专题02 一元二次函数、方程和不等式 4大高频考点（期末真题汇编，河北专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 4大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 基本不等式 考点03 不等式恒成立及能成立 考点04 “三个二次”之间的关系 地 城 考点01 不等式性质 1、 单选题 1．(24-25学年·高一上期末·邢台市四县联考)如果，，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，，则 3．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25学年·高一上期末·河北省邯郸市)下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 5．(24-25学年·高一上期末·河北省辛集市)已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 6．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)下列命题中，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 7．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)下列命题为真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为2 D．的最大值为5 二、非选择题 9．(24-25学年·高一上期末·河北省张家口市)已知，，则的取值范围是 . 地 城 考点02 基本不等式 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·邢台市四县联考)若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高一上期末·衡水市阜城实验中学)已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 3．(24-25学年高一上期末·河北省承德市)已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 二、多选题 4．(24-25学年·高一上期末·河北省张家口市)设正实数满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为4 C．的最小值为2 D．的最小值为 5．(24-25学年·高一上期末·河北省邢台市)已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知，且，则（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 7．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数（，且）的图象上，则的最小值为 ． 8．(24-25学年·高一上期末·河北省邯郸市)关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于基本不等式的问题. 例如此题：已知a，b为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少？ (3)某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令则化为 原式当且仅当即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，，，则的最大值是多少？ 地 城 考点03 不等式恒成立及能成立问题 1、 单选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省辛集市)已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)已知.若恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 三个二次之间的关系 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 2．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知函数的图象与轴交于两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 3．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)已知不等式的解集是. (1)求常数的值； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围. (3)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 4．(24-25学年·高一上期末·河北省衡水市武强中学)已知二次函数，，不等式的解集为或． (1)求的解析式； (2)设，不等式的解集为，求实数的取值范围． 5．(24-25学年·高一上期末·邢台市四县联考)已知二次函数． (1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若对一切实数都成立，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ ，专题02 一元二次函数、方程和不等式 4大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 基本不等式 考点03 不等式恒成立及能成立 考点04 “三个二次”之间的关系 地 城 考点01 不等式性质 1、 单选题 1．(24-25学年·高一上期末·邢台市四县联考)如果，，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A、B，若，，则，不成立，故AB错误； 对于C，若，，则不成立，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 故选：D 2．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】利用反例可判断BDC的正误，根据不等式的性质可判断AC的正误. 【详解】对于A，取，则，若，则，故若，则，故成立，故A正确； 对于B，取，则成立，但，故B错误； 对于C，取，则成立，但 ，故C错误； 对于D，取，则，，但，故D错误； 故选：A. 3．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】选项A：当时，由得， 当时，由得，故A错误； 选项B：因，故与的大小不确定，故不一定成立，故B错误； 选项C：当时，由得， 当时，由得，故C错误； 选项D：因为，所以，所以．因为，所以，故D正确， 故选：D 二、多选题 4．(24-25学年·高一上期末·河北省邯郸市)下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】作差比较即可判断A的正误，时即可判断B的正误，根据不等式的性质即可判断C的正误，用和表示即可判断D的正误． 【详解】，，，，A正确；时，，B错误； ，，C正确；，且，， 则，D正确．故选：. 5．(24-25学年·高一上期末·河北省辛集市)已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】对于A,用作差法比较大小即可；对于B,举特殊情况即可判断；对于C,用作差法比较即可；对于D,用作差法比较即可. 【详解】对于,因为,所以, 即,，即故，故正确; 对于,若则,故错误; 对于,即,故正确; 对于,,故错误. 故选:. 6．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)下列命题中，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【答案】AC 【分析】根据不等式性质判断A、B、C；应用作差法判断D. 【详解】A：由，则，故，错；B：由，则，又，故，对；C：由题设，又，则，错； D：，由，，则，又，所以，即，对.故选：AC. 7．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由作差法结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，，因，则，故A错误； 对于B，，因，则，故B正确； 对于C，，因，则，故C正确； 对于D，，因，故，故D正确. 故选：BCD 8．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)下列命题为真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为2 D．的最大值为5 【答案】AD 【分析】对于A：根据不等式的性质分析判断即可；对于BC：举反例说明即可；对于D：利用基本不等式分析求解. 【详解】对于选项A：因为，则，可得，故A正确； 对于选项B：例如，则，故B错误； 对于选项C：例如，则， 可知2不为的最小值，故C错误； 对于选项D：因为，当且仅当时，即时，等号成立， 可得，所以的最大值为5，故D正确；故选：AD. 二、非选择题 9．(24-25学年·高一上期末·河北省张家口市)已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由，可得，， 由不等式的基本性质可得.因此，的取值范围是.故答案为：. 地 城 考点02 基本不等式 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·邢台市四县联考)若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得最值. 【详解】因为，所以． 当且仅当，即时取等号，即最小值为，故选：B. 2．(24-25学年·高一上期末·衡水市阜城实验中学)已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为正数，满足，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故选：D 3．(24-25学年高一上期末·河北省承德市)已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 【答案】D 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求其最小值. 【详解】由题意得，则 ，当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为5．故选：D 二、多选题 4．(24-25学年·高一上期末·河北省张家口市)设正实数满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为4 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式、指数运算性质及“1”的代换求各项代数式的最值. 【详解】由，则，可得，当且仅当取等号，A对； 由，当且仅当取等号，即最小值为4，B错； 由，当时有最小值为2，C对； 由， 当且仅当时取等号，故的最小值为，D对. 故选：ACD 5．(24-25学年·高一上期末·河北省邢台市)已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用基本不等式计算分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由A知，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时，等号成立，故C错误； 对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选:ABD． 6．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可得选项A错误；通过配方结合选项A可得选项B正确；通过计算结合选项A可得C正确；利用“1”的代换可得选项D正确. 【详解】A.∵，且，∴，当且仅当时，等号成立，解得，A错误．B.由A得，，当且仅当时，等号成立，B正确．C.由A得，，∴，当且仅当时，等号成立，C正确．D.∵，∴，当且仅当时，等号成立，D正确．故选：BCD. 二、非选择题 7．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数（，且）的图象上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据对数函数的性质求出点坐标，从而得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】对于函数（，且），令，即， 此时， 即函数（，且）的图象恒过定点， 则（，且），所以， 当且仅当，即，时取等号.故答案为：. 8．(24-25学年·高一上期末·河北省邯郸市)关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于基本不等式的问题. 例如此题：已知a，b为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少？ (3)某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令则化为 原式当且仅当即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，，，则的最大值是多少？ 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2）， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立．所以的最大值为 地 城 考点03 不等式恒成立及能成立问题 1、 单选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省辛集市)已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为，利用“1”的代换以及基本不等式求解，从而得到，求解不等式，即可得到答案． 【详解】因为不等式恒成立，则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故， 所以，即，解得，则实数的取值范围是． 故选：B． 2．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)已知.若恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知将问题化为恒成立，应用基本不等式求右侧最小值，即可得参数范围. 【详解】由，则恒成立，又，可得， 所以恒成立，即， 由，当且仅当时取等号，所以.故选：A 地 城 考点04 三个二次之间的关系 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用三个二次的关系推得方程有两根为和4，由韦达定理求出，代入所求不等式，求解即得. 【详解】由题意，方程有两根为和4，故由韦达定理，，解得， 则不等式即，解得或.故选：D. 2．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知函数的图象与轴交于两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先运用韦达定理得到所求式子用表示，再根据二次函数零点分布的知识列不等式，由此求得的取值范围.进而得解. 【详解】由题意可知是关于的方程的两根，则 所以．因为关于的方程有两个不同的实根，所以，又，所以，所以，所以，即的取值范围是．故选：B. 二、非选择题 3．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)已知不等式的解集是. (1)求常数的值； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围. (3)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用韦达定理，由一元二次不等式的解集求系数； （2）由二次函数单调性的特征，求实数的取值范围； （3）由一元二次不等式恒成立的条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）不等式的解集是， 和3是方程的解，且， ∴，解得. （2）若在上单调递减， 则，解得，则实数的取值范围为. （3）若关于的不等式的解集为， 则，解得，实数的取值范围为. 4．(24-25学年·高一上期末·河北省衡水市武强中学)已知二次函数，，不等式的解集为或． (1)求的解析式； (2)设，不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设有的解集为或，结合对应一元二次方程根与系数关系求参数，即可得解析式； （2）由题设有的解集为，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则，即的解集为或， 所以，可得，故； （2）由的解集为，所以，可得. 5．(24-25学年·高一上期末·邢台市四县联考)已知二次函数． (1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若对一切实数都成立，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）首先求出函数解析式，再由二次函数的图象和性质，求出函数在区间上的最大值和最小值； （2）依题意可得恒成立，则，即可得到不等式，解得即可； （3）依题意可得，再对参数分类讨论，即可求出不等式的解集. 【详解】（1）因为， 当时，，则为图象的对称轴， 所以，， 函数在区间上的最大值为，最小值为. （2）因为对一切实数都成立，即恒成立，即恒成立， 所以，解得，即. （3）依题意，即， 当时，解得或； 当时，即，解得； 当时，解得或； 综上可得，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $