5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：__sin2x＋cos2x＝1__. (2)商数关系：tan x＝. 2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2kπ(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α 1．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． 2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. (3)sin2α＝＝； cos2α＝＝. 　同角三角函数基本关系的应用 角度一　公式的直接应用 (2025·河北衡水中学高三临考模拟)已知cos ＝－，α∈，则tan α＝(　　) A．2 B. C．1 D. 【解析】　因为cos ＝sin α＝－，又α∈，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝2.故选A. 【答案】　A 角度二　sin α，cos α的齐次式问题 已知＝－1，求下列各式的值． (1)； (2)sin2α＋sin αcos α＋2. 【解】　由已知得tan α＝. (1)＝＝－. (2)sin2α＋sin αcos α＋2 ＝＋2 ＝＋2＝＋2＝. 角度三　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝. (1)求sin x－cos x的值； (2)求的值． 【解】　(1)由sin α＋cos α＝， 得sin2α＋2sin αcos α＋cos2x＝， 整理得2sin xcos x＝－. 所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝. 由x∈(－π，0)，知sin x<0，又sin x＋cos x>0，所以cos x>0，所以sin x－cos x<0， 故sin x－cos x＝－. (2) ＝ ＝ ＝ ＝－. 同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断角的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． (3)当分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解． [针对训练] 1．(2025·吉林梅河口第五中学模拟)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α的值为(　C　) A. B．－ C. D．－ 解析：由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，则2sin αcos α＝－<0， 因为α∈(0，π)， 所以sin α>0，所以cos α<0， 所以sin α－cos α>0， 因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， 所以sin α－cos α＝，故选C. 　诱导公式及应用 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________. (2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于________． 【解析】　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝×＝. (2)由题意可知tan θ＝3， 原式＝＝＝. 【答案】　(1)　(2) 1．诱导公式用法的一般思路 (1)化负为正，化大为小，化到锐角为止． (2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍． 2．常见的互余和互补的角 (1)常见的互余的角：－α与＋α； ＋α与－α；＋α与－α等． (2)常见的互补的角：＋θ与－θ； ＋θ与－θ等． [针对训练] 2．(2025·江西临川第一中学等九校3月联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan(π＋α)＝(　D　) A．－ B. C．－ D. 解析：sin·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cos α＝－，所以sin α＝ ＝ ＝，即sin·tan(π＋α)＝.故选D. 　弦切互化求值 (1)(一题多解)已知tan(3π＋α)＝3，则＝(　　) A. 　B. 　C. 　D．2 (2)已知tan α＝2，求值：4sin2α－3sin αcos α－5cos2α. 【解析】　(1)法一：因为tan(3π＋α)＝3， 所以tan α＝3， 所以＝＝＝.故选B. 法二：因为tan(3π＋α)＝3， 所以tan α＝3，所以sin α＝3cos α， 所以原式＝＝＝.故选B. (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α ＝ ＝ ＝ ＝1. 【答案】　(1)B　(2)1 1．弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： (1)sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； (2)sin α，cos α的齐次分式(如)的问题常采用分式的基本性质进行变形． 2．切化弦：一般单独出现正切、余切的时候，运用公式tan α＝，把式子中的切化成弦． [小积累]弦切互化的技巧 1．齐次分式结构的，通常采用分子、分母同除的方法． 2．二次齐次式结构的，通常构造分母1，然后采用分子、分母同除的方法． [针对训练] 3．若3sin α＋cos α＝0，则的值为　　. 解析：3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，＝＝ ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $