北京市第十五中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

北京十五中高二数学期中考试试卷 2025.11 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 圆心为，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：，：平行，则实数的值是（ ） A. 或3 B. 或1 C. D. 3 4. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 7. 过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 9. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 10. 已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点，有下列结论：①存在点，，使得为等边三角形；②不存在点，，使得为等边三角形；③存在点，，使得；④不存在点，，使得.其中，所有正确结论的序号是 A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知椭圆：（）的一个焦点为，则的值为______. 12. 已知圆：与直线：，则圆心的坐标为______，若圆关于直线对称，则______. 13. 庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成.若，，且四个侧面与底面的夹角的大小均相等，则______. 14. 如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过､的直线与圆相切，则直线的斜率______；椭圆的离心率______. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点（不包含端点）.给出下列四个结论：①对任意点，都有；②存在点，使得；③存在点，使得平面；④过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为.其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知的三个顶点，，. （1）求边上的中线所在的直线方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求的面积. 17. 已知圆的圆心在轴上，且经过点，. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 18. 如图，正方形的边长为4，，分别为，的中点.将正方形沿着线段折起，使得.设为的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求二面角的余弦值. 19. 已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 20. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限． （1）求椭圆的焦距；若，求点的坐标； （2）若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，取线段中点，求证：． 北京十五中高二数学期中考试试卷 2025.11 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2）或 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）或 【20题答案】 【答案】（1） 设的中点为，连接、， 因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1）4，； （2） 方法1：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 显然直线斜率存在且不为0，设直线， 代入中得，， ， 设，则，， ，即，直线斜率， 由在直线上，得，即， 于是直线的斜率，，即， 又为线段中点，所以． 方法2：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 必有，设，则，， ，即， 直线斜率，而直线斜率， 则，即，又为线段中点，所以． 方法3：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 显然，设，则，， 于是，， 点，， 又，则，即， 因此是直角三角形，又为斜边中点，所以. 方法4：设，与椭圆联立，得，， 而点在第一象限，则，， 点，直线的斜率， 直线，令，则， 与椭圆联立得，显然， 线段中点，有，， 点，于是直线斜率，， 又为中点，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $