8.6.2直线与平面垂直教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦直线与平面垂直的定义、判定定理及应用，通过复习空间线面位置关系导入，结合旗杆与地面、桥柱与水面等生活实例直观感知，利用旗杆与影子的动态关系抽象定义，构建从具体到抽象的学习支架，衔接线线垂直与线面垂直的转化。 此设计以“直观感知—操作确认—归纳推理”为主线，通过折纸实验探究判定定理，融入阳马等古代几何体视频激发兴趣。注重数学抽象（从实例到定义）、直观想象（影子观察、折纸操作）、逻辑推理（问题串引导定理发现）的核心素养培养，问题链设计引导自主探究，转化思想贯穿教学，提升学生空间想象与推理论证能力，为教师提供可操作的探究式教学范例。

直线与平面垂直（教学设计） 陕鼓中学 朱麦玲 一、教材分析 本节课内容主要是直线与平面垂直的概念、点到平面的距离、直线与平面所成的角，以及直线与平面垂直的判定定理．直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的核心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面的距离等内容的基础，具有承上启下的作用。 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直．定义中的"任意一条直线"就是"所有直线"，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线． 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性． 对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，发展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力．同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“ 直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”． 二、学情分析 学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象。同时，学生已经学习了空间点、直线、平面之间的位置关系、直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构，这为学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。并且，在前面学习立体几何的基本内容后，已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的体会，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础。 三、教学目标及核心素养 1、数学抽象核心素养：从具体的生活实例让学生感知直线与平面垂直，从而抽象概括出直线与平面垂直的定义；通过合作探究折纸实验，发现并归纳出直线与平面垂直的判定定理，从而促进学生运用数学抽象的思维方式思考并解决问题； 2、直观想象核心素养：通过借助旗杆与地面的影子两者之间的位置变化关系，从而直观的认识直线与平面垂直的定义；在折纸的试验探究过程中，通过观察折痕与桌面的位置关系，从而建立形与数的联系，最终使学生达到利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识问题； 3、逻辑推理核心素养：通过具体生活实例从特殊到一般，从具体到抽象，概括线面垂直的定义，以及利用合理的类比、归纳与推广的方法研究线面垂直的判定，从而让学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力． 4.会用自然语言、图形语言、符号语言来表示定义和判定定理； 5.能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。 四、教学重点与难点 教学重点：直线与平面垂直的定义和判定定理． 突破教学重点：借助生活中的实例，如旗杆与地面、电线杆与地面等，让学生观察并感受线面垂直的形象，形成直观认识。再通过动画展示直线与平面内多条直线垂直时，直线与平面的位置关系，让学生直观看到线面垂直的条件。 教学难点：直线与平面垂直的判定定理的探究与证明． 突破教学难点：通过问题串引导学生探究，如“一条直线与平面内一条直线垂直，能判定这条直线与平面垂直吗？两条呢？无数条呢？”让学生通过思考、讨论、动手操作等方式，自主探究线面垂直的条件，经历定理的发现过程。 五、教学方法 启发探究式 六、教学过程 问题1 空间中直线与平面有几种位置关系？ 设计意图：通过复习前面所学直线与平面的位置关系，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 （一）观察归纳直线与平面垂直的定义 1.直观感知[来源:学§科§网][来源:学.科.网] 观察1：请同学们观察天安门升旗视频及图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面、电线杆与地面、日晷的晷针与面晷是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？ 设计意图：从生活实例出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，由此引出课题． 2.观察归纳 思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？ 问题2：（1）如图1，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？ （2）随着时间的推移，旗杆所在直线AB与影子所在直线BC的位置关系是什么呢？ （3）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？由此可以得到什么结论？ 结论：旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直． 问题3：通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？ 设计意图：通过对旗杆所在直线与平面的影子所在直线关系的探索，从而总结出直线与平面内的所有直线都垂直时直线就与平面垂直，进而引导学生完善并总结出直线与平面垂直的定义，在此过程中让学生体会知识从具体到抽象的产生过程，加强学生的直观感受，提升直观想象核心素养，深化学生对线面垂直的理解。 3.概括总结 定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 图形语言： 符号语言： 问题4：怎么理解定义中“任意”?能将定义中的“任意”换成“无数”吗？ 判断正误： 1．若直线 l 与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α. 2．若 l⊥α，则直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直 由定义可知（性质）： 若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线。 设计意图：通过判断正误两道题，加深概念的理解，掌握概念的本质属性．由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思．由（2）使学生明确，直线与平面垂直的定义既是判定又是性质，“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化． （二）探究发现直线与平面垂直的判定定理 问题5：如何来检验一条直线与平面垂直？ （1）用定义检验可行吗？ （2）线面平行是如何判定的？类比线面平行如何来研究线面垂直的判定？ 追问1: 如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？ 追问2：如果一条直线和一个平面内的两条平行直线垂直， 此直线是否和平面垂直？ 追问3：如果一条直线和一个平面内的无数条平行直线都垂直，此直线是否和该平面垂直？ 追问4：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，此直线是否和该平面垂直？ 设计意图：主要让学生学会类比线面平行，体会利用转化、降维的思想来研究线面垂直的判定，从无限性到有限性的转变，让问题变得更简单，再次让学生感受到本章解决问题的核心——空间问题平面化的的思想． 实验探究活动 如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）． 问题6：（1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？ （3）与桌面垂直的折痕AD能折出几条？你能给出合理的解释么？ 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 设计意图：在折纸试验中，会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，通过观察试验，小组讨论，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因．探究发现折痕AD与桌面垂直的条件． 问题7: 由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？ 追问：为什么折叠时，折痕所在直线垂直BD、CD这两条相交直线时，折痕所在直线与桌面垂直？ 视频演示 设计意图：通过视频演示让学生更直观的发现折痕AD与桌面垂直的条件：AD垂直桌面内两条相交直线． 问题8：（1）如图7，把AD、BD、CD抽象为直线、、 ，把桌面抽象为平面，直线与平面垂直的条件是什么？[来源:学科网] （2）如图8,若α内两条相交直线、与无公共点且，直线还垂直平面α吗？由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？ 设计意图：让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能用符号语言准确表示，使学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的． 定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．（线不在多，重在相交） 符号语言： 简记：线线垂直  线面垂直 图形语言： 七、定理的应用 判断正误： 1.如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面；( ) 2.如果一条直线和一个平面内的任何两条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面；( ) 3.如果一条直线和一个平面内的某两条相交直线都垂直，那么该直线垂直于该平面；( ) 4、若一条直线与一个三角形的两条边垂 直，则这条直线垂直于三角形所在的 平面。( )[来源:学科网][来源:学科网ZXXK] 5若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。( ) 6、若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面。 ( ) 例 ，且 求证：AB⊥平面 . 问题9：中国古代算数中还有拿些著名的几何体？ 视频展示：阳马，鳖臑，堑堵 设计意图：这些有着独特名称和形状的几何体，与学生平时常见的几何体不同，容易引起学生的好奇心和探究欲望。视频展示的方式又增加了趣味性，使学生更愿意主动去学习和了解线面垂直相关知识。 变式：，则此阳马的侧面中直角三角形有哪些？ 请你说明你的理由. 例2：如图，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点． 求证：AC⊥平面VKB 练习： 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥平面ABCD ，求证：AC⊥平面PDB． ． 设计意图：通过例题及练习进一步理解直线与平面垂直的判定定理，提高学生解决问题的能力，增强学生的应用意识。 八、课堂小结 1. 知识回顾 （1）直线与平面垂直的概念 （2）直线与平面垂直的判定 ①利用定义:垂直于平面内任意一条直线 ②利用判定定理:线线垂直 线面垂直 2.数学思想方法：转化思想 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直 线线垂直 无限证明 有限证明 3.科学探索方法： 观察 猜想 推理论证形成定理 4. 数学核心素养：数学抽象素养 逻辑推理素养 直观想象设计意图 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 九、课后作业 1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面ABCD． 2、课本P152 练习2[来源:Z。xx。k.Com] 3、探究题：课本P152 练习3 如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，？ 4、设计一个检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直的方案，写出实施步骤和依据． 设计意图：通过训练，巩固本课所学知识，感悟其中蕴涵的转化数学思想，增强学生的应用意识．其中第1题主要运用直线与平面垂直的判定定理，第2、3题是活用直线与平面垂直的定义与判定定理，第4题前后呼应，为解决课中给出的问题提供各种方案，是本课所学知识的实际应用． 10、 板书设计 线面垂直的定义及判定 1、 线面垂直定义： 符号语言： 图形语言： 2、 线面垂直判定： 符号语言： 图形语言： PPT区 例题区： 练习区： 学科网（北京）股份有限公司 $