可找出相应卡片的数量． 【详解】由图知（图形画法不唯一），长方形面积：， ∴需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故选：C． 7. 如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ，， ，， ， ， ， ， 故选项A，B，D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 16的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根．平方根（又称二次方根）是平方的逆运算，即若一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根． 根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴16的平方根是． 故答案为：． 10 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考考查了两个无理数的大小，把、分别转化为、，比较被开方数的大小即可判断求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 11. 把多项式(a为常数)因式分解得到，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了因式分解与单项式的乘法，因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a的值即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故答案为：． 12. 若，则a、b、c的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，逆用幂的乘方运算法则，将各数转换为相同指数的幂形式，然后比较底数的大小即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 13. 如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过“边角边”证明，根据全等三角形的性质可得，进而得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD． 【详解】解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴BD=BE，∠DBE=60°， ∴△BDE是等边三角形，所以①正确； ∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°， ∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°， ∴∠BAE=∠ABC， ∴AE∥BC，所以②正确； ∴∠BDE=60°， ∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°， ∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误； ∵△BDE是等边三角形， ∴DE=BD=4， 而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴AE=CD， ∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了旋转性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，熟记旋转和等边三角形的各种性质是解题的关键． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，二次根式的乘法运算，二次根式的性质化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算，即可作答． （2）先运算二次根式的乘法运算，再根据二次根式的性质化简，然后进行减法运算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式和单项式乘以单项式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先进行积的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算； （2）利用多项式乘以多项式法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行化简． 先利用完全平方公式将展开，然后合并同类项进行化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 把代入得：． 19. 如图，在中，完成下列问题． （1）用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线和三角形内角和定理，熟练掌握基本作图，是解题的关键． （1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求． 小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ， ∴． 20. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解；如图所示，即为所求； 小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 21. 已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． （1）求a，x，的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． 【小问2详解】 解：当，时，， 的算术平方根为． 22. 探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：． 应用：如图②，在中，，三点都在直线上，并且有．求出和的关系． 拓展：如图①中，若，梯形的面积______． 【答案】探究：证明过程见详解；应用：，理由见详解；拓展： 【解析】 【分析】探究：，，可知是等腰直角三角形，，，可知，可求出，根据角角边即可求证；应用：，三点都在直线上，，可求出，可证，可得，由此即可求解；拓展：由，可知，设，则，根据梯形面积公式即可求解． 【详解】探究：证明：∵，直线经过点，于点，于点， ∴点三点都在直线上， ∴，， ∴， 在，中， ， ∴； 应用：∵，三点都在直线上，， ∴，， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 拓展：由探究可知，，， ∴，设，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，全等三角形，梯形的综合，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积计算方法是解题的关键． 23. 知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 直接应用：（1）若，，直接写出的值 ； 类比应用：（2）①若，则 ； ②已知，求的值． 知识迁移：（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在同一直线上，连接，，若，，则一块直角三角板的面积为 ． 【答案】（1）11；（2）①5；②；（3）15 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，准确掌握公式的变式及灵活运用公式是解题的关键． （1）根据，可得，把x、y代入即可得到答案； （2）①由，可得，代入可得答案； ②设，，则，，根据完全平方公式进行变形求出； （3）设，，则由题意可得，，根据，代入即可求得三角板的面积． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）①∵， ∴ ； ②设，，则： ，， ∴ ， 即； （3）设， 则由题意可得，， 即，， ∴， ∴一块直角三角板的面积为． 24. 如图，在中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． （1）的长为 ；（用含的代数式表示） （2）当的面积是时，求的值； （3）当点在的角平分线上时，求的值； （4）当点在线段的延长线上时，直接写出为等腰三角形时的值． 【答案】（1）； （2）或； （3）； （4）或； 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （）根据题意列代数式可求得答案； （）分当在线段上时，当在线段延长线上时两种情况分析即可； （）过作于点，则，根据角平分线的性质得，证明，则有，所以，设，则，然后通过勾股定理得，再求出的值即可； （）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当在线段上时，， ∵的面积是， ∴， ∴，解得：； 当在线段延长线上时，， ∵的面积是， ∴， ∴，解得：； 综上可得：当的面积是时，的值为或； 【小问3详解】 解：如图，过作于点，则， ∵点在的角平分线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，解得：， ∴的值为； 【小问4详解】 解：如图， 当时， ∴，解得：； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 综上可得：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校教育集团2025-2026学年第一学期期中考试 初二年级 数学试卷 本试卷包括两道大题，共24道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为90分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在实数，，，，，中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 二次根式中x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（     ） A. B. C. D. 4. 式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知(为常数)是一个完全平方式，则的值为(     ) A. 4 B. C. D. 6. 如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A. 2，3，2 B. 2，4，2 C. 2，5，2 D. 2，5，4 7. 如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 16的平方根是_____． 10. 比较大小：______． 11. 把多项式(a为常数)因式分解得到，则______． 12. 若，则a、b、c的大小关系是______．（用“”连接） 13. 如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 14. 如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是________． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 计算： （1） （2）． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，完成下列问题． （1）用圆规和直尺在图中作出角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 20. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 21. 已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． （1）求a，x，的值； （2）求算术平方根． 22. 探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：． 应用：如图②，在中，，三点都在直线上，并且有．求出和的关系． 拓展：如图①中，若，梯形的面积______． 23. 知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 直接应用：（1）若，，直接写出的值 ； 类比应用：（2）①若，则 ； ②已知，求的值． 知识迁移：（3）两块全等特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在同一直线上，连接，，若，，则一块直角三角板的面积为 ． 24. 如图，在中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． （1）的长为 ；（用含的代数式表示） （2）当的面积是时，求的值； （3）当点在的角平分线上时，求的值； （4）当点在线段的延长线上时，直接写出为等腰三角形时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $