7.3 等比数列-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

该高中数学讲义聚焦等比数列高考核心考点，涵盖定义、中项、通项公式、前n项和公式及性质，按“概念-公式-性质-题型”逻辑架构梳理知识内在联系。通过考点梳理填空、解题方法指导（如方程思想、分类讨论）、真题精讲（2023全国甲卷等）及分层针对训练，系统帮助学生突破基本量计算、判定证明、性质应用三大难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如在等比数列判定中，结合定义法推导公比关系训练推理能力，在性质应用中通过方程思想解决根与系数问题提升运算能力。设计“知识点填空-例题解析-针对训练”三阶教学活动，确保学生高效掌握考点，为教师提供清晰复习路径，助力提升学生应考实战能力。

第三节　等比数列 1．等比数列与等比中项 (1)等比数列的定义式：　＝q　. (2)等比中项 ①定义：a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项． ②公式：a，G，b成等比数列⇔__G2＝ab__. ③性质：{an}是等比数列⇒a＝__anan＋2__或a＝__an－man＋m__. 并不是任意两个实数都有等比中项，只有同号的两个非零实数才有． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝__a1qn－1__. (2)前n项和公式： Sn＝ 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am·__qn－m__(n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，，{an·bn}，仍是等比数列． (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为__qk__. (5)若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，其公比为__qn__. 　等比数列基本量的计算 (1)(2023·全国甲卷文，5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 (2)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】　(1)法一：由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9.设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C. 法二：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5　①，由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45　②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C. (2)由am＋n＝aman，令m＝1可得an＋1＝a1an＝2an，所以数列{an}是公比为2的等比数列，所以an＝2×2n－1＝2n，则ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝2k＋1＋2k＋2＋…＋2k＋10＝＝2k＋11－2k＋1＝215－25，所以k＝4.故选C. 【答案】　(1)C　(2)C 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想：等比数列中的五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题即可迎刃而解． (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，数列{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，数列{an}的前n项和Sn＝＝. [针对训练] 1．(2025·河北衡水中学高三月考)在等比数列{an}中，a1＝1，＝，则a6的值为(　C　) A. B. C. D. 解析：设等比数列{an}的公比为q，由＝q3＝，得q＝，所以a6＝a1·q5＝，故选C. 　等比数列的判定与证明 (1)(多选)已知数列{an}是等比数列，则下列命题正确的是(　　) A．数列{|an|}是等比数列 B．数列{anan＋1}是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列{lg a}是等比数列 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列． 【解】　(1)因为数列{an}是等比数列，所以＝q.对于A，＝＝|q|，所以数列{|an|}是等比数列，A正确；对于B，＝q2，所以数列{anan＋1}是等比数列，B正确；对于C，＝＝，所以数列是等比数列，C正确；对于D，＝＝，不一定是常数，所以D错误．故选ABC. (2)证明：因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an， 所以＝＝＝＝2. 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5. 所以b1＝a2－2a1＝3. 所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． 【答案】　(1)ABC　(2)见解析 等比数列的判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． [针对训练] 2．(一题多解)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　A　) A．－ B. C．－ D. 解析：法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－.故选A. 法二：因为等比数列的前n项和Sn＝k×qn－k，则a＝－，a＝－.故选A. 　等比数列的性质及应用 角度一　等比数列项的性质的应用 (1)( 2025·河南洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　　) A．－ B．－ C. D．－或 (2)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________. 【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6， 所以a3＜0，a15＜0，则a9＝－， 所以＝＝a9＝－.故选B. (2)由题意知a1a5＝a＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以a3＝2.所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝(a)2·a3＝a＝25.所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5. 【答案】　(1)B　(2)5 角度二　等比数列前n项和的性质的应用 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________. (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________. 【解析】　(1)由题意，得 解得 所以q＝＝＝2. (2)设等比数列{an}的公比为q， 因为＝，所以{an}的公比q≠1， 所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)将S6＝S3代入得＝. 【答案】　(1)2　(2) [针对训练] 3．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于(　C　) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比数列． 不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，则公比q＝＝＝3.所以bm＝4×3m－1.令bm＝324，即4×3m－1＝324，解得m＝5，所以b5＝324，即a13a14a15＝324.所以n＝14. 4．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝　－　. 解析：因为＋＝，＋＝， 由等比数列的性质知a7a10＝a8a9， 所以＋＋＋＝ ＝÷＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $