重难点专题 指数型函数（专项训练）数学人教B版高一必修第二册

重难点专题 指数型函数 重难点一 指数型函数的定义域与值域 首先指数型复合函数分为(且)型和(且)型两种． 其中函数的定义域与的定义域相同；而求的定义域，关键是需要找到在的定义域范围内的的取值范围． 1．函数的定义域为 2．求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 3．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)； (4). 4．（1）求函数y＝的定义域与值域； （2）求函数y＝x－1－4·x＋2，x∈[0，2]的最大值和最小值及相应的x的值． 5．求函数的定义域和值域： （1）； （2）； （3）； （4）. 6．求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间. （1）； （2）； （3）； （4）. 重难点二 指数型函数的图象 由确定图象时首先要根据函数的定义域，奇偶性，大致确定图象，然后根据函数的单调性，过定点，函数值的正负减小范围，对于指数型函数一方面通过底数与1的大小关系，另一方面应用复合函数的单调性规律：同增异减来确定函数的图象． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·黑龙江·期中）已知函数，则“”是“的图象不经过第二象限”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江西·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．   B．   C．   D．   13．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 重难点三 指数(型)函数的性质应用 一般的指数型函数是将指数函数与以前学习过的函数(如一次函数，二次函数、反比例函数)进行简单的四则运算，或者复合，这类题型常考查单调性的问题，主要使用的是单调函数的四则运算的性质或者复合函数的同增异减的性质来进行分析计算；而另一类则是以指数函数作为整体构造分式型函数，这类函数其中有些需要对性质进行探究，而另一些则有着明确的性质，如单调性，奇偶性等． 例如：①为奇函数， 时为增函数，时为减函数； ②为偶函数， 在上单调递减，在上单调递增； ③为奇函数， 时为增函数，时为减函数； ④为奇函数， 时函数在，上单调递减， 时函数在，上单调递增； ⑤为奇函数， 时函数在，上单调递减， 时函数在，上单调递增． 14．（22-23高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数. (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若对，都有成立，求实数的取值范围； (3)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 17．已知函数的图象过点，并且函数为奇函数. （Ⅰ）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （Ⅱ）若对任意，存在，使成立，求实数的取值范围. 18．已知函数（且）是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）若，且对于任意恒成立，求的取值范围． 19．（25-26高三上·山东菏泽·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； 20．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 指数型函数 重难点一 指数型函数的定义域与值域 首先指数型复合函数分为(且)型和(且)型两种． 其中函数的定义域与的定义域相同；而求的定义域，关键是需要找到在的定义域范围内的的取值范围． 1．函数的定义域为 【答案】 【分析】利用根号的性质及指数单调性求解即可. 【详解】由题，即，即， 因为为单调递增函数，所以，即 故答案为： 2．求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)R (2) (3) (4)答案见解析 【分析】根据函数有意义的条件来可求（1）（2）（3）（4）的定义域. 【详解】（1）函数在R上有意义，故函数的定义域为R. （2）函数有意义的条件是，即， 故函数的定义域为． （3）函数有意义的条件是， 又是R上增函数，于是，即， 故函数的定义域为． （4）函数有意义的条件是，即， 当时，是R上减函数， 于是，即； 当时，是R上增函数， 于是，即. 综上所述，当时，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为. 3．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)定义域，值域为且 (2)定义域为，值域为 (3)定义域为R，值域为 (4)定义域为R，值域为 【分析】（1）由得定义域，求出的范围，结合函数的性质可得值域； （2）由被开方数非负得定义域，由指数函数性质结合二次根式得值域； （3）定义域为实数集，求出的最小值（取值范围后，由指数函数性质得值域）； （4）配方得，再利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得. 所以函数的定义域为. 因为，所以，即函数的值域为且. （2）由题意知，所以，所以， 所以函数的定义域为. 因为，所以，所以，即， 所以函数的值域为. （3）由题意知函数的定义域为R. 因为，所以， 又，所以函数的值域为. （4）由题意易知函数的定义域为R， 因为， 又，所以，故函数的值域为. 4．（1）求函数y＝的定义域与值域； （2）求函数y＝x－1－4·x＋2，x∈[0，2]的最大值和最小值及相应的x的值． 【答案】（1）定义域为{x|x≥2}；值域为{y|0＜y≤1}；（2）函数的最大值是2，此时x＝0，函数的最小值为1，此时x＝1． 【分析】（1）根据根式函数的定义域，由x－2≥0求解；根据 0＜＜1，利用指数函数的单调性求解； （2）令m＝，将函数转化为f(m)＝4m2－4m＋2＝42＋1，利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}． 当x≥2时，≥0， 又因为0＜＜1， 所以y＝的值域为{y|0＜y≤1}． （2）∵函数y＝x－1－4·x＋2， ∴y＝4x－4·x＋2， 令m＝，则． 由0≤x≤2，知≤m≤1． ∴f(m)＝4m2－4m＋2＝42＋1． ∴当m＝，即当x＝1时，f(m)有最小值1； 当m＝1，即x＝0时，f(m)有最大值2． 故函数的最大值是2，此时x＝0，函数的最小值为1，此时x＝1． 5．求函数的定义域和值域： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）定义域为，值域为；（2）定义域为，值域为；（3）定义域为，值域为；（4）定义域为，值域为. 【分析】（1）利用函数解析式有意义可求得原函数的定义域，求出的取值范围，利用指数函数的单调性可求得原函数的值域； （2）利用二次根式被开方数非负以及指数函数的单调性可求得函数的定义域，进而可求得原函数的值域； （3）利用函数解析式有意义可求得原函数的定义域，求出的取值范围，利用指数函数的单调性可求得原函数的值域； （4）利用二次根式被开方数非负可求得函数的定义域，求得的取值范围，利用指数函数的单调性可求得原函数的值域. 【详解】（1）函数的定义域为，令，则， 由于函数为减函数，所以，， 因此，函数的值域为； （2）由题意可得，即，，解得， ，因此，函数的定义域为，值域为； （3）函数的定义域为，令，则， 由于函数为减函数，则, 因此，函数的定义域为，值域为； （4）由题意可得，即，解得， 令， 由于函数为增函数，则. 因此，函数的定义域为，值域为. 【点睛】本题考查指数型复合函数定义域和值域的求解，在求解指数型复合函数的值域时，要求得中间变量的取值范围，结合指数函数的单调性来求解，考查计算能力，属于中等题. 6．求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）定义域：，值域：，减区间：；（2）定义域：，值域：，减区间：和；（3）定义域：R，值域：，增区间：，减区间：；（4）值域，减区间：，增区间： 【分析】（1）由得定义域，再结合指数函数性质得值域，单调区间； （2）由得定义域，然后求出的取值范围，再由指数函数性质得值域，单调区间； （3）求出的取值范围，由指数函数的性质得值域，单调区间； （4）设，把函数转化为二次函数，确定的范围后可得值域，单调区间． 【详解】（1）由得，所以定义域为，又， 所以，，所以值域中， 在上是减函数，所以的减区间是； （2）由得，所以定义域是， 又，所以值域是， 在和上都是增函数， 所以的减区间是和； （3）定义域是，又，所以值域中， 在上递增，在上递减， 所以的增区间，减区间是； （4）定义域是，令，由，所以， ，所以，值域， 又在上递减，在上递增，而是减函数， 所以的减区间是，增区间． 【点睛】本题考查指数型复合函数的定义域、值域、单调区间，掌握指数函数性质是解题关键．复合函数单调性如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 重难点二 指数型函数的图象 由确定图象时首先要根据函数的定义域，奇偶性，大致确定图象，然后根据函数的单调性，过定点，函数值的正负减小范围，对于指数型函数一方面通过底数与1的大小关系，另一方面应用复合函数的单调性规律：同增异减来确定函数的图象． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 8．（25-26高一上·黑龙江·期中）已知函数，则“”是“的图象不经过第二象限”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由函数的图象不经过第二象限得，再根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由于函数的图象不经过第二象限， 所以，， 反之，在且时，或， 所以“”是“的图象不经过第二象限”的必要不充分条件． 故选：B． 9．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数，排除AB选项， 当时，，，则，排除C选项. 故选：D. 10．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 11．（24-25高一上·江西·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性以及特殊值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数，排除AB选项， 因为，，则，则函数在上不单调递增，排除D选项. 故选：C. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先求出时函数的单调性和值域，再求出时函数的单调性和值域，从而采用排除法即可得到答案． 【详解】设， 当时，， ∴时，单调递增， 由，得， ， ∴选项C，D错误． 当时，， ∴时，单调递增， 由，得，即， ∴函数图象在轴下方，排除B选项，则选项A符合要求． 故选：A． 13．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：ABC 重难点三 指数(型)函数的性质应用 一般的指数型函数是将指数函数与以前学习过的函数(如一次函数，二次函数、反比例函数)进行简单的四则运算，或者复合，这类题型常考查单调性的问题，主要使用的是单调函数的四则运算的性质或者复合函数的同增异减的性质来进行分析计算；而另一类则是以指数函数作为整体构造分式型函数，这类函数其中有些需要对性质进行探究，而另一些则有着明确的性质，如单调性，奇偶性等． 例如：①为奇函数， 时为增函数，时为减函数； ②为偶函数， 在上单调递减，在上单调递增； ③为奇函数， 时为增函数，时为减函数； ④为奇函数， 时函数在，上单调递减， 时函数在，上单调递增； ⑤为奇函数， 时函数在，上单调递减， 时函数在，上单调递增． 14．（22-23高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察可发现为奇函数，所以将变形为，然后结合函数单调性解不等式即可 【详解】令，， 所以为奇函数，不等式， 等价于， 即，因为为奇函数， 所以， 因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数， 则，解得： 故选：B 【点睛】题目比较灵活，考察单调性和奇偶性结合的问题，对学生要求比较高，不可直接计算，需要熟悉类型的函数为奇函数，且单调递减，根据这两个性质引导学生对已知不等式进行变形，从而解决问题 15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得有两个不相等的正实数根，结合判别式和韦达定理可得结果. 【详解】因为在上为增函数，在上为减函数， 所以在为增函数， 所以函数在区间上的值域为， 所以，整理得， 所以为方程的两根，即有两个不相等的正实数根， 所以，解得且， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下： （1）分析函数的单调性，可得在为增函数，函数在区间上的值域为. （2）根据值域的对应关系可得为方程的两根，即一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数的取值范围. 16．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数. (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若对，都有成立，求实数的取值范围； (3)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可. （2）将原问题转换为不等式对恒成立.通过换元法以及对勾函数性质即可得解. （3）由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解. 【详解】（1）在上单调递增. 任取，且， 那么， ， 因为，所以，可得，又， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）因为，所以， 所以， 由第（1）问知在上单调递增，所以， 所以，即对恒成立. 令，，只需， 令，则，， 因为在上单调递增， 所以当时，，所以. （3）由第（1）问知，在上单调递增， 所以 所以为方程的两个实数根， 即方程有两个不等的实数根， 令，即方程有两个不等的正根， 所以即， 且，解得且， 所以存在实数满足题意，且. 【点睛】关键点睛：第二问关键是分离参数，第三问关键是换元转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解. 17．已知函数的图象过点，并且函数为奇函数. （Ⅰ）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （Ⅱ）若对任意，存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）函数在上为减函数，证明见解析；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）由函数图象所过点坐标求出，则求出，再检验此时的确是奇函数，然后用定义证明单调性； （Ⅱ）把问题转化这，先求出，然后分类，考察的单调性同最小值，得出不等式后可解得范围． 【详解】（Ⅰ）∵，∴，∴. ∵为奇函数，∴，∴. 经检验，满足条件，∴. 函数在上为减函数， 证明：设且， 则， ∵，∴，∴，∴为上的减函数. （Ⅱ）根据题意，等价于，又， ①当时，在上单调递增，∴，得，∴时成立； ②当时，，∴时成立； ③当时，在上单调递减，∴，得，， ∴时成立.综上可得：实数的取值范围是. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的关键是转化，本题转化为，由函数单调性可确定函数的最值． 18．已知函数（且）是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）若，且对于任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）定义在上的奇函数必有即可求解的值； （2）根据，确定的范围，得出的单调性和奇偶性，对于任意恒成立，根据奇偶性可转化变形求解的取值范围. 【详解】（1）函数（且）是定义在上的奇函数， ； （2）因为且，，解得：， 所以在上单调递增， 对于任意恒成立，即 对于任意恒成立， 即对于任意恒成立， 即对于任意恒成立，根据对勾函数性质单调递减，单调递增，所以在最小值为4， ， 所以. 【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求参数值，根据函数的单调性奇偶性解不等式相关问题，通过单调性将问题转化为不等式恒成立求参数范围，体现了转化与化归思想. 19．（25-26高三上·山东菏泽·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）由奇函数得和，进而求解； （2）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式即可求解． 【详解】（1）因为是奇函数，且定义域为，所以， 即，解得， 从而有， 又由知，解得， 经检验适合题意，，； （2）由（1）知， 由上式易知在上为减函数， 又因是奇函数，从而不等式， 等价于， 因为是减函数，由上式推得， 即对一切有， 从而，解得． 20．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数； (2)在R上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）先求函数定义域，再根据与的关系判断奇偶性； （2）在区间上取，，且，对和作差，比较大小，得在上的单调性，再结合奇偶性得在上的单调性； （3）利用奇偶性和单调性将原式转化为对恒成立，独立m，求在上的最小值，得m的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为R， ，所以函数为奇函数. （2）在上单调递增，证明如下： 设，且， ， 因为，所以，，， 所以，即函数在单调递增， 又因为为R上的奇函数，所以函数在R上单调递增. （3）由（1）知为奇函数，且对恒成立， 即对恒成立， 由（2）知为增函数，所以对恒成立， 所以，令，， 因为在上单调递增，，， 所以实数的取值范围为. 【点睛】判断函数单调性时结合函数的奇偶性，先求函数在上的单调性，再得在上的单调性；第三问利用奇偶性和单调性，将问题转化为求函数的最小值问题. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $