7.2 等差数列-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

该高中数学讲义聚焦等差数列高考核心考点，按定义、公式、性质及与函数关系构建知识体系，通过考点梳理（如等差中项、通项与前n项和公式）、方法指导（判定证明四法）、真题训练（2024全国甲卷等）等环节，帮助学生系统掌握基本运算、性质应用及前n项和最值等题型，突破复习难点。 资料以发展数学思维与符号意识为特色，采用一题多解策略（如性质应用中优解），设置分层针对训练，通过真题精讲培养推理能力，助力学生高效构建解题框架，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

第二节　等差数列 1．等差数列与等差中项 (1)等差数列的定义式：__an＋1－an__＝d(常数)(n∈N*)． (2)等差中项： ①定义：a，A，b成等差数列，A叫a，b的等差中项． ②公式：a，A，b成等差数列⇔　A＝　. ③性质：{an}是等差数列⇒2an＋1＝__an＋an＋2__或2an＝__an＋m＋an－m__. (3)通项公式及其推广式 ①通项公式：an＝__a1＋(n－1)d__. ②推广式：an＝am＋__(n－m)d__， 推广式的变形d＝　　， ③an＝pn＋q(p，q是常数)(即an是n的一次函数) (4)前n项和公式 Sn＝　na1＋d　或Sn＝　　. 2．等差数列与函数的关系 (1)等差数列{an}的通项公式可写成an＝__dn＋(a1－d)__，当d≠0时，它是关于n的　一次函数　，它的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列__孤立__的点． 注：当d>0时，{an}是__递增__数列； 当d<0时，{an}是__递减__数列； 当d＝0时，{an}是__常数列__． (2)前n项和公式可变形为Sn＝　n2＋n　，当d≠0时，它是关于n的常数项为0的__二次函数__，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的均匀分布的一系列__孤立的点__． 注：若a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值． 3．等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__ak＋al＝am＋an__. (2)若{an}是等差数列，则{a2n}也是等差数列，公差为__2d__. (3)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为__md__的等差数列． (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (6)S2n－1＝(2n－1)an. (7)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． (8)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 　等差数列的基本运算 (2024·全国甲卷(理))设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A.　　　　　　　　B. C．－ D．－ 【解析】　由S5＝S10，得＝，所以5a3＝5(a3＋a8)，所以a8＝0，公差d＝＝－，所以a1＝a5－4d＝1－4×＝，故选B. 【答案】　B 等差数列基本量运算的常见类型及解题策略 (1)求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想． (2)求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素． (3)求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． (4)求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． [针对训练] 1．(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　B　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 解析：根据S3＝3a2＝6得a2＝2，根据S5＝5a3＝－5得a3＝－1，所以{an}的公差d＝a3－a2＝－3，所以a6＝a3＋3d＝－10，所以S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15. 　等差数列的判定与证明 (1)已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)． ①证明：数列是等差数列； ②求{an}的通项公式． (2)已知数列{an}中，a1＝，其前n项和为Sn，且满足an＝(n≥2)， 求证：数列是等差数列． 【解】　(1)①因为an＋1＋1＝＋1＝， 所以＝＝3＋， 所以－＝3， 所以是首项为＝3， 公差为3的等差数列． ②由①得＝3n，所以an＝－1. (2)由题意得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝， 整理得Sn－1－Sn＝2SnSn－1， 所以－＝2， 又因为＝＝4， 所以数列{}是以4为首项，2为公差的等差数列． 等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，an－an－1＝(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判断问题 前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列 [针对训练] 2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，且bn＝，n∈N*.求证：数列{bn}为等差数列． 证明：因为bn＝，且an＋1＝，所以bn＋1＝＝＝1＋＝1＋bn，故bn＋1－bn＝1.又b1＝＝1， 所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列． 　等差数列的性质及应用 角度一　等差数列项性质的应用 (1)(一题多解)在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则a4＝(　　) A．－1　　 B．0　　　C．1　　　D．2 (2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________. 【解析】　(1)通解：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以a4＝1，故选C. 优解一：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为an＝am＋(n－m)d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a4－d)＋(a4＋7d)－3(a4＋d)＝10，整理得a4＝5，所以a4＝1，故选C. 优解二：由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以a4＝1，故选C. (2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，公差为d. 由已知条件，得 解得又S偶－S奇＝6d， 所以d＝＝5. 【答案】　(1)C　(2)5 角度二　等差数列前n项和性质的应用 (1)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为(　　) A．100 B．120 C．390 D．540 (2)在等差数列{an}中，a1＝－2 023，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 023的值等于(　　) A．－2 018 B．－2 016 C．－2 019 D．－2 017 【解析】　(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列， 所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， 又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.故选A. (2)由题意知，数列为等差数列，其公差为1，所以＝＋(2 023－1)×1＝－2 023＋2 022＝－1. 所以S2 018＝－2 023.故选A. 【答案】　(1)A　(2)A 角度三　等差数列的前n项和的最值 (一题多解)( 2025·广东省七校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】　法一：设数列{an}的公差为d，则由题意得， 解得 所以an＝－2n＋17，由于a8＞0，a9＜0，所以Sn取得最大值时n的值是8，故选D. 法二：设数列{an}的公差为d，则由题意得， 解得 则Sn＝15n＋×(－2)＝－(n－8)2＋64，所以当n＝8时，Sn取得最大值，故选D. 【答案】　D 1．等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{an}中，已知Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. 2．求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助函数图象求二次函数的最值的方法求解． (2)邻项变号法： ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm； ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm. [针对训练] 3．(一题多解)( 2025·福建省质量检查)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，则a33＝(　C　) A．82 B．97 C．100 D．115 解析：通解：设等差数列{an}的公差为d，则由 得 解得所以a33＝a1＋32d＝4＋32×3＝100，故选C. 优解：设等差数列{an}的公差为d，由a8－a5＝9，得3d＝9，即d＝3.由S8－S5＝66，得a6＋a7＋a8＝66，结合等差数列的性质知3a7＝66，即a7＝22，所以a33＝a7＋(33－7)×d＝22＋26×3＝100，故选C. 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15>0，S16<0，则Sn的最大值是(　C　) A．S1 B．S7 C．S8 D．S15 解析：由等差数列的前n项和公式可得S15＝15a8>0，S16＝8(a8＋a9)<0，所以a8>0，a9<0，则d＝a9－a8<0，所以在数列{an}中，当n<9时，an>0，当n≥9时，an<0，所以当n＝8时，Sn最大，故选C. 5．两等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝　　. 解析：因为数列{an}和{bn}均为等差数列，所以＝＝＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $