8.6.2直线与平面垂直教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.2直线与平面垂直 一、教学目标 1.理解并掌握直线与平面垂直的定义，理解点到平面的距离、直线与平面所成角的概念； 2.探索直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线与平面垂直的简单问题，能求简单的直线与平面所成角； 3.遵循“直观感知—-操作确认---思辨论证”的认识过程 ，在认识直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理、直线与平面所成角的过程中，体会立体几何中研究问题的基本思路，培养数学抽象，逻辑推理等素养。 二、教学重难点 重点：对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解； 难点：概括直线与平面垂直的定义和判定定理时如何将“线面垂直”转化为“线线垂直”；如何求直线与平面所成角. 三、教学过程 （一）创设情境，引出课题 问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，图中旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那么什么叫做直线与平面垂直呢？能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直呢？ 图1 【设计意图】列举生活中的例子，使学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识，引出本节课内容。 （二）归纳概括，得出定义 问题1：阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子。 思考： （1）旗杆AB与地面上经过B点的直线有什么关系？ ( 图2 ) （2）旗杆AB与地面上不过B点的直线有什么关系？ （3）旗杆AB与地面上的任意直线有什么关系？ 追问1：怎么理解“任意”？ 结论：直线AB垂直于平面内的任意一条直线,那么它就垂直于这个平面． 追问2：可以用“无数”代替“任意”吗？ 直线与平面垂直的定义：如果一条直线l垂直于平面α 内的任意一条直线，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直.记作： ( 图4 ) 【设计意图】这里是对直线垂直于平面定义的形成过程，结合几何直观感知，就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义，并让学生体会到定义的本质是直线与直线垂直；强调直线要与平面内的任意直线都垂直，不等于无数.并规范表达，感受数学思维的严密. （三）知识拓展: 问题２：我们知道，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 点到平面距离的定义：过点P作直线PO垂直于平面α，垂足为O，垂线段PO长度就是点P到平面α的距离. ( 图3 ) 【活动预设】教师提出问题，师生共同探讨，直观感知和操作确认“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，进而提出点到平面的距离的概念，为求棱锥体积做铺垫. 【设计意图】类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质；呼应前面棱锥的高的概念. （四）动手操作，得出定理 问题３：根据定义，判断直线与平面垂直，需要验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直。类比平面与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂直的简单，易行的方法？ 【活动预设】教师提出问题，并引导学生动手操作；如图准备一块三角形纸片ABC，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，并请学生思考; (1) 折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能得到使折痕AD ( 图5 )与桌面垂直？为什么？ 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，这条直线就和这个平面垂直. 追问（1）：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线 ( 图4 ) ( 图4 ) ( 图4 ) ( 图4 )都垂直，这条直线就和这个平面垂直？ 可能的回答：两条相交直线可以确定一个平面？ 追问（2）：两条平行直线也可以确定一个平面，为什么两条平行直线都垂直于一条直线的时候，直线和平面就不垂直呢？ 【设计意图】通过实践操作，让学生有直观感受，初步判断刚才的猜想是正确的；不断追问，引导学生进一步的思考，两条相交直线可以确定一个平面，但是更主要的是他们可以表示这个平面内的所以直线，这里可以用平面向量基本定理来给出解释，从而进一步对于判定定理的正确性给出说明，让学生体会直线与平面垂直向直线与直线垂直转化，体会感知化无限为为有限，以及归纳猜想、思辨论证这一研究问题的思维过程. 问题4：试分别用文字语言、图形语言、符号语言来表述直线与平面垂直的判定定理. 【设计意图】实现图形语言、文字语言、符号语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要. （五）探究直线与平面所成的角. 探究：请你尝试给出直线与平面所成角的定义. 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 师生活动：教师提出问题，给出斜线的概念.引导学生利用发现，斜线于平面相交的位置关系的不同在于他们对于平面的“倾斜程度不同”.进而给出直线于平面所成角的概念，并用它来刻画斜线和平面的位置关系. 设计意图：引出直线与平面所成的角的概念，同时建立平面的一条斜线在平面上的射影的概念． 追问：直线与平面所成角的取值范围是多少？ 答：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是．直线与平面所成的角的取值范围是． 思考：如图，AB是平面内一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？ 结论：直线与平面相交时(不包含垂直)，直线与平面所成的角，是直线与平面内经过斜足的直线所成角中最小的角． （六）应用举例 例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 追问1：你能根据条件于结论画出示意图，写出已知、求证吗？ 答：已知 求证：． 追问2：结合所画的图形，你认为证明此问题的思路是什么？ 师生活动：教师要求学生写出已知、求证，并与学生共同分析证明思路：根据直线与平面垂直的判定定理知，只需证明另一条直线垂直于这个平面内的两条相交直线即可.在此问题中，需要构造出平面内的两条相交直线.教师可请一名学生板书，其他学生自己在本上书写证明过程.学生交流，教师反馈，共同完成证明. 追问3：你还有不同的证明方法吗？用直线与平面垂直的定义证明这个例题 师生活动：学生尝试用直线于平面垂直的定义证明这个例题，然后交流. 设计意图：通过例题，巩固直线与平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把我判定定理中“两条相交直线”这一关键.通过引导学生从线面垂直的定义出发进行证明的不同证法，让学生在运用不同方法证明的过程中提高思维的灵活性.在这个过程中使学生认识到证明直线与平面垂直一般有两种方法.一种方法是利用直线与平面垂直的定义直接证明，一种方法是利用直线与平面垂直的判定定理证明. 总结：应用判定定理证明线面垂直的步骤 ①找：在平面内找到或作出两条与已知直线垂直的直线； ②证：证明已知直线垂直于找到(作出)的直线； ③结论：由判定定理得出结论． 例2.如图在正方体中，求直线和平面所成的角． 分析：关键是找出直线在平面上的射影． 设计意图：通过例题，考查学生对直线与平面垂直的判定定理的理解即应用，并会求直线与平面所成的角． 总结：求斜线和平面所成的角的步骤 ①寻找过直线上一点与平面垂直的直线； ②证明某平面角就是斜线和平面所成角； ③把该角放入三角形中计算． （七）当堂检测：课本154页1--4题 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固直线与平面垂直的判定定理，能够灵活运用. （八）归纳总结 问题：本节课你学到了什么？ 【活动预设】教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，主要从下列2点进行总结： （1）知识内容（2）数学思想方法 【设计意图】 通过小结，梳理本节所学的知识点，并回顾在学习的过程中所采用的思想方法，培养学生对学习内容的反思意识和习惯，建立知识系统，可以用于后续知识问题的解决. （九）作业：课本163页第5题，164页14题 （十）拓展练习： 1. 如图所示，所在平面外一点S，SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点，求证：直线平面ABC． 2.如图所示，Rt△BMC中，斜边BM=5，它在平面ABC上的射影AB长为4，MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值． 3. 如图所示，在正方体中，E是棱的中点．求直线BE与平面所成的角的正弦值． （十一）教学反思 本节课借助墙角线与地面、旗杆与水平面等实例引入线面垂直概念，通过翻转三角板演示直线与平面内两相交直线垂直的判定定理，多数学生能理解“线线垂直→线面垂直”的转化逻辑，但在将文字定理转化为图形符号时存在表述不规范问题。 教学中利用多媒体动态展示线面垂直的证明过程效果较好，但对“直线与平面内任意直线垂直”的等价关系阐释不够深入，部分学生误将“两条平行直线”作为判定条件。课后作业显示，学生在解决复杂几何体中线面垂直证明时，常遗漏“相交”这一关键条件。 改进方向：增加反例辨析（如直线与平面内两平行直线垂直时的情况），强化判定定理的严谨性；下次课针对典型证明步骤开展规范书写训练。 学科网（北京）股份有限公司 $