6.2 平面向量基本定理及坐标表示-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第二节　平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个__不共线__向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝　λ1e1＋λ2e2　. (2)基底：__不共线__的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__，λa＝__(λx1，λy1)__， |a|＝　　. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__， ||＝　　. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔__x1y2－x2y1＝0__. 　平面向量基本定理的应用 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b　　　　　 B.a－b C．－a－b D．－a＋b (2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________. 【解析】　(1)＝＋＝＋ ＝(－)－ ＝－－＝－a－b.故选C. (2)由题图可设＝x(x＞0)， 则＝x(＋)＝x ＝＋x. 因为＝λ＋μ，与不共线， 所以λ＝，μ＝x，所以＝. 【答案】　(1)C　(2) 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． [针对训练] 1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝(　A　) A.a＋b B．－a＋b C.a－b D．－a－b 解析：由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A. 　平面向量的坐标运算 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， 所以解得 (3)设O为坐标原点， 因为＝－＝3c， 所以＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． 所以M(0,20)． 又因为＝－＝－2b， 所以＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， 所以N(9,2)． 所以＝(9，－18)． 向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算． (2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用． [针对训练] 2．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　A　) A．(－23，－12) B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) 解析：3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A. 　平面向量共线的坐标表示 角度一　利用向量共线求向量或点的坐标 已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________． 【解析】　因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，所以(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为(2,4)． 【答案】　(2,4) 角度二　利用两向量共线求参数 已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　) A．－ B. C. D. 【解析】　＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以，共线， 所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)， 解得k＝－.故选A. 【答案】　A (1)向量共线的两种表示形式 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②. (2)两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值． [针对训练] 3．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？ (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值． 解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． 因为ka－b与a＋2b共线， 所以2(k－2)－(－1)×5＝0， 即2k－4＋5＝0，得k＝－. (2)法一：因为A，B，C三点共线， 所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)， 所以，解得m＝. 法二：＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， ＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． 因为A、B、C三点共线，所以∥. 所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0， 所以m＝. 学科网（北京）股份有限公司 $