第5章 一次函数 复习学案 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025年秋八年级数学上册导学案(5-12) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：第5章一次函数复习 学习目标： 1、通过复习与回顾，能理清、概括本章的知识结构体系，能用相关的知识描述，位置的变化。 2、能运用直角坐标系的有关知识解决简单的问题，会找点、连图，并能解释图形前后的变化。 学习重点：掌握平面直角坐标系中的图形变换与坐标变化规律。 学习难点：运用图形变换与坐标变化知识，解决生活中的实际问题。 一、知识网络： 2、 知识要点： 1、函数的概念： （1）数值保持不变的量叫作 (constant)，数值发生变化的量叫作 (variable)。 （2）在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有 的值与它对应， 那么称y是的函数(function)，x是自变量，对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为 函数值(function value). 2、函数的表示： 函数的三种表示方法(表达式、表格和图象)。 描点法画函数图形的一般步骤：列表，描点和连线。 3、 正比例函数、一次函数的概念： （1）一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的函数叫作一次函数(linear function)， 其中x是自变量，y是x的函数.特别地，当b=0时，y=kx(k为常数，k≠0)叫作x的正比例。 （2）用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； ②将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； ③解方程得出未知系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 4、 正比例函数的图象和性质： （1） 一般地，正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，在画正比例函数的 图象时只需描出图象上除原点以外的另一个点，就可以画出函数的图象。 （2）正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)图象的性质： 当k>0时，正比例函数的图像经过第 象限， y随x的增大而 。 当k<0时，正比例函数的图像经过第 象限，y随x的增大而 。 5、 一次函数的图象和性质 （1）一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx图象之间的关系。 一般地，一次函数y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上(b>0) 或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到。 （2）一次函数 y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的图象是一条直线。 （3）两个一次函数y=k1x+b1，y=k2x+b2的图象l1，l2的位置关系： ①当k1≠k2时，l1，l2.相交； ②当k1=k2，且b1≠b2时，l1∥l2.； ③当k1=k2，且b1=b2时，l1与l2重合；④当k1k2= -1，时，l1⊥l2。（一般了解）， 反之亦然。 （4） 一次函数 y=kx+b(k,b为常数）图象的分别情况： 直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限 直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限 6、 用一次函数解决问题 根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式，将简单的实际问题转化为数学问题 （建立一次函数），从而解决实际问题.从函数图象上捕捉有用的解题信息，是解题顺畅的关键； 数形结合思想中的“形”是形象地反映了函数的各种性质。 7、 一次函数与二元一次方程的联系 一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。 任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值。 三、问题研讨 例1、认真选一选： （1）一次函数y=kx+b与y=kbx，它们在同一坐标系内的图像可能为 （ ） （2）已知一次函数y=(m－1)x+1的图像上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1>x2时，有y1<y2， 那么m的取值范围是 ( ） A、m>0 B、 m<0 C、m>1 D、m<1 例2、已知y+2与x-1成正比例，且x=3时y=4。 (1) 求y与x之间的函数关系式；(2) 当y=1时，求x的值。 例3、已知y关于x的函数y=(8-2m)x+m-2. (1)若函数图像经过原点,求m的值； (2)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围； (3)若这个函数是一次函数,且图像经过第一、二、三象限,求m的取值范围。 例4、A、B两地相距50km，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日 下午骑摩托车从A地出发驶往B地，如图折线PQR和线段MN分别表示甲和乙所行驶的里程 s与该日下午时间t之间关系.求： （1）甲出发多少小时，乙才开始出发？ （2）乙行驶多少小时就追上了甲，这时两人离B地还有多少千米？ 例5、 某市为节约水资源,制定了新的居民用水收费标准.按照新标准,用户每月缴纳的水费y(元) 与每月用水量x(m3)之间的关系如图所示。 (1)当x<13时,求y关于x的函数表达式; (2)若某用户二、三两月共用水40 m3(二月份用水量不超过27 m3),两月共缴纳水费155元, 则该用户二、三两月的用水量各是多少立方米? 例6、 如图，在平面直角坐标系中,直线AB交坐标轴于点A(0,3),B(4,0)，C为x轴正半轴上一点， 连接AC,将△ABC沿AC所在的直线折叠,点B恰好与y轴上的点D重合。 (1)求直线AB的表达式; (2)求出点C的坐标; (3)P为直线AB上的点,且S△COP=，求出点P的坐标。 4、 拓展提高： 1、 如图，在平面直角坐标系xOy中,直线l：y=x+2交y轴于点A1， 点A2,A3,…,An在直线l上,点B1,B2,B3,…,Bn在x轴的正半轴上。 若△OA1B1,△A2B1B2,△A3B2B3,…,△AnBn-1Bn依次均为等腰直角三角形， 则点An的坐标是　　　　。 2、 如图，直线l1的表达式为y=x+1,且l1与x轴交于点D， 直线l2经过定点A,B,直线l1与l2交于点C. (1)求直线l2的表达式； (2)求△ADC的面积； (3)在x轴上是否存在一点E,使△BCE的周长最短?若存在, 请求出点E的坐标；若不存在,请说明理由。 五、强化训练： 1、已知直线y＝－x＋3上的点（x，y），在x轴上方，则 （　 　） 　 A、x＞0　　　　 B、x＜0　　　 　　C、x＞3　　　　　 D、x＜3 2、若直线y=x+k与直线y=x+2的交点在y轴右侧，则i的取值范围是 ( ) 　A、k＜2　 B、k＞2　　 C、－2＜k＜0　　 　D、－2＜k＜2 3、如果一次函数y＝（k＋2）x＋（k－1）的图像经过第一、三、四象限， 则k的取值范围是 （　 　） 　A、k＞－2　　B、－2＜k＜1　C、0＜k＜1　　　D、k＞1 4、如图，直线是函数y＝x＋3的图像，若点P（x，y） 满足x＜5，且y＞x＋3，则P点的坐标可能是 （ 　） 　A、（7，5）　　B、（4，6） C、（3，4）　　D、（－2，1） 5、如图，一次函数y＝x＋5的图像经过点P(a,b)和Q(c,d)， 则a(c-d)-b(c-d)的值为　　　　　． 6、已知一次函数y＝kx+b中自变量x的取值范围为－2≤x≤6，相应的y值的取值范围为－11≤y≤9，则此函数的关系式为 。 7、如图，直线l1：y=x+1与直线l2:y=x+a相交于点P(1，b). (1)求出a,b的值； (2)根据图像直接写出不等式组0<x+1<x+a的解集； (3)求出△ABP的面积。 8、甲、乙两地之间有一条笔直的公路,快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发,沿这条公路匀速相向而行,快车到达乙地后停止行驶,慢车到达甲地后停止行驶.已知快车的速度为120km/h.如图所示为两车之间的距离y(km)与慢车行驶时间x(h)之间的部分函数图像. (1)甲、乙两地之间的距离是　　　　km；  (2)求点P的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $