8.5 空间向量的运算及其坐标表示-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

该高中数学高考复习教案聚焦空间向量的运算及其坐标表示，涵盖空间直角坐标系、向量线性运算、数量积、共线共面定理及平行垂直证明等核心考点，按概念-定理-运算-应用逻辑架构知识体系。通过考点梳理填空、解题策略指导、典型例题精讲及分层针对训练，帮助学生构建空间向量与立体几何的联系网络，突破用向量解决几何问题的难点。 教案突出几何直观与代数运算的融合，以“用已知向量表示未知向量”“坐标法证明平行垂直”等为例，培养学生的空间观念和数学思维。设置多选、填空、解答题等分层训练，配合即时反馈，确保学生熟练掌握向量工具，为教师精准把控复习进度、提升学生空间几何应考能力提供有力支持。

第五节　空间向量的运算及其坐标表示 1．空间直角坐标系与点的坐标 (1)空间一点M的坐标可以用有序实数组__(x，y，z)__表示． (2)建立了空间直角坐标系，空间中的点M与有序实数组(x，y，z)可以建立__一一对应__的关系． 2．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式： ①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，x2)，则|AB|＝　　； ②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|OP|＝　　. (2)中点公式： 设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则　　. 3．空间向量中的特殊向量 名称 概念 零向量 模为__0__的向量 单位向量 长度(模)为__1__的向量 相等向量 方向__相同__且模__相等__的向量 相反向量 方向__相反__且模__相等__的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在 的直线互相__平行或重合__的向量 共面向量 平行于同一个__平面__的向量 4.空间向量中的有关定理 语言描述 共线向量定量 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb. 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc 5．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角的两个关注点： ①共起点的向量＝a，＝b，则__∠AOB__叫做向量a·b的夹角． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. (2)两个非零向量a，b的数量积： a·b＝　|a||b|cos〈a，b〉　. 6．空间向量的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，也不满足消去律，即对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c也不成立． 　空间向量的线性运算 　如图，在三棱锥O­ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　) A.(－a＋b＋c)　　　 B.(a＋b－e) C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c) 【解析】　＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c)．故选B. 【答案】　B 用已知向量表示未知向量的解题策略 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则． (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． [针对训练] 1．(多选)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　BD　) A.＝b－c B.＝b＋c－a C.＝b－c－a D.＝a＋b＋c 解析：对于A，利用向量的平行四边形法则，＝＋＝b＋c，A错误；对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得＝－＝－＝－＝＋－＝b＋c－a，B正确；对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以＝＝＝b＋c－a，C错误； 对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，D正确，故选BD. 　共线、共面向量定量的应用 如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)． (1)向量是否与向量，共面？ (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？ 【解】　(1)因为＝k，＝k， 所以＝＋＋ ＝k＋＋k ＝k(＋)＋ ＝k(＋)＋ ＝k＋ ＝－k＝－k(＋) ＝(1－k)－k， 所以由共面向量定理知向量与向量，共面． (2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面，所以MN∥平面ABB1A1. 三点P，A，B共线 空间四点M，P，A，B共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) [针对训练] 2．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝__－3__. 解析：＝(3，－1,1)，＝(m＋1，n－2，－2)． 因为A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ. 即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)， 所以，解得λ＝－2，m＝－7，n＝4. 所以m＋n＝－3. 　空间向量数量积的应用 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)·；(2)·. 【解】　设＝a，＝b，＝c. 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， (1)＝＝c－a，＝－a，·＝·(－a)＝a2－a·c＝. (2)·＝(＋＋)·(－) ＝·(－) ＝·(－) ＝·(c－a) ＝ ＝. 空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度(距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 [针对训练] 3.三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 解：(1)由题图知 ＝＋＋＝＋＋ ＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c. (2)由题设条件知， 因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5， 所以|a＋b＋c|＝，||＝|a＋b＋c|＝. 　利用向量证明平行与垂直 角度一　证明平行问题 (一题多解)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证： (1)PB∥平面EFG； (2)平面EFG∥平面PBC. 【证明】　(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直． 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．　 法一：＝(0,1,0)，＝(1,2，－1)，　 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，则n＝(1,0,1)为平面EFG的一个法向量， 因为＝(2,0，－2)， 所以·n＝0，所以n⊥， 因为PB⊄平面EFG，所以PB∥平面EFG. 法二：＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)．设＝s＋t， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， 所以 解得s＝t＝2.所以＝2＋2， 又因为与不共线， 所以，与共面． 因为PB⊄平面EFG，所以PB∥平面EFG. (2)因为＝(0,1,0)，＝(0,2,0)， 所以＝2， 所以BC∥EF. 又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以EF∥平面PBC， 同理可证GF∥PC， 从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面PBC. 角度二　证明垂直问题 如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC. 【证明】　(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线DB方向为x轴正方向，射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz. 则O(0,0,0)，A(0，－3,0)， B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．　 于是＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)， 所以·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0， 所以⊥，即AP⊥BC. (2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，所以＝＝，又＝(－4，－5,0)， 所以＝＋＝， 则·＝(0,3,4)·＝0， 所以⊥，即AP⊥BM， 又根据(1)的结论知AP⊥BC， 所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC. 又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC. 1．利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤 第一步：建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系； 第二步：建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； 第三步：通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； 第四步：根据运算结果解释相关问题． 2．空间线面位置关系的坐标表示 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)． 4.如图所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长； (2)求证： AC1⊥BD. 解：(1)记＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 所以a·b＝b·c＝c·a＝. ||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6， 所以||＝，即AC1的长为. (2)证明：因为＝a＋b＋c，＝b－a， 所以·＝(a＋b＋c)·(b－a) ＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c ＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0. 所以⊥，所以AC1⊥BD. 学科网（北京）股份有限公司 $