广东省肇庆市封开县封川中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

封开县封川中学2025-2026学年第一学期期中学情评估题 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的. 1.母亲节当天，花店推出“康乃馨买9送2”优惠活动，但只送黄色或白色的．小丽给妈妈选了5枝红色和4枝粉色的康乃馨，又在送的两种颜色中选了2枝，她送给妈妈的花束中任选一枝是黄色康乃馨的概率是（　　） A．   B． C．0 D．以上都有可能 2.下列不是一元二次方程的是 （      ） A.(x+2)²=3 B.x²=3 C.x+2²=5 D.x-x²=5 3.如果  ＝  ＝  ≠0，那么代数式  的值是(　　) A.  B.  C.  D.  4.如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝2CE，BD＝8，则DF的长为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，∴“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（      ） A．① B．② C．①② D．①③ 6.方程 的根的情况是（      ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 7.如图，在△ABC中，P是AB边上一点(不与点A，B重合)，过点P作直线截△ABC，所截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有(      )  A.2条 B.3 条 C.4条 D.5条 8.方程  的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂的值是（            ）　 A．-2 B．1 C．2 D．0 9.如图，已知正方形ABCD，点E为BC的中点，连接ED交AC于F，则S△DFC∶S四边形ABEF的值为(　　) A．   B．   C．   D． 10.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为射线CB上一动点(不与点C重合)，将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C′处，连接AC′，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为 (　　) A.4＋4   B.4－4   C.4＋ 或4－   D.4＋4 或4－4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.在比例尺为1∶10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为________千米 12.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是            ． 　　　 13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，E，F分别为BC，OD的中点，连接EF，则EF的长为________． 14.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为______米． 15.在平面直角坐标系中，点(2，3)到x轴的距离是            . 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16.用直接开平方法解下列方程： (1)  ； (2)  . 17.珠海博物馆于2024年3月5日至4月6日展出四件国宝级文物（清代圆明园海晏堂部分十二生肖兽首文物原件）.小明、小华分别从离博物馆3 km和5 km的两地同时出发前往博物馆，小明、小华的平均速度比是3∶4，结果小明比小华提前10分钟到达博物馆. （1）求小明、小华的平均速度； （2）进入博物馆后，由于即将闭馆.两人决定在四件兽首A，B，C，D中随机选择其中一件兽首参观，请用列表或画树状图法求出他们选中同一件兽首参观的概率. 18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A( 1，2)，B( 3，3)，C( 3，1)． (1)以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2∶1，点A，C的对应点分别为A1，C1； (2)直接写出点A1和点C1的坐标：A1(______，______)，C1( ______，______)． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19.如图，四边形  中，AD∥BC，AB∥CD，点E，F是对角线  所在直线上的两点，且  ，连接AE，AF，EC，CF，  ． (1)求证：四边形  是矩形． (2)若  ，延长  交  于点N，若  ，求  的值． 20.如图，在正方形ABCD的内部作等边三角形ABE，连接DE，CE，对角线BD交AE于点F. (1)求证：CE＝DE； (2)求∠EDF的度数． 21.【项目式学习】制作“E”形视力表. 【课题实施】根据标准对数视力表(测试距离为5米)，以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 (1)如图①，利用“E”的高度b与它到眼睛的水平距离l之比(即 )来刻画视力． (2)大小不同的“E”，只要它们这一比值(即 )相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图②所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“E”字，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点A，C，O在同一直线上为止，其中AB是①号“E”字的高度，CD是②号“E”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“E”与②号“E”字测试的视力相同； 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“E”形视力表．以图②所示，①号“E”是标准对数视力表中视力为4.2的“E”字，其高度AB为45 mm，求小明在制作视力为4.2的②号“E”字时，②号“E”的高度CD应为多少mm？(A，C，O在一条直线上，B，D，O在一条直线上) 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22.如图，某市近郊有一块长为60m，宽为50m的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地． （1）设通道的宽为xm，则a＝            ；(用含x的代数式表示) （2）若塑胶运动场地总占地面积为2430m2，则通道的宽为多少米． 23.已知在  中，  ，  ，  ，D为  边上的一点．过点D作射线  ，分别交边  于点E、F． (1)当D为  的中点时： ①如图①，若  ，  ，  与  的数量关系是            ；  与  是否相等？            （填“是”或“否”）； ②将  绕点D旋转到图②位置时，①中  与  的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (2)改变点D的位置，当点D是  的三等分点时，直接写出  的值． 选择题 1.D 【解析】由题意可知，小丽给妈妈选了5枝红色和4枝粉色的康乃馨，花店送出2枝黄色或白色的康乃馨，当选一支黄色康乃馨时，她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是  ；当选两支黄色康乃馨时，她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是  ；当选零支黄色康乃馨时，她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是  ；所以她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是  或  或0． 2.C 3.D  【解析】设  ＝  ＝  ＝k，则x＝3k，y＝4k，z＝5k，∴原式＝  ＝  . 4.A 【解析】∵直线AB∥CD∥EF，∴ ，∵AC＝2CE，∴ ，即 ，∴DF＝4． 5.B 【解析】当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，∴此时“钉尖向上”的频率是：308÷500＝0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②正确，若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误． 6.C 7.C 8.C 9.B 【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，AD＝BC，S△ACD＝S△ABC，∴△AFD∽△CFE，∴ ，∵点E为BC的中点，∴AD＝2EC，∴ 2，∴S△AFD＝4S△EFC，S△AFD＝2S△DFC，∴S△DFC＝2S△EFC，∴S四边形ABEF＝S△ABC－S△EFC＝5S△EFC，∴S△DFC∶S四边形ABEF＝2∶5． 10.C 【解析】因为四边形ABCD是矩形，所以∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，由折叠的性质得，C′D＝CD＝3，∠DC′E＝∠C＝90°，C′E＝CE，设CE＝C′E＝x，当△AC′D为直角三角形时，则∠AC′D＝90°，所以∠AC′D＋∠DC′E＝180°，所以A,C′,E三点共线，分两种情况：①当点E在线段CB上时，如解图①所示，则∠C＝∠DC′E＝90°，所以∠AC′D＝90°，所以AC′＝  ＝  ＝  ，在Rt△ABE中，AE＝C′E＋AC′＝x＋  ，BE＝BC－EC＝4－x，由勾股定理得，BE2＋AB2＝AE2,即(4－x)2＋32＝(x＋    )2，解得x＝4－  ，所以CE＝4－  ；②点E在线段CB的延长线上时，如解图②所示，则∠C＝∠DC′E＝90°，所以AC′＝  ＝  ＝  ，在Rt△ABE中，AE＝C′E－AC′＝x－  ，BE＝CE－BC＝x－4，由勾股定理得，BE＋AB2＝AE2,即(x－4)2＋32＝(x－  )2，解得x＝4＋  ，所以CE＝4＋  ，综上所述，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为4－  或4＋  . 　　　 　解图①　　　　　　　  解图② 填空题 11.0.5千米　 【解析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，设两地实际距离为x厘米，得1∶10000＝5∶x，∴相距5厘米的两地实际距离是5×10000＝50000(厘米)＝0.5(千米). 12. 【解析】设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，画树状图如下，由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是   =   ． 13. 【解析】如解图，过点E作EG∥AC交BD于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝3，OB＝OD＝4，∵点E是BC的中点，∴EG是△BOC的中位线，∴点G是OB的中点，∴OG＝2，EG＝ OC＝ ，∵F是OD中点，∴FG＝4，∠EGF＝90°，∴根据勾股定理，得EF＝ ＝ ＝ . 解图 14.(－1  ) 【解析】∵BE2＝AE•AB，AB＝2，设BE＝x，则AE＝(2 x)，∴x2＝2(2 x)，即x2+2x 4＝0，解得   ＝ 1 ，   ＝ 1 (舍去)，∴线段BE的长为( 1 )米． 15.3 【解析】点(2，3)到x轴的距离是3. 解答题 16.解：(1)  . . (2)  . . . 17.解：（1）设小明的平均速度为3x km/h，则小华的平均速度为4x km/h， 由题意得 + = ， 解得x= . 经检验，x= 是原方程的解且符合题意. ∴小明的平均速度为  km/h，小华的平均速度为6 km/h; （2）画树状图如答案图： 答案图 共有16种等可能的结果，其中他们选中同一件兽首参观的结果有4种， ∴他们选中同一件兽首参观的概率为  =  . 18.解：(1)如解图，△A1BC1即为所求； 解图 (2)1，1， 3， 1． 19.（1）证明：连接  交  于O， ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形  是平行四边形， ∴  ，  ， 又∵  ， ∴  ，即  ， ∴四边形  是平行四边形， 又∵  ， ∴平行四边形  是矩形； （2）解：设  ，则  ， 在矩形  中，  ， ∴  ， ∵  ， ∴  ，即  ， ∴  ， ∴  ，  ， ∵四边形  是矩形， ∴  ∥AF， ∴  ， ∴  ∽  ， ∴  ． 20.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°， ∵△ABE是等边三角形， ∴AE＝BE＝AB，∠EAB＝∠EBA＝60°， ∵∠DAE＝∠BAD－∠EAB＝30°，∠CBE＝∠CBA－∠EBA＝30°， ∴∠DAE＝∠CBE， ∴△CBE≌△DAE(SAS)， ∴CE＝DE； (2)解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴∠ADB＝  ∠ADC＝45°， 由(1)可知∠DAE＝30°，∴∠ADE＝  (180°－∠DAE)＝75°， ∴∠EDF＝∠ADE－∠ADB＝75°－45°＝30°. 21.解：问题1：证明：由题可得AB//CD， ∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO， ∴△ABO∽△CDO， ∴ ， ∴ ， ∴①号“E”字与②号“E”字测试的视力相同； 问题2：由问题1可得， ， ∵AB＝45，OB＝5，OD＝3， ∴ ， ∴CD＝27， 答：②号“E”的高度CD应为27 mm． 22.解：（1）  ； （2）根据题意得(50－2x)(60－3x)－x·  2430， 整理得x2－40x＋76＝0， 解得x1＝2，x2＝38(不符合题意，舍去)． 即通道的宽为2m． 23.解：（1）①  ，是； 【解法提示】∵  ，∴四边形  是矩形，∴  ，∴  ，∵点  是  的中点，∴  ，则  . ②  仍然成立． 如答案图①，过点  作  于点  ，作  于点  ， 则  ， ∴  ，即  ， ∵  ， ∴  ，即  ， ∴  ， ∴  ， ， 由①知，  ， ， 即  ． 答案图① （2）如答案图②，过点  作  于点  于点  ， ， ∴四边形  是矩形， ∴  ， 由（1）②可得  ， ， ∵  ， ∴  ， ， ①当  时， 则  ， ∴  ， ； ②当  时， 则  ， ∴  ， ； 综上，  的值为1或4． 答案图② 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $