7.5 数列的综合应用-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第五节　数列的综合应用 　等差与等比数列的综合问题 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若a1＝b1＝3，a4＝b2，S4－T2＝12. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)求数列{an＋bn}的前n项和． 【解】　(1)由a1＝b1，a4＝b2，得S4－T2＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(b1＋b2)＝a2＋a3＝12， 设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a3＝2a1＋3d， 所以d＝2，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. 设等比数列{bn}的公比为q， 又b2＝a4＝9即b2＝b1q＝3q＝9， 所以q＝3，所以bn＝3n. (2)an＋bn＝(2n＋1)＋3n，所以{an＋bn}的前n项和为(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝[3＋5＋…＋(2n＋1)]＋(3＋32＋…＋3n)＝＋＝n(n＋2)＋＝n(n＋2)＋. 等差、等比数列的综合问题的解题技巧 (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论． (2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇔{aan}(a>0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇔{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列． [针对训练] 1．(2025·吉林第一次调研测试)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝3，an＋1＝2an＋1. (1)证明：{an＋1}为等比数列； (2)求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？说明理由． 解：(1)证明：因为a2＝3，a2＝2a1＋1，所以a1＝1， 因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)知，an＋1＝2n，所以an＝2n－1， 所以Sn＝－n＝2n＋1－n－2， 所以n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0， 所以n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列． 　数列与数学文化 (1)( 2025·湖南衡阳三模)中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题．今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为(　　) A. B. C. D. (2)( 2025·北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1， 且an＝则解下4个环所需的最少移动次数a4为(　　) A．7 B．10 C．12 D．22 【解析】　(1)5斗＝50升．设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝，所以马主人应偿还粟的量为a2＝2a1＝，故选D. (2)因为数列{an}满足a1＝1，且an＝所以a2＝2a1－1＝2－1＝1，所以a3＝2a2＋2＝2×1＋2＝4，所以a4＝2a3－1＝2×4－1＝7.故选A. 【答案】　(1)D　(2)A 解答数列应用题需过好“四关” (1)审题关：仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模关：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化成数列问题，并分清数列是等差数列还是等比数列． (3)求解关：求解该数列问题． (4)还原关：将所求的结果还原到实际问题中． [针对训练] 2．(2025·广东潮州二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为(　D　) A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤 解析：设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{an}， 则有a1＝4，a5＝2，所以a1＋a5＝6， 数列{an}的前5项和为S5＝5×＝5×3＝15，即该金箠共重15斤．故选D. 　数列与其他知识的交汇 (2025·安徽安庆4月联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝. (1)求角A的大小； (2)若等差数列{an}的公差不为零，a1sin A＝1，且a2，a4，a8成等比数列，bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 【解】　(1)由＝， 根据正弦定理可得＝， 即b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝， 由0<A<π，得A＝. (2)由(1)知，A＝， 设数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为a1sin A＝1， 所以a1sin＝a1＝1，解得a1＝2. 因为a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)， 所以d2＝2d. 又d≠0，所以d＝2，则an＝2n， bn＝＝＝(－)， 则Sn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝. 数列与其他知识的交汇问题 (1)依据数列的函数背景确定数列的特征(通项公式等)； (2)对数列进行求和后放缩或放缩后求和，解决与不等式的交汇问题． [针对训练] 3．(2025·浙江杭州4月模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则a5＝__4__，b10＝__64__. 解：因为an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，所以an，an＋1是方程x2－bnx＋2n＝0的两个根， 根据根与系数的关系，可得an·an＋1＝2n，an＋an＋1＝bn， 由an·an＋1＝2n，可得an＋1·an＋2＝2n＋1， 两式相除可得＝2， 所以a1，a3，a5，…成公比为2的等比数列，a2，a4，a6，…成公比为2的等比数列，又由a1＝1，得a2＝2，所以a5＝1×22＝4，a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32， 所以b10＝a10＋a11＝32＋32＝64. 　数列中的新定义问题 (2025·河北石家庄4月模拟)数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则Sn＝________. 【解析】　由Hn＝＝2n， 得a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，　① 当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)2n－1，　② 由①－②得2n－1an＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1，即an＝n＋1(n≥2)， 当n＝1时，a1＝2也满足式子an＝n＋1， 所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1， 所以Sn＝＝. 【答案】　 破解此类数列中的新定义问题的关键： 一是盯题眼，即需认真审题，读懂新定义的含义，如本题，题眼{an}的“优值”Hn＝2n的含义为＝2n； 二是想“减法”，如本题，欲由等式a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n求通项，只需写出a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n－1，通过相减，即可得通项公式． [针对训练] 4．(多选)若数列{an}满足：对任意的n∈N*且n≥3，总存在i，j∈N*，使得an＝ai＋aj(i≠j，i<n，j<n)，则称数列{an}是“T数列”．则下列数列是“T数列”的为(　AD　) A．{2n} B．{n2} C．{3n} D. 解析：令an＝2n，则an＝a1＋an－1(n≥3)，所以数列{2n}是“T数列”；令an＝n2，则a1＝1，a2＝4，a3＝9，所以a3≠a1＋a2，所以数列{n2}不是“T数列”；令an＝3n，则a1＝3，a2＝9，a3＝27，所以a3≠a1＋a2，所以数列{3n}不是“T数列”；令an＝n－1， 则an＝n－2＋n－3＝an－1＋an－2(n≥3)，所以数列是“T数列”．故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $